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2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评九年级数学二试试题
1．（2024九上·竞赛）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值。
【答案】解：根据题意得，且，解得且：
的最大整数为-1，此时方程变形为，
解得，，
把代入，得：，
解得；
把代入，得：，
解得.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且 然后求出两不等式的公共部分即可；解方程 得 然后把x=2和x=3分别代入方程 0可得对应的n的值.
2．（2024九上·竞赛）已知二次函数 图像上一点 （x， y)，当自变量 x 的范围满足 时，函数 y 有最大值 M 和最小值 N，令 ，是否存在实数 k，使得函数 y 的最大值等于 h 的最小值。若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：存在实数k，使得函数y的最大值等于h的最小值，理由如下：
∵，
∴函数的对称轴为直线，y的最大值为，
①当时，即.
此时，，
∴，
此时h的最小值为，则，解得；
②当时，即.
此时，，
，
此时h的最小值为，则，解得；
③当，即.
此时，，
∴h的最小值为
④当，即，此时，，
的最小值为；
由题意可得，
解得；
综上所述：k的值为或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】分四种情况讨论：当 即 当 时，M=- +k，h=t-2；
当 时， 当t< 4+k，可得 或 解题即可.
3．（2024九上·竞赛）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”。将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，求满足条件的“十拿九稳数”m的最大值。
【答案】解：由题意知，，，
，
，
，
为整数，
或，
由题意知，当a值最大时，m的值最大.
当时，最大的a值为5，此时，m的最大值为5257；
当时，最大的a值为9，此时，m的最大值为9316；
，
满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316.
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；完全平方数
【解析】【分析】根据定义，有a+c=10和b+d=9，通过计算得F(m)=20a+2b-109.代入若该式为整数，则2a+b-9=3或2a+b-9=12，由题意知，当a值最大时，m的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可.
4．（2024九上·竞赛） 如图，AB 是 的直径， 内接于 ，AD 平分 交于 点 D，连接 CD， AB，分别延长 CD， AB 相交于点 E，且 。
（1） 若 的半径为 4，求图中阴影部分的面积；
（2） 在 （1） 的条件下，过点 A 作 ，以 AF、FD 为边作矩形 AFDM，求矩形 AFDM 的面积。
【答案】（1）解：连接BD，OD，过点D作，
为直径，
，设，
，
∵AB是⊙O的直径， △ACD内接于⊙O， AD平分∠CAE交于⊙O点D， DE = AD.
∴∠CAD =∠DAB， ∴∠DAB=∠E，
∴∠CAD =∠E，
又∵∠ACE=∠ACE，
∴△CAD∽△CEA，
，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
，
即，
解得：，即，
，
，
，
，
，
。
（2）解：根据题意作图如下：
由（2）可知，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
∴AF=FD，
∴AD2=2AF2，
∴AF2=2AD2=16+8，
∵AF=FD，
∴AFDM 是正方形，
∴S= AF2=16+8
【知识点】圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接BD， OD， 过点D作设 利用角平分线定义得 证明△ 即可得到，列出关于α的方程，求出 ，再利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求出本题答案；
(2)求出 再求出 再利用等腰直角三角形的性质和正方形判定及性质即可得到本题答案.
5．（2024九上·竞赛）如图，在中，，点D在AB上，点E为BC上的动点，将沿DE翻折得到，EF与AC相交于点G，若，，，，求CE的值。
【答案】解：如图，
作于点H，作于点T，交EF于点R，作于点Q，
，
，
，
，
，
∴四边形DTCH是矩形，∴矩形DTCH是正方形，
，
△RTG∽△ECG，
，
设，，，，
由折叠得：，，EQ= EH =2-2x，
，
，
在中，，
，，（舍去），，
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】作DH⊥BC于H，作DT⊥AC与T，交EF于R，求得DH=CH=2，证明四边形DTCH是正方形， △DRE是等腰三角形，根据△RTG∽△ECG，求得RT：CE=3：2，设CE=2x， RT=3x，进而表示出EH， DR，根据ED平分∠BEF，可得EQ=EH， DQ=DH，进而在Rt△DRQ中，根据勾股定理列出关于DQ， RQ， DR的关系式，从而求得x，进一步得出结果.
