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广东省中山市2025-2026学年上学期期末水平测试卷九年级数学
1．（2026九上·中山期末）下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是(　　)
A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．夕阳西下
2．（2026九上·中山期末）《周易》中用“卦”描述万物的变化．下列“卦”的部分符号中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026九上·中山期末）的半径为3，同一平面内，若点P与圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定
4．（2026九上·中山期末）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·中山期末）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断方程的实数根的情况
6．（2026九上·中山期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（　　）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
7．（2026九上·中山期末）近日，国家卫生健康委员会印发了《儿童青少年近视防控适宜技术指南（更新版）》，要求建立中小学生视力定期筛查制度．某区为了解初中生近视情况，在全区开展了初中生视力筛查工作，筛查的部分统计结果如下表．根据筛查结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计筛查的学生数n 100 200 300 400 500 600 700
近视学生数与n的比值 0.423 0.413 0.408 0.412 0.411 0.410 0.410
A．0.408 B．0.410 C．0.413 D．0.423
8．（2026九上·中山期末）关于抛物线，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线 D．顶点坐标为
9．（2026九上·中山期末）《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026九上·中山期末）二次函数 当时，y的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026九上·中山期末）点关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．（2026九上·中山期末）将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为　 　．
13．（2026九上·中山期末）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为　 　．
14．（2026九上·中山期末）用一张正方形纸板依据图1进行折叠、剪切，可以制作出图2所示的七巧板，在该七巧板上随机钉一枚图钉，则图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是　 　．
15．（2026九上·中山期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为　 　．
16．（2026九上·中山期末）解方程
17．（2026九上·中山期末）如图，已知边长为3的正方形，点E在边上，，连接．将绕点B顺时针旋转某个角度得到，使得与重合，点E的对应点记作点F．
（1）用无刻度直尺和圆规作出；
（2）连接，求的长．
18．（2026九上·中山期末）2025年粤港澳大湾区全运会筹备期间，某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物手办，经销售部门统计，该系列智能手办在4月份销售500件，6月份销售720件．请求出该手办从4月份到6月份销售量的月平均增长率．
19．（2026九上·中山期末）动手操作
用一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
【方法一】如图2，将矩形硬纸板紧贴在杯口，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长；
【方法二】如图3，将矩形硬纸板紧贴在杯口上，使其一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于 P，Q两点，利用刻度尺测得的长为．
（1）方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是 ；
（2）请根据方法二的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
20．（2026九上·中山期末）小山参加某场环保知识竞答节目，答对最后两道单选题就能顺利通关．第一道单选题有个选项，第二道单选题有个选项，这两道题小山都不会，不过他有一个“求助”可以使用（使用“求助”可以让主持人去掉当前题的一个错误选项）．
（1）若小山第一题不使用“求助”，则他答对第一道题的概率是 ；
（2）从概率的角度分析，你建议小山在第几题使用“求助”？并利用树状图或列表法说明理由．
21．（2026九上·中山期末）综合与实践
【背景介绍】列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在一次运行中，某城市地铁1号线列车于离A站停车线196米处启动减速程序，减速6秒后开始播放提示音“列车即将到达A站……”．
【提出问题】列车开始播放提示音时已减速行驶了多远？
【解决问题】下面通过建立函数模型，来探究列车在启动减速程序后离A站停车线的距离s（单位：米）与减速行驶时间t（单位：秒）之间的函数关系．为了便于研究，收集了相关数据如下表：
t（秒） 0 4 8 12 16 20 24
s（米） 196 144 100 64 36 16 4
（1）为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）请观察这条函数图象的形状，判断它可能是“一次函数”“二次函数”中的哪种函数的图象？由于该函数图象与s轴的交点坐标为，若该函数为一次函数，可设其解析式为；若该函数为二次函数，可设其解析式为，请求出你判断的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）请应用（2）中求出的函数解析式解答提出的问题．
22．（2026九上·中山期末）如图，已知是等腰三角形， 其中，以为直径作，交延长线于点D，交边于点E，过点E作于点F．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若点C为的中点，．
①求的度数；
②求由线段，与围成的阴影部分的面积．
23．（2026九上·中山期末）如图1，已知抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接．
（1）求的度数；
（2）如图2，点P在所在直线上方的抛物线上，连接，，已知，求点P的坐标；
（3）如图3，直线l是抛物线的对称轴，将线段绕点O顺时针旋转后得到．请问在直线l上是否存在点Q，使得最大，若存在，请求出此时点Q坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、不可能事件
B、随机事件
C、必然事件
D、必然事件
故答案为：A .
