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世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动2024-2025学年上学期八年级数学B卷
1．（2024八上·竞赛）如图，在个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块。已知AD=7米，AB=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是　 　米。
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，
将木块展开，AC即为所求，则AB=4+2+2=8(米)，BC=
AD=7米，
∴最短路径为：
(米)。
故答案为：
【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答.
2．（2024八上·竞赛）在平面直角坐标系中，对于点P（x），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）。例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9），若点C（m+2，1-3m）的-5阶智慧点”到x轴的距离为1，m=　 　.
【答案】或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：∵点C(m+2，1-3m)，
∴点C的“-5阶智慧点”为(-8m-9，16m-3).
由题意可得：
或16m-3=-1.
解得 或
【分析】点C(m+2，1-3m)的“-5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值.
3．（2024八上·竞赛）已知1≤ax+b<3的解集是2≤x<3，则1≤a（1-×）<3的解集为　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用；含字母系数的一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵1≤ax+b<3的解集为2≤x<3，
∴，解得，
所以 1≤a（1-×）<3 为 1≤2（1-×）<3，
解得 ，
故答案为：.
【分析】根据题意得到x=2时y=1；x=3时y=3；求出a，b的值，然后解不等式 1≤a（1-×）<3 求出x的取值范围即可.
4．（2024八上·竞赛）如图，在 ABC中，∠ABC=90°，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿直线BD翻折，得到△BDC’，连接CC'，分别与BA、BD交于点E、F，连接AC'、DC'。若AE=BE，DF=，则AC 的长为　 　.
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；平面解析几何
【解析】【解答】解： 在△ABC中， ∠ABC =90°， D是AC边上的中点，
由折叠知，BD垂直平分(C'C，
∴点F为CC'的中点，
∵AE= BE， ∠AEC'=∠BEF，
∴BF=AC'，
∴BF=2DF，
∴BD=3DF，
故答案为： .
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到BD =AD 由折叠性质得到，BD垂直平分C'C，根据三角形中位线性质得到 DF∥AC'，进而可得 结合全等三角形的判定证明△AC'E≌△BFE， 可得BF = AC'， 即可得到BD=3DF， 进而解答即可.
5．（2024八上·竞赛）我们常用来表示实数a， b， c中最小的数，如。已知x为实数，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：如图，在同一平面直角坐标中画出函数y=x+2，和的图象，
由图象可得 的最大值为和的交点，
解方程组得，
故答案为：.
【分析】在同一平面直角坐标系中作出y=x+2，和的图象，得到 的最大值为和的交点，解方程组求出最大值即可.
6．（2024八上·竞赛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°<α<180°），点C的对应点为点F，连接BF，BD。当△BDF为直角三角形时，BF的长为　 　.
【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：在 中， BC=2，
∵AB的垂直平分线MN交AB于E， 交AC于点D，
DA，
在 中，
∵ DF由线段DC绕点D顺时针旋转得到，
在 中，
当BF为直角边时，
当BF为斜边时， ，
故答案为：2或
【分析】在中，=2，则 ，根据垂直平分线的性质得出 继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出.DE= 根据旋转的中得出 进而在BDF中， 分BF为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解.
7．（2024八上·竞赛）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ，H，D，E在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若，四边形BAHE的面积为27，则四边形MBNJ的面积为　 　.
【答案】9
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平面解析几何
【解析】【解答】解：∵四边形BAHJ和四边形CADE都是正方形，
∵四边形BCFG是正方形，
∴四边形AKBC是矩形，
∴四边形ECFJ是矩形，
设正方形BCFG和正方形CADE的边长分别为a、b，
，
∴四边形DJGK是正方形，四边形ADJF和四边形EDKB是面积相等的矩形，
四边形EJGB，
，
矩形EDKB= S△BAC+S△ABK+S矩形EDKB= S正方形CADE
设AF=DK=m，则
∴
故答案为：9.
【分析】证明 则再证明四边形DJGK是正方形，四边形ADJF和四边形EDKB是面积相等的矩形，则， 四边形EJGB，再证明 则是 四边形BGJM，可推导出S27， 则再由 求得 则 再推导出 于是得到问题的答案.