6．（2024九上·竞赛）图1是一种折叠式晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米。（参考数据：≈1.73)
当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求B'E'。
【答案】解：过点F 作FK⊥OC于K
∵OB//CD，
∴∠BOD=∠ODC=60°，
∴在Rt△OFK中. KO=OF·cos60°=4×=2(分米)，
（分米），
在中，（分米），
（分米）。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点F 作FK⊥OC于K， 根据平行线得到∠BOD=∠ODC=60°，然后在Rt△OFK中根据三角函数求出KO和KF长，进而根据勾股定理求出E'K的值，然后根据线段的和差解答即可.
7．（2024九上·竞赛）甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，如图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，，，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球。以MN所在直线为x轴，M为原点做平面直角坐标系，x（dm)表示球与M的水平距离，y（dm)表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的解析式为。设CP段抛物线的解析式为。
（1）当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离：
（2）若球第二次的落点C在球网右侧5 dm处，球再次弹起最高为1.25 dm，乙的球拍在N处正上万如线段GH，GH =1.5 dm，HN=0.8 dm，将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，直接写出n的取值范围。
【答案】（1）解：根据平面直角坐标系和已知条件，可知，故F(14，1.5)
∵BC段抛物线的解析式为，且B，C为坐标轴上的点
∴令，则
解得，
故B(t，0)，C
球在球网EF正上方时到达最高点时，即EF所在的直线在BC段抛物线的对称轴上
∴对称轴为
即
∴
∴BC段抛物线的解析式为.
令，代入得
故
当球在球网EF正上方时到达最高点，球与F的距离为0.3dm
（2）解：1≤n≤7
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（2）根据题意可知 ，
将 代入
得
解得：（不符合题意，舍去）
故CP段抛物线的解析式为
当P与H重合时，设，将代入
得
解得：，
因为G的纵坐标为2.3，即大于CP段抛物线的最高点
根据二次函数的性质，当时，能够接住球.
【分析】(1)先依题意求得F点坐标，再求抛物线与x轴交点即可，然后求出解析式，再求得球与F的距离；
(2)将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题.
8．（2024九上·竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8 cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动。设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（m2)。
（1）写出s和之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围：
（2）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顾点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由。
【答案】（1）解：①当F在BC上，即时，如图：
②当F在CD上时，由解得，
∴F追上G所用时间是4s，
∴此时，
如图：
∵，，
∴，
∴，
综上所述，；
（2）解：如图：
，
∴以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，只需或，
当时，，
解得.
当时，，
解得，
综上所述，当t为或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似.
【知识点】二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
(1)根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时， 的面积为S，求出S和t的关系式.
(2)分为两种情况，根据相似三角形的对应边成比例求出时间t的值解答即可.
9．（2024九上·竞赛）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a<0)与x轴交于点A（-4，0)、C（1，0)两点，与y轴交于点B（0，3)，点M（m.0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，连接AE、BE 。
（1）当∠ABE=45°时，m的值为　 　：
（2）在x轴上有一点F，△ABF恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标。
【答案】（1）
（2）解：(1，0)或(-9，0)或(4，0)或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）将 ，， 代入 中，
解得：，，；
∴抛物线的解析式为：；
作 交 EB 于 F，如图
∵，
，则 ，
，
，
，即
由（2）可知，E 点坐标为
设AB 的解析式为y=kx+b
把A(-4，0)， B (0， 3)代入
的坐标为
解得：，
舍去
：
当时，点M与点O重合，点E在y轴上，，不符合题意；综上可得：.
（2）设点F的坐标为：(t，0)，
由A(-4，0)，B(0，3)可知，，，，
若是等腰三角形，则
当时，即，得，解得：，，
点F的坐标为(1，0)或(-9，0)；
当时，即，得，解得：，（舍去），
点F的坐标为(4，0)；
当时，即，得，解得：，
点F的坐标为；
综上，恰好是等腰三角形时，点F的坐标为(1，0)或(-9，0)或(4，0)或.
【分析】(1)将点A、B、C的坐标代入 (a<0)求出解析式；利用点A、B的坐标求出直线AB的解析式，推出D点纵坐标，再由E点纵坐标得到ED长度，根据 即可推出答案；
(2)设点F的坐标为(t，0)， 由A(-4，0)， B(0，3)可知， ，根据题意，分当AB=AF时，当AB=BF时，当AF=BF时，三种情况分别讨论求解即可.