【分析】一定条件下一定不会性的事件叫不可能事件，一定条件下一定会发生的事件叫必然事件，不可能事件和必然事件统称确定事件；一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，，
∴，
∴点P在外．
故答案为：A．
【分析】利用点与圆的位置关系（①当dr时，点在圆外）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
即．
故答案为：A．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为；
绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到，
故旋转方式是绕点顺时针旋转．
故答案为：B．
【分析】利用图形旋转的特征，先确定旋转中心，再求出旋转角即可.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得，近视学生数与筛查学生数n的比值趋向于0.410．
故答案为：B.
【分析】结合表格中的数据，利用概率求出比值即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线中，，
∴ 开口向上，A正确；
∵ 对称轴为，
∴ C正确；
∵ 顶点坐标为，
∴ D错误；
∵，当时，随增大而增大，
∴ B正确．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为尺，则高为尺，
根据题意，可列方程．
故答案为：A．
【分析】设矩形门宽为尺，则高为尺，利用勾股定理列出方程即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴ 抛物线开口向上，顶点为，
∴当时，y有最小值为．
∵当时，，当 时，，
∴在 时，的取值范围为．
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的解析式求出当时y的取值，从而得解.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称，
其对称点坐标为．
故答案为：．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为．
故答案为：
【分析】将抛物线向下平移2个单位长度后，即可得到新的抛物线解析式。
13．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠DOA＝90° 40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，
故答案为：25.
【分析】利用切线的性质可得∠ODA＝90°，再结合∠A＝40°，求出∠DOA的度数，最后利用圆周角的性质可得∠C的度数.
14．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可知，区域①的面积为正方形面积的，
∴图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是．
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题知，原方程中，，，，其倒方程为，即，
将代入倒方程：，
解得
验证，，符合条件
故答案为：．
【分析】先将代入倒方程：，求出c的值，再验证即可.
16．【答案】解：∵ ， ，
∴
∵
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】算出方程根的判别式的值，由该值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可得出答案。
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
∵边长为3的正方形，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，则即为所求；
（2）先利用正方形的性质求出，，再利用勾股定理求出，再利用旋转的性质得到，，最后利用勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
∵边长为3的正方形，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴．
18．【答案】解：设从4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（舍去），
答：从4月份到6月份销售量的月平均增长率为．

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设从4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用“ 4月份销售500件，6月份销售720件 ”列出方程求解即可.
19．【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径
（2）解：如图3，设点为圆心，连接交于点，连接．
∵是的切线，切点为E，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径为，
答：杯口的直径为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】（1）解：方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是的圆周角所对的弦是直径；
故答案为：的圆周角所对的弦是直径.
【分析】（1）利用圆周角的性质（的圆周角所对的弦是直径）分析求解即可；
（2）设点为圆心，连接交于点，连接，先利用垂径定理求出，再设的半径为，则，，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出直径即可.
（1）解：方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是的圆周角所对的弦是直径；
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；
（2）解：如图3，设点为圆心，连接交于点，连接．
∵是的切线，切点为E，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径为，
答：杯口的直径为．
20．【答案】（1）
（2）解：如果小山第一题使用“求助”，则第一题去掉一个错误选项，第一题有一个正确选项和一个错误选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
如果小山第二题使用“求助”，则第二题去掉一个错误选项，
第二题只留下一个正确选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
，
小山第二题使用“求助”通关的概率大，
建议小山在第二题使用“求助”.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：第一道单选题有个选项，共有个结果，其中正确的结果只有个，
小山选到正确结果的概率是，
故答案为：.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求出概率，再比较大小即可.
（1）解：第一道单选题有个选项，共有个结果，其中正确的结果只有个，
小山选到正确结果的概率是，
故答案为：；
（2）解：如果小山第一题使用“求助”，则第一题去掉一个错误选项，
第一题有一个正确选项和一个错误选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
如果小山第二题使用“求助”，则第二题去掉一个错误选项，
第二题只留下一个正确选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
，
小山第二题使用“求助”通关的概率大，
建议小山在第二题使用“求助”．
21．【答案】（1）解：如图所示，图象即为所求：
（2）解：观察这条函数图象的形状，判断它可能是“二次函数”的图象；
设其解析式为，
代入和，得，
解得，
∴函数解析式为.
