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2024年5月第十三届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动（地区选拔）八年级数学试题
1．（2024八下·竞赛）继华为汽车爆火后，小米汽车迎来热潮！新能源汽车行业迎来了更多的创新和突破。如图是新能源汽车的标志，其中既是轴对称又是中心对称图形的有　 　个。
2．（2024八下·竞赛）刘大伯投资1600元种植瓯柑，春节期间，共采摘瓯柑400千克，当天就可以按12元/千克的价格售出。若将所采摘的瓯柑先储藏起来，其质量每天损失5千克，且每天需支付各种费用共20元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过一个月）。若刘大伯想获得4150元的利润，需要将采摘的瓯柑储藏　 　天。
3．（2024八下·竞赛）长方形ABCD中，AB=8，AD=12，将其沿EF折叠，点A，B分别落到点A'与点B'处，恰好点C在A'B'上，且EG=CG，则线段CF的长度为　 　.
4．（2024八下·竞赛）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为　 　．
5．（2024八下·竞赛）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=2，正方形ABCD的顶点A与点O重合，边A'D’与OD重合，将正方形A'B'C'D’绕点A'顺时针旋转90.A'B'与边BC交于点E，A'D'与边CD交于点F，连接EF交OC于点G，在整个运动过程中，则点G经过的路径长是　 　.
6．（2024八下·竞赛）如图，正方形的两个顶点，分别在x轴和y轴的正半轴上，另外两个顶点，在函数的图像上，在正方形的右侧再作一个正方形，使在x轴上，在函数图象上，则点的坐标为　 　.
7．（2024八下·竞赛）已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　.
8．（2024八下·竞赛）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动。如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程。其步骤为：先将CD边沿CF折叠，D点的对应点为D'，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B'处折痕与AB边交于E.若正方形边长为，连接EF，则△AEF的面积=　 　.
9．（2024八下·竞赛）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8。将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边的中点D处，点G、HI分别为BE、EF、CF的中点，连接GH、HI、ID、DG，GH与DE相交于点M，HI与DF相交于点N，则四边形DMHN的面积为　 　.
10．（2024八下·竞赛）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，A、B两地到河岸边的距离均为1，AH=BF=1，AD=7.BE=9，现欲在河道上架两座桥MN、PQ，使AM+MN+NP+PQ+QB最小，则最小值为　 　.
11．（2024八下·竞赛）
12．（2024八下·竞赛）
13．（2024八下·竞赛）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个奇数解，且关于y的分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数a的值之和。
14．（2024八下·竞赛）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍。通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）。
（1）球y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围：
（2）若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价：
（3）小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值。
15．（2024八下·竞赛）若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“海峡三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“海峡三数组”。
（1）若、、构成“海峡三数组”，求实数t的值；
（2）若非零实数、、-1构成“海峡三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为n；③不等式恒成立。求实数m的取值范围。
16．（2024八下·竞赛）如图，平面直角坐标系xOy中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线。与双曲线分别交于点C，点D。若的面积为，求的值。
17．（2024八下·竞赛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，DC=DA，∠D=60°，AB=2，将四边形ABCD折叠，使点D和点B重合，折痕为EF，求EF的长。
18．（2024八下·竞赛）已知在直角△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上任一点（不与A、B重合），连接CD。
（1）如图1，若AC=3，BC=4，且CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求DE的长。
（2）在（1）的条件下，若AB的垂直平分线与CD的延长线交于点P，求四边形ACBP的面积。
（3）如图3，若AC=BC=6，D是AB的三等分点（点D靠近点B）.在射线CD上有一点P，使得∠APC=∠BPC，过D作DM⊥AP，DN⊥BP，求DM的长。
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第五个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第六个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：2.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可.把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．【答案】10
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：该菜农要将这批瓯柑储藏x天后一次性出售，则x天后这批瓯柑的销售单价为(12+0.5x)元，销售量是(400-5x)kg.