10．（2024九上·竞赛）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线，点E为AB上一点，连接DE。
（1） 如图1，，，点E在BD中垂线上，过点D作交AC于点F，求线段DF的长。
（2） 如图2，将线段DE绕点D旋转至DG，使，过点G作交AB于点M，作交BA的延长线于点N，作交ED的延长线于点H，连接CH，求证：。
（3） 如图3，，，EJ垂直平分BD于点J，点P是射线JE上的动点，连接DP，将线段DP绕点P逆时针旋转至线段PD'，点Q是线段AC上的动点，连接AD'，QD'，当AD'最小时，将沿QD'所在直线翻折至所在平面内得到，连接A'D，A'C，当A'D最大时，请直接写出的面积。
【答案】（1）解： ，，
，
AD为BC边上中线，
，
点E在BD中垂线上，
，
，
，
，
又∠B+∠C=90°，∠B=∠EDB，
∴∠FDC=∠C，
∴FD=FC，
作FH⊥CD交CD于点H，
（2）证明：连接AG，取MN的中点K，连接GK，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵中，D是BC中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
又DE=DG，BD=AD，
，
.
又∠B=∠BAD.
∴∠DAG =∠BAD=∠B，
∴∠BAG =∠BAD+∠DAG =2∠B，
又∠AKG=2∠B，
∴∠BAG= ∠AKG，
∴KG=AG=MN，
∵∠EGH =90°， ED=GD，
∴∠EGD+∠HGD =90°， ∠DEG=∠DGE，∠DEG+∠DHG =90°.
∴∠DGH =∠DHG，
∴DG=DH，
∴∠CDH =∠EDB， ∠EDB= ∠ADG，
∴∠ADG= ∠CDH
在和中，
，
，
，
，
（3）解：
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接BD'、D'D'、BP，并延长BP交D'D'于点H.
垂直平分BD于点.
将线段DP绕点F逆时针旋转60°至线段PD'，
DPD'是等边三角形，DP=DP'，
当AD'最短时，可知，如图所示，
将沿QD'所在直线翻折至所在平面内得到
∴AD'=A'D'.
∵A'D'+DD'≥A'D.
∴当且仅当A'， D'，D三线合一时. A'D最大，
如图所示：
连接ED'、ED，作AM⊥ED'交ED于点M，作DN⊥BD'交BD'于点N，作A'R⊥CD交CD于点R，
∵AB=4. ∠ABC= 45°， ∠BAC =90°. D是BC的中点，
∴
∵EJ垂直平分BD于点J，
∴BJ=DJ=BD=，
∵，
∴
∴AE= AB-BE=4-2=2，
∴E是AB的中点，
∴ED'= AE=BE==2
∴∠EBD' = ∠ED'B，∠EAD'=∠ED'A，
∴∠AED'=∠EBD'+∠ED'B=2∠EBD'，
∵∠ABC= 45°， ∠D'BD= 30°，
∴∠ABD’=15°，
∴∠AED'= 30°，
【分析】(1)先通过勾股定理求出BC，根据斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD，通过中垂线以及DE⊥DF， 证明出∠FDC =∠C， 从而推导出CF= DF，作FH⊥CD交CD于点H，根据等腰三角形三线合一，求得 最后利用cos∠C = 求得CF，从而得到DF的长度.
(2)连接AG， 取MN的中点K， 连接GK， 先通过直角三角形斜边上的中点得到MK=KG=KN 得到∠AKG =∠KMG+∠KGM=2∠KMG， 因为MG∥BC，可知∠KMG =∠B， 从而推导出∠AKG=2∠B， 接下来通过∠EDG+2∠B=180°， 推导出∠ADG=∠EDB， 再证明△BED≌△AGD， 得到∠B =∠DAG， 又因为BD=AD， AC=18， BC=12， ∠B=∠BAD， 所以得到∠BAD =∠DAG， ∠BAG=2∠B， 推出∠AKG=∠KAG=2∠B， 根据等角对等边，知道 再证明△ADG≌△CDH， 得到CH = AG， 从而得证.
(3)先通过BP=PD=PD'，证明∠D'BD=30°，得到当AD'最短时，可知. 将 沿QD'所在直线翻折至△ABC所在平面内得到D'Q，当且仅当A'，D'，D三线合一时， A'D最大， 作AM⊥PD'交PD''于点M，作DN⊥BD'交BD'于点N， 利用勾股定理， 求出AD'和D'D的长度， 得到A'D和∠A'DC=∠AD'E =75°， 作A'R⊥CD交CD于点R， sin∠A'DC= si 求得A'R，最后利用 CD×A'R求得面积.