8．（2024八上·竞赛）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的二边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正多边形的性质；平面解析几何
【解析】【解答】解： 如图1， 连接AD，DF，DB.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF =∠AFE，AB=AF，∠E=∠C = 120°，EF = DE = BC =CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°
∵∠AFE =∠ABC = 120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∴ Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)
∴∠FAD+∠AFE =60°+120°= 180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形， 是等边三角形，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 即等边三角形QKM的边长的
如图2，过F作 于Z，过E作 于N
则
∴四边形FZNE是平行四边形，
，
同理
即第二个等边三角形的边长是
同理第三个等边三角形的边长是
同理第四个等边三角形的边长是
第五个等边三角形的边长是
第n个等边三角形的边长是
∴第2024个等边三角形的边长为：
故答案为：
【分析】先连接AD，DF，DB，找到全等三角形，进而得到AF=QF =EF = EM， 理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解.
9．（2024八上·竞赛）
【答案】解：
；
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】先把小数化为分数，然后先运算小括号内的加法，然后运算乘法，最后运算减法解答即可.
10．（2024八上·竞赛）
【答案】解：
设
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】设，然后利用换元法解答即可.
11．（2024八上·竞赛）若关于x的方程的解为非负整数，关于x的不等式组的解集， 求符合条件的所有整数a的和。
【答案】解：解方程得
依题得且为整数，，
∴且为3的倍数，，
解不等式得.
解不等式得，
∵不等式组的解集为，
解得a≥-4，
∴-4≤a≤4，且a=-2，
∵-a+4为3 的倍数，
当-a+4=0时，a=4，
当-a+4=3时，a=1，
当-a+4=6时，a=-2(舍去)，
当-a+4=9时，a=-5 （舍去)，
∴a的值为1或4，
∴符合条件的所有整数的和为1+4=5.
【知识点】去分母法解分式方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】先解出分式方程，再解出不等式组的解，最后确定a的值即可.
12．（2024八上·竞赛）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：
①f（a，b）=（-a，b） 如： f（7，3）=（-7，3）； ②g（a，b）=（b，a），如： g（7，3）=（3，7）：③h（a，b）=（-a，-b） 如： h（7，3）=（-7，-3）：
例如：f（g（2，-3）=f（-3，2） =（3，2），
规定坐标的部分规则与运算如下：
①若a=b，且c=d，则（a，c）=（b，d），反之若（a，c）=（b，d），则a=b，且c=d。
②（a，c）+（b，d）=（a+b，c+d）；（a，c）-（b，d） =（a-b，c-d）.
例如：f（g（2，-3））+h（g （2，-3）=f（-3，2）+h（-3，2）=（3，-2） =（6，0） 。
请回答下列问题：
（1）化简：h（f（-1，-2））-g（h（-1，-2）= 　 　（填写坐标）；
（2）若f（g（2x，-kx））-h（f（1+y，-2））=h（g（y-1，-1）+f（h（y，x）） 且k为绝对值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值。
【答案】（1）（-3，1）
（2）解： f(g(2x-kx)-h((1+y-2)
=f(-kx，2x)-h(-1-y-2)
=(kx，2x)-(+ y，2)
=(kx-1-y，2x-2)，
h(g(ky-1，-1)+f（h（y，x））
=h(-1，ky-1)+f(-y-x)
=(1，1-ky)+(y，-x)
∵，
∴
∵点P(x， y)在第三象限，
∴，
∴，
∵k为绝对值不超过5的整数，
∴k的所有可能取值为-4、-5。
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：（1） h（f（-1，-2））-g（h（-1，-2）
=h（1，-2）-g（1，2）
=（-1，2）-（2，1）
=（-3，1）
故答案为：（-3，1）；
【分析】(1)根据新定义进行化简即可；
(2)根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可.
