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贵州省凯里市第一初级中学2024—2025学年下学期七年级数学半期考试试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·凯里期中）在实数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．1 D．2
2．（2025七下·凯里期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，那么点P在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025七下·凯里期中）下图所示，在下列条件中不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·凯里期中）如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
5．（2025七下·凯里期中）下列结论正确的是（　　）
A．2是无理数 B．的算术平方根是
C．是有理数 D．的平方根是
6．（2025七下·凯里期中）下列命题中是假命题（　　）
A．如果，，那么 B．如果，，那么
C．内错角相等，两直线平行 D．对顶角相等
7．（2025七下·凯里期中）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·凯里期中）如图，关于学校相对于公交车站的位置，下面描述正确的是（　　）
A．南偏西， B．南偏东，
C．北偏东， D．北偏西，
9．（2025七下·凯里期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·凯里期中）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，则有多少个耠子 多少个耧 （耠子有一条腿，耧有两条腿）设有个耠子，个耧，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·凯里期中）在平面直角坐标系中，在第四象限内到两坐标轴的距离相等，则的值是（　　）
A．3 B． C．1 D．
12．（2025七下·凯里期中）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
13．（2025七下·凯里期中） =　 　．
14．（2025七下·凯里期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是　 　．
15．（2025七下·凯里期中）已知是方程的解，则的值为　 　.
16．（2025七下·凯里期中）已知，，线段交轴于点，求的坐标　 　．
三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·凯里期中）计算：
（1）；
（2）
18．（2025七下·凯里期中）如图，已知，平分，且，．
（1）_____；
（2）求的度数．
19．（2025七下·凯里期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径．
（1）如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：）
20．（2025七下·凯里期中）如图：，平分，平分，．
试说明：请完成下面的解题过程．
解：平分，平分（已知），
_____，_____（角平分线的定义），
又（已知）
_____
又（已知），
_____．
（_____）．
21．（2025七下·凯里期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
22．（2025七下·凯里期中）已知：，，．
（1）在坐标系中描出各点，并画出三角形；
（2）将三角形向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形，并直接写出的坐标；
（3）连接，，求三角形的面积．
23．（2025七下·凯里期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较与6的大小．
解：
，即，
（1）直接写出的整数部分
（2）请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小．
24．（2025七下·凯里期中）我们知道数轴上的点与实数是一一对应关系，在一条不完整的数轴上，在从左至右有三个点，，，其中，．
（1）如图1，若以点为原点，分别写出点表示的数和点表示的数．
（2）如图2，若以点为原点，建立平面直角坐标系，在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2025七下·凯里期中）如图1，已知点是外一点，连接，．
（1）已知，求的度数．
（2）如图2，已知，试说明：．
（3）如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是；
故答案为：B．
【分析】利用有理数比较大小的方法（①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于负数；④两个负数，绝对值大的反而小）分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为，
∴点P在第二象限内．
故答案为：B.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，由内错角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
B、，由同旁内角互补两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
C、是一对邻补角，不是同旁内角互补，不能判定，故选项不正确，符合题意；
D、，由同位角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短，
故答案为：A．
【分析】利用点到直线的距离的定义（点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度）和垂线段最短的性质分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是有理数，本选项说法错误，故本选项不符合题意；
B、的算术平方根是，本选项说法错误，故本选项不符合题意；
C、，是有理数，本选项说法正确，故本选项符合题意；
D、的平方根是，本选项说法错误，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义、算术平方根的定义及计算和平方根的计算方法逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】真命题与假命题；平行公理的推论；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、同一平面内，如果，，那么，本选项说法错误，故本选项符合题意；
B、如果，，那么，本选项说法正确，故本选项不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，本选项说法正确，故本选项不符合题意；
D、对顶角相等，本选项说法正确，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法和对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由“创”“新”的坐标分别为，，可得如下图的坐标系，
则“技”的坐标为，
故答案为：B．
【分析】先利用“创”“新”的坐标建立平面直角坐标系，再直接求出“技”的坐标即可.
8．【答案】C
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：学校相对于公交车站的位置为北偏东，距离；
故答案为：C．
【分析】利用方位角的定义及表示方法分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】结合图形可得，再利用角的运算求出的度数即可.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有个耠子，个耧，
则；
故答案为：A．
【分析】设有个耠子，个耧，再结合“ 耠子和耧共有63个，共有100条腿 ”列出方程组即可.