由题意得，(12+0.5x)(400-5x)-20x-1600=4150，
解得 （舍去），
故答案为：10.
【分析】由原来的销售价格加上涨价部分的价格可得实际销售价格，由原来的销售量减去降低的销售量可得实际的销售量，利用实际销售价乘以实际的销售量再减去成本和支出等于利润建立方程求解即可.
3．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵EG=CG，
∴设EG=CG=a， CF=x，
∴DG =8-a， BF =12-x，
根据折叠性质得： AE = A'E， BF = B'F =12-x，AB=A'B'=8，
在△DGE和 中，
∴△DGE≌△A'GC(AAS)，
∴A'G=DG=8-a，
∴AE = A'E =a+8-a= 8，
∴DE = A'C =12-8= 4，
∴B'C=8﹣4=4，
即
解得：
故答案为：
【分析】根据题意设EG=CG=α， CF=x， 证明△DGE和 全等，再利用勾股定理得 即可得到本题答案.
4．【答案】75
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数，
∴n的最大值为，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
5．【答案】1
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：设OC的中点为P，
由画图可知：在整个运动过程中，点G的运动路径是从C到P，再从P到C，即点G经过的路径长是1；
故答案为：A.
【分析】正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合，边A'D'与OD重合，即开始时点G与C重合，当运动45度时，点G在OC的中点处，所以点G的运动路径是2CP长解答即可.
6．【答案】
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：解：作 轴于C， y 轴于D，轴于 于F，如图所示：
设 则
，
∵四边形. 为正方形，
在 和 中，
同理：
的坐标为
把 的坐标代入 得：
解得：a=-1(舍去)或a=1，
设 的坐标为(
又∵四边形. 为正方形，
同上：
解得： (舍去)，
∴点 的坐标为
故答案为：.
【分析】作 轴于C， 轴于D， 轴于E， 于F，设 则 易得 则 所以 则 的坐标为 a)，然后把 的坐标代入反比例函数 得到a的方程，解方程求出a，得到 的坐标；设 的坐标为 易得 则 通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到 的坐标.
7．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴②－①，得2xy=u-4，
即u=2xy+4，
把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy 0，
解得：xy ，
把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy 0，
解得：xy≤
∴，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】联立两等式可求出u=2xy+4， 将进行配方可求出xy的范围，从而求出u的范围，继而确定M、m的值，即可得解.
8．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形边长为
∵正方形的直角内角 经过两次折叠后两边分别重合，
在 中，
的面积
故答案为：
【分析】根据正方形边长为 可得 根据题意可得正方形的直角内角 经过两次折叠后两边分别重合，所以 ，然后根据含30度角的直角三角形可得AE和AF的长，进而可得 的面积.
9．【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图1： 连接CE， BF， AD，
是等腰直角三角形，则
将 沿EF折叠，使点A落在BC边的中点D处，
∵I为CF的中点，
∴ A， H， D三点共线，
∵点G、H分别为BE、EF的中点， 点D在BC边的中点处，
∴GH， DI分别是 的中位线，
BF，
∴四边形GDIH是平行四边形；
同理得
∴四边形GDIH是菱形，
连接GI， 分别交ED， FD于点P， Q， 连接HP，HQ，
由折叠的性质得：
都是等腰直角三角形，
∴点E和点F分别是AB，AC的中点，
则EF=BD=CD，
则
则GP=EH，
∵点G、H、I分别为BE、EF、CF的中点，
则
则EGPH是平行四边形，
则点M是GH的中点；
同理得点N是HI的中点，
则
∴四边形DMHN的面积为菱形GDIH的面积一半，
则
则GI=GP+PQ+QI=3GP=1.5BD=6
∴菱形GDIH的面积
∴四边形DMHN的面积为6，
故答案为：6.