（3）解：当时，，
（米），
答：列车开始播放提示音时已减速行驶了75米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将t=6代入解析式求出s的值，再求解即可.
（1）解：如图所示，图象即为所求：
（2）解：观察这条函数图象的形状，判断它可能是“二次函数”的图象；
设其解析式为，
代入和，得，
解得，
∴函数解析式为；
（3）解：当时，，
（米），
答：列车开始播放提示音时已减速行驶了75米．
22．【答案】（1）解：与相切，理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切.
（2）解：①如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①得，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OE，先证出，再结合是的半径，即可证出与相切；
（2）①连接BD，先求出，设，则，利用三角形的内角和可得，再求出，即可得到；
②连接CE，先求出，，利用三角形的面积公式求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
（1）解：与相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：①如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①得，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
23．【答案】（1）解：当时，；
当时，，
解得，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
即.
（2）解：如图2，过点作轴交延长线于点，作点关于轴的对称点，连接，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为.
（3）解：如图3，过点作轴于点，连接，
∵将线段绕点O顺时针旋转后得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴；
连接交直线l于点，连接，
由抛物线的对称性得，
则，
∴当三点共线时，有最大值，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
代入到，
得，
∴点Q坐标为，
综上所述，存在，点Q坐标为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；旋转的性质；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，可得，再结合，可得；
（2）过点作轴交延长线于点，作点关于轴的对称点，连接，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质得到，可得，再利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可；
（3）过点作轴于点，连接，先利用旋转的性质得到，，证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出点的坐标；连接交直线l于点，连接，由抛物线的对称性得到，可得，再证出当三点共线时，有最大值，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：当时，；
当时，，
解得，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
即；
（2）解：如图2，过点作轴交延长线于点，作点关于轴的对称点，连接，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
（3）解：如图3，过点作轴于点，连接，
∵将线段绕点O顺时针旋转后得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴；
连接交直线l于点，连接，
由抛物线的对称性得，
则，
∴当三点共线时，有最大值，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
代入到，
得，
∴点Q坐标为，
综上所述，存在，点Q坐标为．
1 / 1广东省中山市2025-2026学年上学期期末水平测试卷九年级数学
1．（2026九上·中山期末）下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是(　　)
A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．夕阳西下
【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、不可能事件
B、随机事件
C、必然事件
D、必然事件
故答案为：A .
【分析】一定条件下一定不会性的事件叫不可能事件，一定条件下一定会发生的事件叫必然事件，不可能事件和必然事件统称确定事件；一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.
2．（2026九上·中山期末）《周易》中用“卦”描述万物的变化．下列“卦”的部分符号中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2026九上·中山期末）的半径为3，同一平面内，若点P与圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，，
∴，
∴点P在外．
故答案为：A．
【分析】利用点与圆的位置关系（①当dr时，点在圆外）分析求解即可.
4．（2026九上·中山期末）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
即．
故答案为：A．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
5．（2026九上·中山期末）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断方程的实数根的情况
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
6．（2026九上·中山期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（　　）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
【答案】B
【知识点】旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为；
绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到，
故旋转方式是绕点顺时针旋转．
故答案为：B．
【分析】利用图形旋转的特征，先确定旋转中心，再求出旋转角即可.
7．（2026九上·中山期末）近日，国家卫生健康委员会印发了《儿童青少年近视防控适宜技术指南（更新版）》，要求建立中小学生视力定期筛查制度．某区为了解初中生近视情况，在全区开展了初中生视力筛查工作，筛查的部分统计结果如下表．根据筛查结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计筛查的学生数n 100 200 300 400 500 600 700
近视学生数与n的比值 0.423 0.413 0.408 0.412 0.411 0.410 0.410
A．0.408 B．0.410 C．0.413 D．0.423
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得，近视学生数与筛查学生数n的比值趋向于0.410．
故答案为：B.
【分析】结合表格中的数据，利用概率求出比值即可.
8．（2026九上·中山期末）关于抛物线，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线 D．顶点坐标为
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线中，，
∴ 开口向上，A正确；
∵ 对称轴为，
∴ C正确；
∵ 顶点坐标为，
∴ D错误；
∵，当时，随增大而增大，
∴ B正确．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
9．（2026九上·中山期末）《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为尺，则高为尺，
根据题意，可列方程．
故答案为：A．
【分析】设矩形门宽为尺，则高为尺，利用勾股定理列出方程即可.