13．（2024八上·竞赛）我们知道，|x|表示数轴上数×所对应的点与原点的距离，|x-y|表示数轴上数x对应的点与数y对应的点之间的距离。请据此解决以下问题：
（1）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2024|的最小值；
（2）若不等式|2023x-2024|≤k有且只有100个整数解，求k的取值范围。
【答案】（1）解： 的最小值为2023，此时x位于1表示的点与2024表示的点间的线段上；的最小值为2021，此时x位于2表示的点与2023表示的点间的线段上；的最小值为2019，此时x位于3表示的点与2022表示的点间的线段上；......，的最小值为1，此时x位于1012表示的点与1013表示的点间的线段上；
当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上（包括两个端点）时，
的值最小，最小值为；
（2）解：由不等式，得，
解得：，
另一方面，由，得，
由题意，得，
解得：.
【知识点】数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值；一元一次不等式组的含参问题；绝对值函数的最值
【解析】【分析】（1）的最小值为2023，此时x位于1表示的点与2024表示的点的线段上， 的最小值为2021，此时x位于2表示的点与2023表示的点的线段上等，得出当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上时， |的最小值最小，求出最小值.
（2）由 得 2024≤k..列出方程，由 有且只有100个整数解，列出方程即可.
14．（2024八上·竞赛）已知，点A（t，4）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC。
（1）如图1，若B（0，-4），C（5，0）且A，B，C在同一条直线上，求t的值；
（2）如图2，当t=4，∠ACO+∠ACB=180°时，求BC+OC-OB的值：
（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点， ∠A=∠OHA=90°，若OB=OC，且m-3n=7，求A点的坐标。
【答案】（1）解：如图，过点 A 作 轴于点 D，
在 和 中，
∴t = 10；
（2）解：如图，延长BC至D
，
，
平分 ，
作，，垂足分别为G，H，
，
作轴于点E，在y轴上找一点F，使，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
∴BF=BE-EF， BC=BH-CH
则BC=BF，
故BC+OC-OB
=BF+OG+GC-OB
=OB+OF+OG+GC-OB
=OF+GC+OG
=OF+EF+OG
=OE+OG
=8.
（3）解：如图，作交CA的延长线于点Q，作轴于E，
轴交EH的延长线于F， 则四边形AQOH为矩形，， 又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴ 四边形AQOH为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)过点A作AD⊥x轴于D， 证△ADC ≌ △BOC(AAS)， 得DC=OC=5， 然后求出t值即可；
(2)作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M， AN⊥BC于N， 证出AD=AN， 证明Rt△ABD≌ Rt△ABN(HL)， 得出BN =BD=OB+4， 同理Rt△ACM ≌ Rt△ACN(HL)， 得出CM =CN， 由BC=BN-CN，OC=OM+CM=4+CM，即可得出答案；
(3)作OQ⊥CA交CA的延长线于Q， 作EH⊥y轴于E， AF⊥x轴交EH的延长线于F，证明△OHB≌△OQC(AAS)，得OH =OQ， 再证△OEH ≌△HFA(AAS)， 得EH= FA， 解答即可.
15．（2024八上·竞赛）如图，已知△ABC为等边三角形，边长为，点D，E分别是过AB，BC上的动点，点D从点A开始沿射线AB方向运动，同时点E从点B开始沿射线BC方向运动，点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，以DE为边向右侧作等边三角形DEF。点G是BC边的中点，连接GF，求GF的最小值。
【答案】解：点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，
∴设BE=x，则AD=2x， BD=AB-AD=-2x，
如图，在BC上截取BH=BD，连接DH，FH，
则，，
为等边三角形，
，
，
∴△BDH为等边三角形，
，
∴△DEF为等边三角形，
，
，
，
在和中，
（SAS），
，
作射线CF，如图所示，
在中，，，，取HC的中点，连接FM，
则，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于F'，此时，GF最小，
是 B C 的中点，
在△中，
的最小值为 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；平面解析几何
【解析】【分析】在BC上截取BH=BD，连接DH，F H，证 明△ 推出 证明 为等边三角形，再证明CF平分 得出点F的轨迹，进一步求得GF的最小值.