【分析】先证明 得出四边形GDIH是菱形，通过角和边的换算，得出点E和点F分别是AB，AC的中点，得证点M是GH的中点，点N是H的中点，根据等底同高得出 再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答.
10．【答案】14
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：延长AH到J，使得.AJ=MN=2，延长BF到K，使得BK=PQ=2，连接JK交河道于点N'，P'，得到两座桥.N'M'，P'Q'，此时AM'+M'N'+N'P'+P'Q'+BQ'的值最小.
延长AH交BK的延长线于点W.
在 中，WK=6，WJ=8，
+2+N'P'+2+P'K=4+JK=14，
的最小值为14.
故答案为：14.
【分析】延长AH到J，使得AJ=MN=2，延长BF到K，使得BK=PQ=2，连接JK交河道于点N'，P'，得到两座桥.N'M'，P'Q'，此时AM'+M'N'+N'P'+P'Q'+BQ'的值最小.
11．【答案】解：
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先把括号内的二次根式通分，然后把除法化为乘法，分子、分母因式分解约分解答即可.
12．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据公式裂项相消解答即可.
13．【答案】解：解不等式组
得，，
一元一次不等式组
有且仅有2个奇数解，
这2个奇数解为1和3，
，
解得，
由分式方程
得，，
分式方程的解是整数，
，
，
，
，
，
满足条件的所有整数a的值之和为。
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出a的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出a值，最后求出同时满足已知条件的a的值，求出它们的和即可.
14．【答案】（1）解：由题意得：，整理得：。
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴10≤x≤30.
（2）解：由题意.得：(x-10x)(-20x+1000)=7500.
解之得：x1=25，x2=35，
∵10≤x≤30，
∴x=25。
答：该商品的销售单价为25元。
（3）解：设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
。
其对称轴为直线为：。
在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
随x的增大而增大。
当时，。
，
解得。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)由题意得， 根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，确定x的取值范围；
(2)根据每天销售量×一件商品利润=7500列方程，解方程可得该商品的销售单价；
(3)设销售该商品每天的总利润为w元，则w=(x-10-m)(-20x+1000)，求得其对称轴以及开口方向，确定x为何值，销售利润最大，已知销售最大利润为6000元，可解方程求出m的值.
15．【答案】（1）解：倒数为，的倒数为，的倒数为，、、构成“海峡三数组”。
①当时，解得：；
②当时，解得：.
当时，不成立，故舍去；
③当时，解得：；
综上可知，实数的值为1或-3；
（2）解：∵a+b+c=0，
，
∵点到原点的距离记为n
令，则.
∴当时，n2的最小值为
恒成立
【知识点】有理数的倒数；分式的混合运算；二次函数的最值；实数奥数问题综合
【解析】【分析】（1） 倒数为 的倒数为 的倒数为 由 构成“海峡三数组”，分三种情况进行讨论求解即可；
（2）由(a+b+c=0，可得b+c=-a，再由点 到原点的距离记为n，可得 令 得到 的最小值为 ，再求解即可.
16．【答案】解：过点A作 轴于点F，过点B作 轴于点H，
∵点. )在反比例函数图象上，
轴，
∴点C纵坐标为： 点D纵坐标为：
∴点C横坐标为： 点D横坐标为：
，整理得： 即：
或
(舍)，
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【分析】作 轴，作 轴，用含x1、x2的代数式， 表示出AF、BH、FH的长， 根据 轴，表示出C、D的坐标，进而表示出AC、BD的长，代入 得到 根据反比例函数的几何意义，得到 代入梯形面积公式，应用因式分解，得到 即可求解.
17．【答案】解：如下图，过点E作于点Q，交CD于点P，
，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
由折叠可知，
在中，可有，
即，解得，
，
，，
，，，
设，则，，，在中，可有，
即，
解得，即，
，
在中，，.
在中，由勾股定理，.