10．（2026九上·中山期末）二次函数 当时，y的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴ 抛物线开口向上，顶点为，
∴当时，y有最小值为．
∵当时，，当 时，，
∴在 时，的取值范围为．
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的解析式求出当时y的取值，从而得解.
11．（2026九上·中山期末）点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称，
其对称点坐标为．
故答案为：．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）分析求解即可.
12．（2026九上·中山期末）将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为．
故答案为：
【分析】将抛物线向下平移2个单位长度后，即可得到新的抛物线解析式。
13．（2026九上·中山期末）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为　 　．
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠DOA＝90° 40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，
故答案为：25.
【分析】利用切线的性质可得∠ODA＝90°，再结合∠A＝40°，求出∠DOA的度数，最后利用圆周角的性质可得∠C的度数.
14．（2026九上·中山期末）用一张正方形纸板依据图1进行折叠、剪切，可以制作出图2所示的七巧板，在该七巧板上随机钉一枚图钉，则图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可知，区域①的面积为正方形面积的，
∴图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是．
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
15．（2026九上·中山期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题知，原方程中，，，，其倒方程为，即，
将代入倒方程：，
解得
验证，，符合条件
故答案为：．
【分析】先将代入倒方程：，求出c的值，再验证即可.
16．（2026九上·中山期末）解方程
【答案】解：∵ ， ，
∴
∵
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】算出方程根的判别式的值，由该值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可得出答案。
17．（2026九上·中山期末）如图，已知边长为3的正方形，点E在边上，，连接．将绕点B顺时针旋转某个角度得到，使得与重合，点E的对应点记作点F．
（1）用无刻度直尺和圆规作出；
（2）连接，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
∵边长为3的正方形，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，则即为所求；
（2）先利用正方形的性质求出，，再利用勾股定理求出，再利用旋转的性质得到，，最后利用勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
∵边长为3的正方形，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴．
18．（2026九上·中山期末）2025年粤港澳大湾区全运会筹备期间，某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物手办，经销售部门统计，该系列智能手办在4月份销售500件，6月份销售720件．请求出该手办从4月份到6月份销售量的月平均增长率．
【答案】解：设从4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（舍去），
答：从4月份到6月份销售量的月平均增长率为．

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设从4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用“ 4月份销售500件，6月份销售720件 ”列出方程求解即可.
19．（2026九上·中山期末）动手操作
用一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
【方法一】如图2，将矩形硬纸板紧贴在杯口，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长；
【方法二】如图3，将矩形硬纸板紧贴在杯口上，使其一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于 P，Q两点，利用刻度尺测得的长为．
（1）方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是 ；
（2）请根据方法二的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径
（2）解：如图3，设点为圆心，连接交于点，连接．
∵是的切线，切点为E，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径为，
答：杯口的直径为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】（1）解：方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是的圆周角所对的弦是直径；
故答案为：的圆周角所对的弦是直径.
【分析】（1）利用圆周角的性质（的圆周角所对的弦是直径）分析求解即可；
（2）设点为圆心，连接交于点，连接，先利用垂径定理求出，再设的半径为，则，，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出直径即可.
（1）解：方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是的圆周角所对的弦是直径；
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；
（2）解：如图3，设点为圆心，连接交于点，连接．
∵是的切线，切点为E，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径为，
答：杯口的直径为．
20．（2026九上·中山期末）小山参加某场环保知识竞答节目，答对最后两道单选题就能顺利通关．第一道单选题有个选项，第二道单选题有个选项，这两道题小山都不会，不过他有一个“求助”可以使用（使用“求助”可以让主持人去掉当前题的一个错误选项）．
（1）若小山第一题不使用“求助”，则他答对第一道题的概率是 ；
（2）从概率的角度分析，你建议小山在第几题使用“求助”？并利用树状图或列表法说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如果小山第一题使用“求助”，则第一题去掉一个错误选项，第一题有一个正确选项和一个错误选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
如果小山第二题使用“求助”，则第二题去掉一个错误选项，
第二题只留下一个正确选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
，
小山第二题使用“求助”通关的概率大，
建议小山在第二题使用“求助”.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：第一道单选题有个选项，共有个结果，其中正确的结果只有个，
小山选到正确结果的概率是，
故答案为：.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求出概率，再比较大小即可.