11．【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在第四象限，
∴；
∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用第四象限点坐标的特征及“点P到两坐标轴的距离相等”可得，，再求出a的值即可.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，，
∴，
∴，，
∴，
∵将长方形纸片分别沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质和平行线的性质及角的运算和等量代换可得，再求出，最后求出即可.
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴ =2．
故答案为：2
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．
14．【答案】如果一个角是锐角，那么它的余角是锐角
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】“锐角的余角是锐角”，“锐角”是条件，“余角是锐角”为结论；
需注意补充句意使其完整，故为“如果一个角是锐角，那么它的余角是锐角”.
【分析】由命题的条件与结论剖析并补充句意即可.
15．【答案】3
【知识点】二元一次方程组的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：3m-8=1，
解得：m=3，
故答案为：3.
【分析】把代入方程得：3m-8=1，再求出m的值即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则；
∵，，
∴；
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】设，则，利用，可得，求出a的值，从而可得点C的坐标.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
移项、合并，得：，
开立方，得：．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质和立方根的性质化简，再求解即可；
（2）利用立方根的定义及计算方法求解即可.
（1）解：
；
（2）解：，
移项、合并，得：，
开立方，得：．
18．【答案】（1）
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先证出，再利用平行线的性质可得；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：把代入，
可得，
∴（负值舍），
答：这场雷雨大约能持续.
（2）解：，把代入，
可得．
∴．
答：这场雷雨区域的直径大约是．
【知识点】利用开平方求未知数；立方根的实际应用；近似数与准确数
【解析】【分析】（1）把代入，可得，再求出t的值即可；
（2）把代入，可得，再求出d的值即可.
（1）解：把代入，
得，
∴（负值舍），
答：这场雷雨大约能持续；
（2）解：，
把代入，
得．
∴．
答：这场雷雨区域的直径大约是．
20．【答案】解：平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
又（已知），
，
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行.
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】利用角平分线的定义、平行线的判定方法和推理方法和步骤分析求解即可.
21．【答案】解：的平方根是，的立方根是3，
，，
解得，，
，
，
的算术平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】先利用平方根和立方根的定义可得，，求出a、b的值，再将其代入计算，最后求出算术平方根即可.
22．【答案】（1）解：如图，三角形即为所求作：
（2）解：如图，三角形即为所求作：
则点的坐标为；
（3）解：如图，
三角形的面积是．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用点A、B、C的坐标直接作出△ABC即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点F的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△BEF的面积即可.
（1）解：如图，三角形即为所求作：
（2）解：如图，三角形即为所求作：
则点的坐标为；
（3）解：如图，
三角形的面积是．
23．【答案】（1）5
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：，
，
的整数部分为5．
故答案为：5.
【分析】（1）参照题干中的定义及估算无理数大小的方法求出，从而可得整数部分为5；
（2）利用作差比较无理数的大小即可.
（1）解：，
，
的整数部分为5．
（2）解：，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：由于为原点，，，
则点A表示的数为，点C表示的数为.
（2）解：∵三角形与三角形共高，三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴；
∵，
∴；
当点P在点C的右边时，，则点P的坐标为；
当点P在点A的左边时，，则点P的坐标为；
综上，满足条件的点P的坐标为或．
【知识点】实数在数轴上表示；点的坐标；实数运算的实际应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式及数轴上表示点的方法求出点A、C表示的数即可；
（2）先求出，再分类讨论：①当点P在点C的右边时，②当点P在点A的左边时，再利用两点之间的距离公式求出点P表示的数即可.
（1）解：由于为原点，，，
则点A表示的数为，点C表示的数为；
（2）解：∵三角形与三角形共高，三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴；
∵，
∴；
当点P在点C的右边时，，则点P的坐标为；
当点P在点A的左边时，，则点P的坐标为；
综上，满足条件的点P的坐标为或．
25．【答案】（1）解：由三角形内角和知：，
∴.
（2）解：如图，过点C作，
则，
即；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即.
（3）解：∵平分，平分，
∴，；
如图，过点E作，
则；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．

【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和求出答案即可；
（2）过点C作，先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，最后利用等量代换可得；
（3）过点E作，先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：由三角形内角和知：，
∴；
（2）解：如图，过点C作，
则，
即；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
（3）解：∵平分，平分，
∴，；
如图，过点E作，则；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
1 / 1贵州省凯里市第一初级中学2024—2025学年下学期七年级数学半期考试试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025七下·凯里期中）在实数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是；
故答案为：B．
【分析】利用有理数比较大小的方法（①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于负数；④两个负数，绝对值大的反而小）分析求解即可.