1 / 1世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动2024-2025学年上学期八年级数学B卷
1．（2024八上·竞赛）如图，在个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块。已知AD=7米，AB=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是　 　米。
2．（2024八上·竞赛）在平面直角坐标系中，对于点P（x），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）。例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9），若点C（m+2，1-3m）的-5阶智慧点”到x轴的距离为1，m=　 　.
3．（2024八上·竞赛）已知1≤ax+b<3的解集是2≤x<3，则1≤a（1-×）<3的解集为　 　.
4．（2024八上·竞赛）如图，在 ABC中，∠ABC=90°，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿直线BD翻折，得到△BDC’，连接CC'，分别与BA、BD交于点E、F，连接AC'、DC'。若AE=BE，DF=，则AC 的长为　 　.
5．（2024八上·竞赛）我们常用来表示实数a， b， c中最小的数，如。已知x为实数，则的最大值为　 　.
6．（2024八上·竞赛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°<α<180°），点C的对应点为点F，连接BF，BD。当△BDF为直角三角形时，BF的长为　 　.
7．（2024八上·竞赛）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ，H，D，E在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若，四边形BAHE的面积为27，则四边形MBNJ的面积为　 　.
8．（2024八上·竞赛）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的二边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为　 　.
9．（2024八上·竞赛）
10．（2024八上·竞赛）
11．（2024八上·竞赛）若关于x的方程的解为非负整数，关于x的不等式组的解集， 求符合条件的所有整数a的和。
12．（2024八上·竞赛）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：
①f（a，b）=（-a，b） 如： f（7，3）=（-7，3）； ②g（a，b）=（b，a），如： g（7，3）=（3，7）：③h（a，b）=（-a，-b） 如： h（7，3）=（-7，-3）：
例如：f（g（2，-3）=f（-3，2） =（3，2），
规定坐标的部分规则与运算如下：
①若a=b，且c=d，则（a，c）=（b，d），反之若（a，c）=（b，d），则a=b，且c=d。
②（a，c）+（b，d）=（a+b，c+d）；（a，c）-（b，d） =（a-b，c-d）.
例如：f（g（2，-3））+h（g （2，-3）=f（-3，2）+h（-3，2）=（3，-2） =（6，0） 。
请回答下列问题：
（1）化简：h（f（-1，-2））-g（h（-1，-2）= 　 　（填写坐标）；
（2）若f（g（2x，-kx））-h（f（1+y，-2））=h（g（y-1，-1）+f（h（y，x）） 且k为绝对值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值。
13．（2024八上·竞赛）我们知道，|x|表示数轴上数×所对应的点与原点的距离，|x-y|表示数轴上数x对应的点与数y对应的点之间的距离。请据此解决以下问题：
（1）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2024|的最小值；
（2）若不等式|2023x-2024|≤k有且只有100个整数解，求k的取值范围。
14．（2024八上·竞赛）已知，点A（t，4）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC。
（1）如图1，若B（0，-4），C（5，0）且A，B，C在同一条直线上，求t的值；
（2）如图2，当t=4，∠ACO+∠ACB=180°时，求BC+OC-OB的值：
（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点， ∠A=∠OHA=90°，若OB=OC，且m-3n=7，求A点的坐标。
15．（2024八上·竞赛）如图，已知△ABC为等边三角形，边长为，点D，E分别是过AB，BC上的动点，点D从点A开始沿射线AB方向运动，同时点E从点B开始沿射线BC方向运动，点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，以DE为边向右侧作等边三角形DEF。点G是BC边的中点，连接GF，求GF的最小值。
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，
将木块展开，AC即为所求，则AB=4+2+2=8(米)，BC=
AD=7米，
∴最短路径为：
(米)。
故答案为：
【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答.
2．【答案】或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：∵点C(m+2，1-3m)，
∴点C的“-5阶智慧点”为(-8m-9，16m-3).
由题意可得：
或16m-3=-1.
解得 或
【分析】点C(m+2，1-3m)的“-5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值.
3．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用；含字母系数的一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵1≤ax+b<3的解集为2≤x<3，
∴，解得，
所以 1≤a（1-×）<3 为 1≤2（1-×）<3，
解得 ，
故答案为：.