（1）解：第一道单选题有个选项，共有个结果，其中正确的结果只有个，
小山选到正确结果的概率是，
故答案为：；
（2）解：如果小山第一题使用“求助”，则第一题去掉一个错误选项，
第一题有一个正确选项和一个错误选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
如果小山第二题使用“求助”，则第二题去掉一个错误选项，
第二题只留下一个正确选项，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中道题都正确的结果有种情况，
小山通关的概率为；
，
小山第二题使用“求助”通关的概率大，
建议小山在第二题使用“求助”．
21．（2026九上·中山期末）综合与实践
【背景介绍】列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在一次运行中，某城市地铁1号线列车于离A站停车线196米处启动减速程序，减速6秒后开始播放提示音“列车即将到达A站……”．
【提出问题】列车开始播放提示音时已减速行驶了多远？
【解决问题】下面通过建立函数模型，来探究列车在启动减速程序后离A站停车线的距离s（单位：米）与减速行驶时间t（单位：秒）之间的函数关系．为了便于研究，收集了相关数据如下表：
t（秒） 0 4 8 12 16 20 24
s（米） 196 144 100 64 36 16 4
（1）为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）请观察这条函数图象的形状，判断它可能是“一次函数”“二次函数”中的哪种函数的图象？由于该函数图象与s轴的交点坐标为，若该函数为一次函数，可设其解析式为；若该函数为二次函数，可设其解析式为，请求出你判断的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）请应用（2）中求出的函数解析式解答提出的问题．
【答案】（1）解：如图所示，图象即为所求：
（2）解：观察这条函数图象的形状，判断它可能是“二次函数”的图象；
设其解析式为，
代入和，得，
解得，
∴函数解析式为.
（3）解：当时，，
（米），
答：列车开始播放提示音时已减速行驶了75米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将t=6代入解析式求出s的值，再求解即可.
（1）解：如图所示，图象即为所求：
（2）解：观察这条函数图象的形状，判断它可能是“二次函数”的图象；
设其解析式为，
代入和，得，
解得，
∴函数解析式为；
（3）解：当时，，
（米），
答：列车开始播放提示音时已减速行驶了75米．
22．（2026九上·中山期末）如图，已知是等腰三角形， 其中，以为直径作，交延长线于点D，交边于点E，过点E作于点F．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若点C为的中点，．
①求的度数；
②求由线段，与围成的阴影部分的面积．
【答案】（1）解：与相切，理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切.
（2）解：①如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①得，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OE，先证出，再结合是的半径，即可证出与相切；
（2）①连接BD，先求出，设，则，利用三角形的内角和可得，再求出，即可得到；
②连接CE，先求出，，利用三角形的面积公式求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
（1）解：与相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：①如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①得，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
23．（2026九上·中山期末）如图1，已知抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接．
（1）求的度数；
（2）如图2，点P在所在直线上方的抛物线上，连接，，已知，求点P的坐标；
（3）如图3，直线l是抛物线的对称轴，将线段绕点O顺时针旋转后得到．请问在直线l上是否存在点Q，使得最大，若存在，请求出此时点Q坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，；
当时，，
解得，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
即.
（2）解：如图2，过点作轴交延长线于点，作点关于轴的对称点，连接，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为.
（3）解：如图3，过点作轴于点，连接，
∵将线段绕点O顺时针旋转后得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴；
连接交直线l于点，连接，
由抛物线的对称性得，
则，
∴当三点共线时，有最大值，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
代入到，
得，
∴点Q坐标为，
综上所述，存在，点Q坐标为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；旋转的性质；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，可得，再结合，可得；
（2）过点作轴交延长线于点，作点关于轴的对称点，连接，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质得到，可得，再利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可；
（3）过点作轴于点，连接，先利用旋转的性质得到，，证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质求出点的坐标；连接交直线l于点，连接，由抛物线的对称性得到，可得，再证出当三点共线时，有最大值，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：当时，；
当时，，
解得，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
即；
（2）解：如图2，过点作轴交延长线于点，作点关于轴的对称点，连接，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
（3）解：如图3，过点作轴于点，连接，
∵将线段绕点O顺时针旋转后得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴；
连接交直线l于点，连接，
由抛物线的对称性得，
则，
∴当三点共线时，有最大值，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
代入到，
得，
∴点Q坐标为，
综上所述，存在，点Q坐标为．
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