2．（2025七下·凯里期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，那么点P在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为，
∴点P在第二象限内．
故答案为：B.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
3．（2025七下·凯里期中）下图所示，在下列条件中不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，由内错角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
B、，由同旁内角互补两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
C、是一对邻补角，不是同旁内角互补，不能判定，故选项不正确，符合题意；
D、，由同位角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
4．（2025七下·凯里期中）如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短，
故答案为：A．
【分析】利用点到直线的距离的定义（点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度）和垂线段最短的性质分析求解即可.
5．（2025七下·凯里期中）下列结论正确的是（　　）
A．2是无理数 B．的算术平方根是
C．是有理数 D．的平方根是
【答案】C
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是有理数，本选项说法错误，故本选项不符合题意；
B、的算术平方根是，本选项说法错误，故本选项不符合题意；
C、，是有理数，本选项说法正确，故本选项符合题意；
D、的平方根是，本选项说法错误，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义、算术平方根的定义及计算和平方根的计算方法逐项分析判断即可.
6．（2025七下·凯里期中）下列命题中是假命题（　　）
A．如果，，那么 B．如果，，那么
C．内错角相等，两直线平行 D．对顶角相等
【答案】A
【知识点】真命题与假命题；平行公理的推论；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、同一平面内，如果，，那么，本选项说法错误，故本选项符合题意；
B、如果，，那么，本选项说法正确，故本选项不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，本选项说法正确，故本选项不符合题意；
D、对顶角相等，本选项说法正确，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法和对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）分析求解即可.
7．（2025七下·凯里期中）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由“创”“新”的坐标分别为，，可得如下图的坐标系，
则“技”的坐标为，
故答案为：B．
【分析】先利用“创”“新”的坐标建立平面直角坐标系，再直接求出“技”的坐标即可.
8．（2025七下·凯里期中）如图，关于学校相对于公交车站的位置，下面描述正确的是（　　）
A．南偏西， B．南偏东，
C．北偏东， D．北偏西，
【答案】C
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：学校相对于公交车站的位置为北偏东，距离；
故答案为：C．
【分析】利用方位角的定义及表示方法分析求解即可.
9．（2025七下·凯里期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】结合图形可得，再利用角的运算求出的度数即可.
10．（2025七下·凯里期中）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，则有多少个耠子 多少个耧 （耠子有一条腿，耧有两条腿）设有个耠子，个耧，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有个耠子，个耧，
则；
故答案为：A．
【分析】设有个耠子，个耧，再结合“ 耠子和耧共有63个，共有100条腿 ”列出方程组即可.
11．（2025七下·凯里期中）在平面直角坐标系中，在第四象限内到两坐标轴的距离相等，则的值是（　　）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在第四象限，
∴；
∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】利用第四象限点坐标的特征及“点P到两坐标轴的距离相等”可得，，再求出a的值即可.
12．（2025七下·凯里期中）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，，
∴，
∴，，
∴，
∵将长方形纸片分别沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质和平行线的性质及角的运算和等量代换可得，再求出，最后求出即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
13．（2025七下·凯里期中） =　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴ =2．
故答案为：2
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．
14．（2025七下·凯里期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是　 　．
【答案】如果一个角是锐角，那么它的余角是锐角
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】“锐角的余角是锐角”，“锐角”是条件，“余角是锐角”为结论；
需注意补充句意使其完整，故为“如果一个角是锐角，那么它的余角是锐角”.
【分析】由命题的条件与结论剖析并补充句意即可.
15．（2025七下·凯里期中）已知是方程的解，则的值为　 　.
【答案】3
【知识点】二元一次方程组的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：3m-8=1，
解得：m=3，
故答案为：3.
【分析】把代入方程得：3m-8=1，再求出m的值即可.
16．（2025七下·凯里期中）已知，，线段交轴于点，求的坐标　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则；
∵，，
∴；
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】设，则，利用，可得，求出a的值，从而可得点C的坐标.
三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·凯里期中）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
移项、合并，得：，
开立方，得：．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质和立方根的性质化简，再求解即可；
（2）利用立方根的定义及计算方法求解即可.