【分析】根据题意得到x=2时y=1；x=3时y=3；求出a，b的值，然后解不等式 1≤a（1-×）<3 求出x的取值范围即可.
4．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；平面解析几何
【解析】【解答】解： 在△ABC中， ∠ABC =90°， D是AC边上的中点，
由折叠知，BD垂直平分(C'C，
∴点F为CC'的中点，
∵AE= BE， ∠AEC'=∠BEF，
∴BF=AC'，
∴BF=2DF，
∴BD=3DF，
故答案为： .
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到BD =AD 由折叠性质得到，BD垂直平分C'C，根据三角形中位线性质得到 DF∥AC'，进而可得 结合全等三角形的判定证明△AC'E≌△BFE， 可得BF = AC'， 即可得到BD=3DF， 进而解答即可.
5．【答案】
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：如图，在同一平面直角坐标中画出函数y=x+2，和的图象，
由图象可得 的最大值为和的交点，
解方程组得，
故答案为：.
【分析】在同一平面直角坐标系中作出y=x+2，和的图象，得到 的最大值为和的交点，解方程组求出最大值即可.
6．【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：在 中， BC=2，
∵AB的垂直平分线MN交AB于E， 交AC于点D，
DA，
在 中，
∵ DF由线段DC绕点D顺时针旋转得到，
在 中，
当BF为直角边时，
当BF为斜边时， ，
故答案为：2或
【分析】在中，=2，则 ，根据垂直平分线的性质得出 继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出.DE= 根据旋转的中得出 进而在BDF中， 分BF为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解.
7．【答案】9
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平面解析几何
【解析】【解答】解：∵四边形BAHJ和四边形CADE都是正方形，
∵四边形BCFG是正方形，
∴四边形AKBC是矩形，
∴四边形ECFJ是矩形，
设正方形BCFG和正方形CADE的边长分别为a、b，
，
∴四边形DJGK是正方形，四边形ADJF和四边形EDKB是面积相等的矩形，
四边形EJGB，
，
矩形EDKB= S△BAC+S△ABK+S矩形EDKB= S正方形CADE
设AF=DK=m，则
∴
故答案为：9.
【分析】证明 则再证明四边形DJGK是正方形，四边形ADJF和四边形EDKB是面积相等的矩形，则， 四边形EJGB，再证明 则是 四边形BGJM，可推导出S27， 则再由 求得 则 再推导出 于是得到问题的答案.
8．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正多边形的性质；平面解析几何
【解析】【解答】解： 如图1， 连接AD，DF，DB.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF =∠AFE，AB=AF，∠E=∠C = 120°，EF = DE = BC =CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°
∵∠AFE =∠ABC = 120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∴ Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)
∴∠FAD+∠AFE =60°+120°= 180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形， 是等边三角形，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 即等边三角形QKM的边长的
如图2，过F作 于Z，过E作 于N
则
∴四边形FZNE是平行四边形，
，
同理
即第二个等边三角形的边长是
同理第三个等边三角形的边长是
同理第四个等边三角形的边长是
第五个等边三角形的边长是
第n个等边三角形的边长是
∴第2024个等边三角形的边长为：
故答案为：
【分析】先连接AD，DF，DB，找到全等三角形，进而得到AF=QF =EF = EM， 理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解.
9．【答案】解：
；
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】先把小数化为分数，然后先运算小括号内的加法，然后运算乘法，最后运算减法解答即可.
10．【答案】解：
设
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】设，然后利用换元法解答即可.
11．【答案】解：解方程得
依题得且为整数，，
∴且为3的倍数，，
解不等式得.
解不等式得，
∵不等式组的解集为，
解得a≥-4，
∴-4≤a≤4，且a=-2，
∵-a+4为3 的倍数，
当-a+4=0时，a=4，
当-a+4=3时，a=1，
当-a+4=6时，a=-2(舍去)，
当-a+4=9时，a=-5 （舍去)，
∴a的值为1或4，
∴符合条件的所有整数的和为1+4=5.