1 / 12024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评九年级数学二试试题
1．（2024九上·竞赛）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值。
2．（2024九上·竞赛）已知二次函数 图像上一点 （x， y)，当自变量 x 的范围满足 时，函数 y 有最大值 M 和最小值 N，令 ，是否存在实数 k，使得函数 y 的最大值等于 h 的最小值。若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。
3．（2024九上·竞赛）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”。将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，求满足条件的“十拿九稳数”m的最大值。
4．（2024九上·竞赛） 如图，AB 是 的直径， 内接于 ，AD 平分 交于 点 D，连接 CD， AB，分别延长 CD， AB 相交于点 E，且 。
（1） 若 的半径为 4，求图中阴影部分的面积；
（2） 在 （1） 的条件下，过点 A 作 ，以 AF、FD 为边作矩形 AFDM，求矩形 AFDM 的面积。
5．（2024九上·竞赛）如图，在中，，点D在AB上，点E为BC上的动点，将沿DE翻折得到，EF与AC相交于点G，若，，，，求CE的值。
6．（2024九上·竞赛）图1是一种折叠式晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米。（参考数据：≈1.73)
当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求B'E'。
7．（2024九上·竞赛）甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，如图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，，，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球。以MN所在直线为x轴，M为原点做平面直角坐标系，x（dm)表示球与M的水平距离，y（dm)表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的解析式为。设CP段抛物线的解析式为。
（1）当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离：
（2）若球第二次的落点C在球网右侧5 dm处，球再次弹起最高为1.25 dm，乙的球拍在N处正上万如线段GH，GH =1.5 dm，HN=0.8 dm，将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，直接写出n的取值范围。
8．（2024九上·竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8 cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动。设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（m2)。
（1）写出s和之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围：
（2）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顾点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由。
9．（2024九上·竞赛）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a<0)与x轴交于点A（-4，0)、C（1，0)两点，与y轴交于点B（0，3)，点M（m.0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，连接AE、BE 。
（1）当∠ABE=45°时，m的值为　 　：
（2）在x轴上有一点F，△ABF恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标。
10．（2024九上·竞赛）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线，点E为AB上一点，连接DE。
（1） 如图1，，，点E在BD中垂线上，过点D作交AC于点F，求线段DF的长。
（2） 如图2，将线段DE绕点D旋转至DG，使，过点G作交AB于点M，作交BA的延长线于点N，作交ED的延长线于点H，连接CH，求证：。
（3） 如图3，，，EJ垂直平分BD于点J，点P是射线JE上的动点，连接DP，将线段DP绕点P逆时针旋转至线段PD'，点Q是线段AC上的动点，连接AD'，QD'，当AD'最小时，将沿QD'所在直线翻折至所在平面内得到，连接A'D，A'C，当A'D最大时，请直接写出的面积。
答案解析部分
1．【答案】解：根据题意得，且，解得且：
的最大整数为-1，此时方程变形为，
解得，，
把代入，得：，
解得；
把代入，得：，
解得.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且 然后求出两不等式的公共部分即可；解方程 得 然后把x=2和x=3分别代入方程 0可得对应的n的值.
2．【答案】解：存在实数k，使得函数y的最大值等于h的最小值，理由如下：
∵，
∴函数的对称轴为直线，y的最大值为，
①当时，即.
此时，，
∴，
此时h的最小值为，则，解得；
②当时，即.
此时，，
，
此时h的最小值为，则，解得；
③当，即.
此时，，
∴h的最小值为
④当，即，此时，，
的最小值为；
由题意可得，
解得；
综上所述：k的值为或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】分四种情况讨论：当 即 当 时，M=- +k，h=t-2；
当 时， 当t< 4+k，可得 或 解题即可.
3．【答案】解：由题意知，，，
，
，
，
为整数，
或，
由题意知，当a值最大时，m的值最大.
当时，最大的a值为5，此时，m的最大值为5257；
当时，最大的a值为9，此时，m的最大值为9316；
，
满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316.
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；完全平方数
【解析】【分析】根据定义，有a+c=10和b+d=9，通过计算得F(m)=20a+2b-109.代入若该式为整数，则2a+b-9=3或2a+b-9=12，由题意知，当a值最大时，m的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可.
4．【答案】（1）解：连接BD，OD，过点D作，
为直径，
，设，
，
∵AB是⊙O的直径， △ACD内接于⊙O， AD平分∠CAE交于⊙O点D， DE = AD.