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；平面解析几何
【解析】【分析】过点E作于点Q，交CD于点P，证明△DAC是等边三角形，即可得到∠ACB=30°，根据30°的直角三角形的性质得到AC=4，再利用勾股定理求出BC长，根据折叠性质和勾股定理求出CF的长，设，在中，根据勾股定理求出x的值，再在中根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出DP和PE长，在中运用勾股定理解答即可.
18．【答案】（1）解：，，，
，
∵CD平分，于E，于F，
，
，
，
，
；
（2）解：过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，则：∠PFA=∠PGB=∠PGC=90°，
∵AB的垂直平分线与CD的延长线交于点P，CD平分∠ACB，
∴PA=PB，PG=PF，
∴△AFP≌=△BGP(HL)，
∴S△AFP≌S△BGP，AF=BG，
四边形PFCG的面积等于四边形ACBP的面积，
平分．
均为等腰直角三角形，
四边形PFCG的面积等于四边形ACBP的面积：
（3）解：，
是AB的三等分点，
过点作，则：，
，
，
四边形ECFP为正方形．
，
，
，
四边形DMPN为正方形，
设，则：，
过点作，交AP子点，则：，
，
，
，
，
，
，
过点D作，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；平面解析几何
【解析】【分析】(1)勾股定理求出AB的长，根据角平分线的性质，得到DE =DF，等积法求出DE的长即可；
(2)过点P作PF⊥AC， PG⊥BC， 证明△AFP≌△BGP，推出四边形PFCG的面积等于四边形ACBP的面积进行求解即可；
(3)勾股定理求出AB的长， 过点C作CE⊥AP， CF⊥PB， 证明△AEC≌△BFC， 得到四边形ECFP为正方形，进而推出四边形DMPN为正方形，设DN=DM=MP= PN =x， 则： ， 过点D作DG⊥AD， 交AP于点G， 证明△DMG≌△DNB， 进而推出 S△ADG+S正方形DMPN，过点D作DH⊥BC， 求出CD的长，进而求出PC的长，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，表示出 再根据全等三角形的面积相等，得到 列出方程进行求解即可.
1 / 12024年5月第十三届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动（地区选拔）八年级数学试题
1．（2024八下·竞赛）继华为汽车爆火后，小米汽车迎来热潮！新能源汽车行业迎来了更多的创新和突破。如图是新能源汽车的标志，其中既是轴对称又是中心对称图形的有　 　个。
【答案】2
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第五个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第六个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：2.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可.把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．（2024八下·竞赛）刘大伯投资1600元种植瓯柑，春节期间，共采摘瓯柑400千克，当天就可以按12元/千克的价格售出。若将所采摘的瓯柑先储藏起来，其质量每天损失5千克，且每天需支付各种费用共20元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过一个月）。若刘大伯想获得4150元的利润，需要将采摘的瓯柑储藏　 　天。
【答案】10
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：该菜农要将这批瓯柑储藏x天后一次性出售，则x天后这批瓯柑的销售单价为(12+0.5x)元，销售量是(400-5x)kg.
由题意得，(12+0.5x)(400-5x)-20x-1600=4150，
解得 （舍去），
故答案为：10.
【分析】由原来的销售价格加上涨价部分的价格可得实际销售价格，由原来的销售量减去降低的销售量可得实际的销售量，利用实际销售价乘以实际的销售量再减去成本和支出等于利润建立方程求解即可.
3．（2024八下·竞赛）长方形ABCD中，AB=8，AD=12，将其沿EF折叠，点A，B分别落到点A'与点B'处，恰好点C在A'B'上，且EG=CG，则线段CF的长度为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵EG=CG，
∴设EG=CG=a， CF=x，
∴DG =8-a， BF =12-x，
根据折叠性质得： AE = A'E， BF = B'F =12-x，AB=A'B'=8，
在△DGE和 中，
∴△DGE≌△A'GC(AAS)，
∴A'G=DG=8-a，
∴AE = A'E =a+8-a= 8，
∴DE = A'C =12-8= 4，
∴B'C=8﹣4=4，
即
解得：
故答案为：
【分析】根据题意设EG=CG=α， CF=x， 证明△DGE和 全等，再利用勾股定理得 即可得到本题答案.