【知识点】去分母法解分式方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】先解出分式方程，再解出不等式组的解，最后确定a的值即可.
12．【答案】（1）（-3，1）
（2）解： f(g(2x-kx)-h((1+y-2)
=f(-kx，2x)-h(-1-y-2)
=(kx，2x)-(+ y，2)
=(kx-1-y，2x-2)，
h(g(ky-1，-1)+f（h（y，x））
=h(-1，ky-1)+f(-y-x)
=(1，1-ky)+(y，-x)
∵，
∴
∵点P(x， y)在第三象限，
∴，
∴，
∵k为绝对值不超过5的整数，
∴k的所有可能取值为-4、-5。
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：（1） h（f（-1，-2））-g（h（-1，-2）
=h（1，-2）-g（1，2）
=（-1，2）-（2，1）
=（-3，1）
故答案为：（-3，1）；
【分析】(1)根据新定义进行化简即可；
(2)根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可.
13．【答案】（1）解： 的最小值为2023，此时x位于1表示的点与2024表示的点间的线段上；的最小值为2021，此时x位于2表示的点与2023表示的点间的线段上；的最小值为2019，此时x位于3表示的点与2022表示的点间的线段上；......，的最小值为1，此时x位于1012表示的点与1013表示的点间的线段上；
当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上（包括两个端点）时，
的值最小，最小值为；
（2）解：由不等式，得，
解得：，
另一方面，由，得，
由题意，得，
解得：.
【知识点】数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值；一元一次不等式组的含参问题；绝对值函数的最值
【解析】【分析】（1）的最小值为2023，此时x位于1表示的点与2024表示的点的线段上， 的最小值为2021，此时x位于2表示的点与2023表示的点的线段上等，得出当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上时， |的最小值最小，求出最小值.
（2）由 得 2024≤k..列出方程，由 有且只有100个整数解，列出方程即可.
14．【答案】（1）解：如图，过点 A 作 轴于点 D，
在 和 中，
∴t = 10；
（2）解：如图，延长BC至D
，
，
平分 ，
作，，垂足分别为G，H，
，
作轴于点E，在y轴上找一点F，使，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
∴BF=BE-EF， BC=BH-CH
则BC=BF，
故BC+OC-OB
=BF+OG+GC-OB
=OB+OF+OG+GC-OB
=OF+GC+OG
=OF+EF+OG
=OE+OG
=8.
（3）解：如图，作交CA的延长线于点Q，作轴于E，
轴交EH的延长线于F， 则四边形AQOH为矩形，， 又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴ 四边形AQOH为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)过点A作AD⊥x轴于D， 证△ADC ≌ △BOC(AAS)， 得DC=OC=5， 然后求出t值即可；
(2)作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M， AN⊥BC于N， 证出AD=AN， 证明Rt△ABD≌ Rt△ABN(HL)， 得出BN =BD=OB+4， 同理Rt△ACM ≌ Rt△ACN(HL)， 得出CM =CN， 由BC=BN-CN，OC=OM+CM=4+CM，即可得出答案；
(3)作OQ⊥CA交CA的延长线于Q， 作EH⊥y轴于E， AF⊥x轴交EH的延长线于F，证明△OHB≌△OQC(AAS)，得OH =OQ， 再证△OEH ≌△HFA(AAS)， 得EH= FA， 解答即可.
15．【答案】解：点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，
∴设BE=x，则AD=2x， BD=AB-AD=-2x，
如图，在BC上截取BH=BD，连接DH，FH，
则，，
为等边三角形，
，
，
∴△BDH为等边三角形，
，
∴△DEF为等边三角形，
，
，
，
在和中，
（SAS），
，
作射线CF，如图所示，
在中，，，，取HC的中点，连接FM，
则，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于F'，此时，GF最小，
是 B C 的中点，
在△中，
的最小值为 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；平面解析几何
【解析】【分析】在BC上截取BH=BD，连接DH，F H，证 明△ 推出 证明 为等边三角形，再证明CF平分 得出点F的轨迹，进一步求得GF的最小值.
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