∴∠CAD =∠DAB， ∴∠DAB=∠E，
∴∠CAD =∠E，
又∵∠ACE=∠ACE，
∴△CAD∽△CEA，
，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
，
即，
解得：，即，
，
，
，
，
，
。
（2）解：根据题意作图如下：
由（2）可知，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
∴AF=FD，
∴AD2=2AF2，
∴AF2=2AD2=16+8，
∵AF=FD，
∴AFDM 是正方形，
∴S= AF2=16+8
【知识点】圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接BD， OD， 过点D作设 利用角平分线定义得 证明△ 即可得到，列出关于α的方程，求出 ，再利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求出本题答案；
(2)求出 再求出 再利用等腰直角三角形的性质和正方形判定及性质即可得到本题答案.
5．【答案】解：如图，
作于点H，作于点T，交EF于点R，作于点Q，
，
，
，
，
，
∴四边形DTCH是矩形，∴矩形DTCH是正方形，
，
△RTG∽△ECG，
，
设，，，，
由折叠得：，，EQ= EH =2-2x，
，
，
在中，，
，，（舍去），，
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】作DH⊥BC于H，作DT⊥AC与T，交EF于R，求得DH=CH=2，证明四边形DTCH是正方形， △DRE是等腰三角形，根据△RTG∽△ECG，求得RT：CE=3：2，设CE=2x， RT=3x，进而表示出EH， DR，根据ED平分∠BEF，可得EQ=EH， DQ=DH，进而在Rt△DRQ中，根据勾股定理列出关于DQ， RQ， DR的关系式，从而求得x，进一步得出结果.
6．【答案】解：过点F 作FK⊥OC于K
∵OB//CD，
∴∠BOD=∠ODC=60°，
∴在Rt△OFK中. KO=OF·cos60°=4×=2(分米)，
（分米），
在中，（分米），
（分米）。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点F 作FK⊥OC于K， 根据平行线得到∠BOD=∠ODC=60°，然后在Rt△OFK中根据三角函数求出KO和KF长，进而根据勾股定理求出E'K的值，然后根据线段的和差解答即可.
7．【答案】（1）解：根据平面直角坐标系和已知条件，可知，故F(14，1.5)
∵BC段抛物线的解析式为，且B，C为坐标轴上的点
∴令，则
解得，
故B(t，0)，C
球在球网EF正上方时到达最高点时，即EF所在的直线在BC段抛物线的对称轴上
∴对称轴为
即
∴
∴BC段抛物线的解析式为.
令，代入得
故
当球在球网EF正上方时到达最高点，球与F的距离为0.3dm
（2）解：1≤n≤7
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（2）根据题意可知 ，
将 代入
得
解得：（不符合题意，舍去）
故CP段抛物线的解析式为
当P与H重合时，设，将代入
得
解得：，
因为G的纵坐标为2.3，即大于CP段抛物线的最高点
根据二次函数的性质，当时，能够接住球.
【分析】(1)先依题意求得F点坐标，再求抛物线与x轴交点即可，然后求出解析式，再求得球与F的距离；
(2)将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题.
8．【答案】（1）解：①当F在BC上，即时，如图：
②当F在CD上时，由解得，
∴F追上G所用时间是4s，
∴此时，
如图：
∵，，
∴，
∴，
综上所述，；
（2）解：如图：
，
∴以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，只需或，
当时，，
解得.
当时，，
解得，
综上所述，当t为或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似.
【知识点】二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
(1)根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时， 的面积为S，求出S和t的关系式.
(2)分为两种情况，根据相似三角形的对应边成比例求出时间t的值解答即可.
9．【答案】（1）
（2）解：(1，0)或(-9，0)或(4，0)或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）将 ，， 代入 中，
解得：，，；
∴抛物线的解析式为：；
作 交 EB 于 F，如图
∵，
，则 ，
，
，
，即
由（2）可知，E 点坐标为
设AB 的解析式为y=kx+b
把A(-4，0)， B (0， 3)代入
的坐标为
解得：，
舍去
：
当时，点M与点O重合，点E在y轴上，，不符合题意；综上可得：.
（2）设点F的坐标为：(t，0)，
由A(-4，0)，B(0，3)可知，，，，
若是等腰三角形，则
当时，即，得，解得：，，
点F的坐标为(1，0)或(-9，0)；
当时，即，得，解得：，（舍去），
点F的坐标为(4，0)；
当时，即，得，解得：，
点F的坐标为；
综上，恰好是等腰三角形时，点F的坐标为(1，0)或(-9，0)或(4，0)或.