4．（2024八下·竞赛）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为　 　．
【答案】75
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数，
∴n的最大值为，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
5．（2024八下·竞赛）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=2，正方形ABCD的顶点A与点O重合，边A'D’与OD重合，将正方形A'B'C'D’绕点A'顺时针旋转90.A'B'与边BC交于点E，A'D'与边CD交于点F，连接EF交OC于点G，在整个运动过程中，则点G经过的路径长是　 　.
【答案】1
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：设OC的中点为P，
由画图可知：在整个运动过程中，点G的运动路径是从C到P，再从P到C，即点G经过的路径长是1；
故答案为：A.
【分析】正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合，边A'D'与OD重合，即开始时点G与C重合，当运动45度时，点G在OC的中点处，所以点G的运动路径是2CP长解答即可.
6．（2024八下·竞赛）如图，正方形的两个顶点，分别在x轴和y轴的正半轴上，另外两个顶点，在函数的图像上，在正方形的右侧再作一个正方形，使在x轴上，在函数图象上，则点的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：解：作 轴于C， y 轴于D，轴于 于F，如图所示：
设 则
，
∵四边形. 为正方形，
在 和 中，
同理：
的坐标为
把 的坐标代入 得：
解得：a=-1(舍去)或a=1，
设 的坐标为(
又∵四边形. 为正方形，
同上：
解得： (舍去)，
∴点 的坐标为
故答案为：.
【分析】作 轴于C， 轴于D， 轴于E， 于F，设 则 易得 则 所以 则 的坐标为 a)，然后把 的坐标代入反比例函数 得到a的方程，解方程求出a，得到 的坐标；设 的坐标为 易得 则 通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到 的坐标.
7．（2024八下·竞赛）已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴②－①，得2xy=u-4，
即u=2xy+4，
把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy 0，
解得：xy ，
把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy 0，
解得：xy≤
∴，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】联立两等式可求出u=2xy+4， 将进行配方可求出xy的范围，从而求出u的范围，继而确定M、m的值，即可得解.
8．（2024八下·竞赛）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动。如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程。其步骤为：先将CD边沿CF折叠，D点的对应点为D'，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B'处折痕与AB边交于E.若正方形边长为，连接EF，则△AEF的面积=　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形边长为
∵正方形的直角内角 经过两次折叠后两边分别重合，
在 中，
的面积
故答案为：
【分析】根据正方形边长为 可得 根据题意可得正方形的直角内角 经过两次折叠后两边分别重合，所以 ，然后根据含30度角的直角三角形可得AE和AF的长，进而可得 的面积.
9．（2024八下·竞赛）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8。将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边的中点D处，点G、HI分别为BE、EF、CF的中点，连接GH、HI、ID、DG，GH与DE相交于点M，HI与DF相交于点N，则四边形DMHN的面积为　 　.
【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图1： 连接CE， BF， AD，
是等腰直角三角形，则
将 沿EF折叠，使点A落在BC边的中点D处，
∵I为CF的中点，
∴ A， H， D三点共线，
∵点G、H分别为BE、EF的中点， 点D在BC边的中点处，
∴GH， DI分别是 的中位线，
BF，
∴四边形GDIH是平行四边形；
同理得
∴四边形GDIH是菱形，
连接GI， 分别交ED， FD于点P， Q， 连接HP，HQ，
由折叠的性质得：
都是等腰直角三角形，
∴点E和点F分别是AB，AC的中点，
则EF=BD=CD，
则
则GP=EH，
∵点G、H、I分别为BE、EF、CF的中点，
则
则EGPH是平行四边形，
则点M是GH的中点；
同理得点N是HI的中点，
则
∴四边形DMHN的面积为菱形GDIH的面积一半，
则
则GI=GP+PQ+QI=3GP=1.5BD=6
∴菱形GDIH的面积
∴四边形DMHN的面积为6，
故答案为：6.