（1）解：
；
（2）解：，
移项、合并，得：，
开立方，得：．
18．（2025七下·凯里期中）如图，已知，平分，且，．
（1）_____；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先证出，再利用平行线的性质可得；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
19．（2025七下·凯里期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径．
（1）如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：）
【答案】（1）解：把代入，
可得，
∴（负值舍），
答：这场雷雨大约能持续.
（2）解：，把代入，
可得．
∴．
答：这场雷雨区域的直径大约是．
【知识点】利用开平方求未知数；立方根的实际应用；近似数与准确数
【解析】【分析】（1）把代入，可得，再求出t的值即可；
（2）把代入，可得，再求出d的值即可.
（1）解：把代入，
得，
∴（负值舍），
答：这场雷雨大约能持续；
（2）解：，
把代入，
得．
∴．
答：这场雷雨区域的直径大约是．
20．（2025七下·凯里期中）如图：，平分，平分，．
试说明：请完成下面的解题过程．
解：平分，平分（已知），
_____，_____（角平分线的定义），
又（已知）
_____
又（已知），
_____．
（_____）．
【答案】解：平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
又（已知），
，
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行.
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】利用角平分线的定义、平行线的判定方法和推理方法和步骤分析求解即可.
21．（2025七下·凯里期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
【答案】解：的平方根是，的立方根是3，
，，
解得，，
，
，
的算术平方根为．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】先利用平方根和立方根的定义可得，，求出a、b的值，再将其代入计算，最后求出算术平方根即可.
22．（2025七下·凯里期中）已知：，，．
（1）在坐标系中描出各点，并画出三角形；
（2）将三角形向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形，并直接写出的坐标；
（3）连接，，求三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，三角形即为所求作：
（2）解：如图，三角形即为所求作：
则点的坐标为；
（3）解：如图，
三角形的面积是．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用点A、B、C的坐标直接作出△ABC即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点F的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△BEF的面积即可.
（1）解：如图，三角形即为所求作：
（2）解：如图，三角形即为所求作：
则点的坐标为；
（3）解：如图，
三角形的面积是．
23．（2025七下·凯里期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较与6的大小．
解：
，即，
（1）直接写出的整数部分
（2）请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小．
【答案】（1）5
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：，
，
的整数部分为5．
故答案为：5.
【分析】（1）参照题干中的定义及估算无理数大小的方法求出，从而可得整数部分为5；
（2）利用作差比较无理数的大小即可.
（1）解：，
，
的整数部分为5．
（2）解：，
，
，
，
．
24．（2025七下·凯里期中）我们知道数轴上的点与实数是一一对应关系，在一条不完整的数轴上，在从左至右有三个点，，，其中，．
（1）如图1，若以点为原点，分别写出点表示的数和点表示的数．
（2）如图2，若以点为原点，建立平面直角坐标系，在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由于为原点，，，
则点A表示的数为，点C表示的数为.
（2）解：∵三角形与三角形共高，三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴；
∵，
∴；
当点P在点C的右边时，，则点P的坐标为；
当点P在点A的左边时，，则点P的坐标为；
综上，满足条件的点P的坐标为或．
【知识点】实数在数轴上表示；点的坐标；实数运算的实际应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式及数轴上表示点的方法求出点A、C表示的数即可；
（2）先求出，再分类讨论：①当点P在点C的右边时，②当点P在点A的左边时，再利用两点之间的距离公式求出点P表示的数即可.
（1）解：由于为原点，，，
则点A表示的数为，点C表示的数为；
（2）解：∵三角形与三角形共高，三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴；
∵，
∴；
当点P在点C的右边时，，则点P的坐标为；
当点P在点A的左边时，，则点P的坐标为；
综上，满足条件的点P的坐标为或．
25．（2025七下·凯里期中）如图1，已知点是外一点，连接，．
（1）已知，求的度数．
（2）如图2，已知，试说明：．
（3）如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求．
【答案】（1）解：由三角形内角和知：，
∴.
（2）解：如图，过点C作，
则，
即；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即.
（3）解：∵平分，平分，
∴，；
如图，过点E作，
则；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．

【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和求出答案即可；
（2）过点C作，先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，最后利用等量代换可得；
（3）过点E作，先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：由三角形内角和知：，
∴；
（2）解：如图，过点C作，
则，
即；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
（3）解：∵平分，平分，
∴，；
如图，过点E作，则；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
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