【分析】(1)将点A、B、C的坐标代入 (a<0)求出解析式；利用点A、B的坐标求出直线AB的解析式，推出D点纵坐标，再由E点纵坐标得到ED长度，根据 即可推出答案；
(2)设点F的坐标为(t，0)， 由A(-4，0)， B(0，3)可知， ，根据题意，分当AB=AF时，当AB=BF时，当AF=BF时，三种情况分别讨论求解即可.
10．【答案】（1）解： ，，
，
AD为BC边上中线，
，
点E在BD中垂线上，
，
，
，
，
又∠B+∠C=90°，∠B=∠EDB，
∴∠FDC=∠C，
∴FD=FC，
作FH⊥CD交CD于点H，
（2）证明：连接AG，取MN的中点K，连接GK，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵中，D是BC中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
又DE=DG，BD=AD，
，
.
又∠B=∠BAD.
∴∠DAG =∠BAD=∠B，
∴∠BAG =∠BAD+∠DAG =2∠B，
又∠AKG=2∠B，
∴∠BAG= ∠AKG，
∴KG=AG=MN，
∵∠EGH =90°， ED=GD，
∴∠EGD+∠HGD =90°， ∠DEG=∠DGE，∠DEG+∠DHG =90°.
∴∠DGH =∠DHG，
∴DG=DH，
∴∠CDH =∠EDB， ∠EDB= ∠ADG，
∴∠ADG= ∠CDH
在和中，
，
，
，
，
（3）解：
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接BD'、D'D'、BP，并延长BP交D'D'于点H.
垂直平分BD于点.
将线段DP绕点F逆时针旋转60°至线段PD'，
DPD'是等边三角形，DP=DP'，
当AD'最短时，可知，如图所示，
将沿QD'所在直线翻折至所在平面内得到
∴AD'=A'D'.
∵A'D'+DD'≥A'D.
∴当且仅当A'， D'，D三线合一时. A'D最大，
如图所示：
连接ED'、ED，作AM⊥ED'交ED于点M，作DN⊥BD'交BD'于点N，作A'R⊥CD交CD于点R，
∵AB=4. ∠ABC= 45°， ∠BAC =90°. D是BC的中点，
∴
∵EJ垂直平分BD于点J，
∴BJ=DJ=BD=，
∵，
∴
∴AE= AB-BE=4-2=2，
∴E是AB的中点，
∴ED'= AE=BE==2
∴∠EBD' = ∠ED'B，∠EAD'=∠ED'A，
∴∠AED'=∠EBD'+∠ED'B=2∠EBD'，
∵∠ABC= 45°， ∠D'BD= 30°，
∴∠ABD’=15°，
∴∠AED'= 30°，
【分析】(1)先通过勾股定理求出BC，根据斜边上的中线等于斜边的一半，求得CD，通过中垂线以及DE⊥DF， 证明出∠FDC =∠C， 从而推导出CF= DF，作FH⊥CD交CD于点H，根据等腰三角形三线合一，求得 最后利用cos∠C = 求得CF，从而得到DF的长度.
(2)连接AG， 取MN的中点K， 连接GK， 先通过直角三角形斜边上的中点得到MK=KG=KN 得到∠AKG =∠KMG+∠KGM=2∠KMG， 因为MG∥BC，可知∠KMG =∠B， 从而推导出∠AKG=2∠B， 接下来通过∠EDG+2∠B=180°， 推导出∠ADG=∠EDB， 再证明△BED≌△AGD， 得到∠B =∠DAG， 又因为BD=AD， AC=18， BC=12， ∠B=∠BAD， 所以得到∠BAD =∠DAG， ∠BAG=2∠B， 推出∠AKG=∠KAG=2∠B， 根据等角对等边，知道 再证明△ADG≌△CDH， 得到CH = AG， 从而得证.
(3)先通过BP=PD=PD'，证明∠D'BD=30°，得到当AD'最短时，可知. 将 沿QD'所在直线翻折至△ABC所在平面内得到D'Q，当且仅当A'，D'，D三线合一时， A'D最大， 作AM⊥PD'交PD''于点M，作DN⊥BD'交BD'于点N， 利用勾股定理， 求出AD'和D'D的长度， 得到A'D和∠A'DC=∠AD'E =75°， 作A'R⊥CD交CD于点R， sin∠A'DC= si 求得A'R，最后利用 CD×A'R求得面积.
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