【分析】先证明 得出四边形GDIH是菱形，通过角和边的换算，得出点E和点F分别是AB，AC的中点，得证点M是GH的中点，点N是H的中点，根据等底同高得出 再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答.
10．（2024八下·竞赛）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，A、B两地到河岸边的距离均为1，AH=BF=1，AD=7.BE=9，现欲在河道上架两座桥MN、PQ，使AM+MN+NP+PQ+QB最小，则最小值为　 　.
【答案】14
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：延长AH到J，使得.AJ=MN=2，延长BF到K，使得BK=PQ=2，连接JK交河道于点N'，P'，得到两座桥.N'M'，P'Q'，此时AM'+M'N'+N'P'+P'Q'+BQ'的值最小.
延长AH交BK的延长线于点W.
在 中，WK=6，WJ=8，
+2+N'P'+2+P'K=4+JK=14，
的最小值为14.
故答案为：14.
【分析】延长AH到J，使得AJ=MN=2，延长BF到K，使得BK=PQ=2，连接JK交河道于点N'，P'，得到两座桥.N'M'，P'Q'，此时AM'+M'N'+N'P'+P'Q'+BQ'的值最小.
11．（2024八下·竞赛）
【答案】解：
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先把括号内的二次根式通分，然后把除法化为乘法，分子、分母因式分解约分解答即可.
12．（2024八下·竞赛）
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据公式裂项相消解答即可.
13．（2024八下·竞赛）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个奇数解，且关于y的分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数a的值之和。
【答案】解：解不等式组
得，，
一元一次不等式组
有且仅有2个奇数解，
这2个奇数解为1和3，
，
解得，
由分式方程
得，，
分式方程的解是整数，
，
，
，
，
，
满足条件的所有整数a的值之和为。
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出a的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出a值，最后求出同时满足已知条件的a的值，求出它们的和即可.
14．（2024八下·竞赛）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍。通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）。
（1）球y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围：
（2）若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价：
（3）小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值。
【答案】（1）解：由题意得：，整理得：。
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴10≤x≤30.
（2）解：由题意.得：(x-10x)(-20x+1000)=7500.
解之得：x1=25，x2=35，
∵10≤x≤30，
∴x=25。
答：该商品的销售单价为25元。
（3）解：设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
。
其对称轴为直线为：。
在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
随x的增大而增大。
当时，。
，
解得。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)由题意得， 根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，确定x的取值范围；
(2)根据每天销售量×一件商品利润=7500列方程，解方程可得该商品的销售单价；
(3)设销售该商品每天的总利润为w元，则w=(x-10-m)(-20x+1000)，求得其对称轴以及开口方向，确定x为何值，销售利润最大，已知销售最大利润为6000元，可解方程求出m的值.
15．（2024八下·竞赛）若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“海峡三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“海峡三数组”。
（1）若、、构成“海峡三数组”，求实数t的值；
（2）若非零实数、、-1构成“海峡三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为n；③不等式恒成立。求实数m的取值范围。
【答案】（1）解：倒数为，的倒数为，的倒数为，、、构成“海峡三数组”。
①当时，解得：；
②当时，解得：.
当时，不成立，故舍去；
③当时，解得：；
综上可知，实数的值为1或-3；
（2）解：∵a+b+c=0，
，
∵点到原点的距离记为n
令，则.
∴当时，n2的最小值为
恒成立
【知识点】有理数的倒数；分式的混合运算；二次函数的最值；实数奥数问题综合
【解析】【分析】（1） 倒数为 的倒数为 的倒数为 由 构成“海峡三数组”，分三种情况进行讨论求解即可；
（2）由(a+b+c=0，可得b+c=-a，再由点 到原点的距离记为n，可得 令 得到 的最小值为 ，再求解即可.
16．（2024八下·竞赛）如图，平面直角坐标系xOy中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线。与双曲线分别交于点C，点D。若的面积为，求的值。
【答案】解：过点A作 轴于点F，过点B作 轴于点H，
∵点. )在反比例函数图象上，
轴，
∴点C纵坐标为： 点D纵坐标为：
∴点C横坐标为： 点D横坐标为：
，整理得： 即：
或
(舍)，
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【分析】作 轴，作 轴，用含x1、x2的代数式， 表示出AF、BH、FH的长， 根据 轴，表示出C、D的坐标，进而表示出AC、BD的长，代入 得到 根据反比例函数的几何意义，得到 代入梯形面积公式，应用因式分解，得到 即可求解.
17．（2024八下·竞赛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，DC=DA，∠D=60°，AB=2，将四边形ABCD折叠，使点D和点B重合，折痕为EF，求EF的长。
【答案】解：如下图，过点E作于点Q，交CD于点P，
，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
由折叠可知，
在中，可有，
即，解得，
，
，，
，，，
设，则，，，在中，可有，
即，
解得，即，
，
在中，，.
在中，由勾股定理，.
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；平面解析几何
【解析】【分析】过点E作于点Q，交CD于点P，证明△DAC是等边三角形，即可得到∠ACB=30°，根据30°的直角三角形的性质得到AC=4，再利用勾股定理求出BC长，根据折叠性质和勾股定理求出CF的长，设，在中，根据勾股定理求出x的值，再在中根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出DP和PE长，在中运用勾股定理解答即可.
18．（2024八下·竞赛）已知在直角△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上任一点（不与A、B重合），连接CD。
（1）如图1，若AC=3，BC=4，且CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求DE的长。
（2）在（1）的条件下，若AB的垂直平分线与CD的延长线交于点P，求四边形ACBP的面积。
（3）如图3，若AC=BC=6，D是AB的三等分点（点D靠近点B）.在射线CD上有一点P，使得∠APC=∠BPC，过D作DM⊥AP，DN⊥BP，求DM的长。
【答案】（1）解：，，，
，
∵CD平分，于E，于F，
，
，
，
，
；
（2）解：过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，则：∠PFA=∠PGB=∠PGC=90°，
∵AB的垂直平分线与CD的延长线交于点P，CD平分∠ACB，
∴PA=PB，PG=PF，
∴△AFP≌=△BGP(HL)，
∴S△AFP≌S△BGP，AF=BG，
四边形PFCG的面积等于四边形ACBP的面积，
平分．
均为等腰直角三角形，
四边形PFCG的面积等于四边形ACBP的面积：
（3）解：，
是AB的三等分点，
过点作，则：，
，
，
四边形ECFP为正方形．
，
，
，
四边形DMPN为正方形，
设，则：，
过点作，交AP子点，则：，
，
，
，
，
，
，
过点D作，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；平面解析几何
【解析】【分析】(1)勾股定理求出AB的长，根据角平分线的性质，得到DE =DF，等积法求出DE的长即可；
(2)过点P作PF⊥AC， PG⊥BC， 证明△AFP≌△BGP，推出四边形PFCG的面积等于四边形ACBP的面积进行求解即可；
(3)勾股定理求出AB的长， 过点C作CE⊥AP， CF⊥PB， 证明△AEC≌△BFC， 得到四边形ECFP为正方形，进而推出四边形DMPN为正方形，设DN=DM=MP= PN =x， 则： ， 过点D作DG⊥AD， 交AP于点G， 证明△DMG≌△DNB， 进而推出 S△ADG+S正方形DMPN，过点D作DH⊥BC， 求出CD的长，进而求出PC的长，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，表示出 再根据全等三角形的面积相等，得到 列出方程进行求解即可.
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