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(共22张PPT)
创新考法2　三维空间中的抛体问题
模型 建构
适用 条件 物体在三维空间中做平抛运动或斜抛运动
一般 方法 将三维空间问题转化为二维平面问题,若是斜抛运动(最高点竖直方向速度为零),可以采用逆向思维,将斜抛运动转化为平抛运动
思路 流程
角度1　三维空间中的平抛运动
【典题透视】
[典例1](2025·阳江模拟)如图甲所示,一同学站在靶心的正前方,面朝倾斜靶纸抛球,其简化模型如图乙,靶纸紧贴在倾角θ=45°的倾斜支架CD上,支架CD固定在水平地面AB上,接触点为C点。该同学在O点水平向右抛出小球,O点离地高度H=1.25 m,与C点的水平距离L=1.15 m。若小球只在图乙所示竖直面内运动,视为质点,不计小球受到的空气阻力和靶纸厚度。
(1)若小球落在水平地面AC上,求小球平抛运动的时间t;
答案:(1)0.5 s　
【解析】(1)根据平抛运动规律有H=gt2
解得t=0.5 s
(2)若改变水平抛出小球的初速度大小,使小球恰好垂直靶纸击中靶心,求小球从O点到靶心竖直方向下落距离与水平方向运动距离的比值;
答案: (2)　
【解析】(2)小球恰好垂直靶纸击中靶心时,其速度方向与水平方向成45°,
则=tan45°=1,=,==
则有=
所以=
(3)若小球抛出时初速度v0= m/s,分析小球是落在水平地面上还是靶纸上,并求出对应落点的末速度大小v。
答案: (3)见解析
【解析】(3)若小球恰好击中C点,则vC==2.3 m/s>m/s
小球以v0= m/s水平抛出时会落在地面AC上,则vy=gt=5 m/s
所以v==3 m/s
【思路导引】
[靶向预测](多选)如图所示,足球球门宽为L,一个球员在球门线中点正前方距离球门s处高高跃起,将足球顶入球门的左下方死角(图中P点),球员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点,忽略空气阻力),重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.足球位移的大小为
B.足球位移的大小为
C.足球刚落到P点的速度大小为
D.足球刚落到P点的速度大小为
√
√
【解析】选B、C。如图所示,=(易错:三维空间求位移,不能漏算某一方向),选项B正确,A错误;该运动可以沿三个相互垂直的方向分解,竖直方向有h=gt2,v1=gt;水平垂直于球门线方向有v2=;水平平行于球门线方向有v3=,可得v==,C正确,D错误。
【类题建模】
情境图 → 模型图 分析图
运动员用同一足球罚点球,两次射门,足球斜向上踢出,分别水平打在水平横梁上的a、b两点,a为横梁中点
情境图 → 模型图 分析图
中间球网高度为h,发射机安装于台面左侧边缘的中点,能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球
角度2　三维空间中的斜抛运动
【典题透视】
[典例2](2025·广州八校联考)如图甲,某同学将离地h=1.25 m的网球以v0=
13 m/s的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离x=4.80 m;其轨迹所在平面及俯视图如图乙。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为H=8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)网球上升的时间t1和下降的时间t2;
答案:(1)1.2 s　1.3 s　
【解析】(1)网球上升时在竖直方向上为竖直上抛可得g=H h　
解得t1=1.2 s
网球下降时在竖直方向上为自由落体可得g=H
解得t2=1.3 s
(2)网球碰墙后的速度大小v;(计算结果保留根号)
答案: (2)3 m/s　
【解析】(2)根据题意可知,网球斜向上飞出,设竖直方向上分速度为v1,水平分速度为v2,如图所示
则有=+
其中,在竖直方向上
v1=gt1=12 m/s
解得v2=5 m/s
设网球水平分速度v2垂直墙面速度分量大小为v3,平行墙面的速度分量为v4,如图所示
则有=+
其中,根据题意,网球水平分速度垂直墙面
速度分量大小为v3==4 m/s
可得v4=3 m/s
由于网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍,平行墙面的速度分量不变,则碰后垂直墙面速度分量大小为v5=0.75v3=3 m/s
平行墙面的速度分量为v6=v4=3 m/s
网球反弹后速度如图所示
则有v==3 m/s
(3)着地点到墙壁的距离d。
答案: (3)3.9 m
【解析】(3)着地点到墙壁的距离d=v5t2=3.9 m
【类题建模】
情境图 → 模型图 分析图
某次腾空时,运动员(视为质点)以大小为v的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道,速度方向与轨道边缘AD的夹角为90° θ,腾空后沿轨道边缘AD上的N点进入轨道
情境图 → 模型图 分析图
在A点将玩具枪瞄准位于D点正上方的苹果,即C点位置,进行打靶训练,若子弹从斜面最低点A处以一定初速度射出,经过一段时间后恰好水平击中D点,AB长度xAB=6 m,BD长度xBD=9 m
[靶向预测](2025·聊城模拟)如图所示,水平地面上固定一倾角为37°的斜面,AB足够长,BB'长10 m,现在B点正上方D点沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球,小球抛出速度最大为10 m/s,已知重力加速度g取10 m/s2,抛出点D与B点间的距离为6 m,则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为(　　)
A.2 m B.10 m
C.8 m D.6 m
√
【解析】选D。过D点作平行底边的直线DM。过M作与D点等高的直线
MN,若小球以最大速度抛出时,落到MN上的位置为P点,则水平方向
DP=v0mcos45°t,其中t== s,可得DP=10 m,因DM==8 m,
由勾股定理可知MP=6 m构成线段的长度为6 m,选项D正确。(共20张PPT)
创新考法1　三维空间中的平衡问题
模型 建构 三维 空间 日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间,是我们看得见、感受得到的空间
空间力 物体所受的力不在同一平面内,物体受空间力平衡时,在任一平面内、任一直线上受力都是平衡的
适用 条件 物体在三维空间中处于静止或匀速直线运动状态 一般 方法 对称法 研究对象所受的力具有对称性时,可利用物体的受力具有对
称性的特点,如某些力大小相等、方向相反,把复杂的运算
(或图形)转化为简单的运算(或图形)来处理
转化法 空间力作用下物体处于平衡状态,要利用正视、俯视、侧视
图,从不同角度观察同一空间几何体,作出受力的示意图(或
力的投影图),将物体受到的力分解转化为同一平面上的力
来分析处理
降维法 把力投影到某些轴(或方向)上去,降低问题的维度;或者选
取恰当的方式,把立体图展开为平面图
思路 流程
注意 有多个接触面时,求弹力或摩擦力一定要充分考虑力的个数
角度1　三维空间中的静态平衡
【典题透视】
[典例1](2025·茂名模拟)如图所示,完全相同的三根刚性柱竖直固定在水平地面上的A'、B'、C'三点上,三点恰好在等边三角形的三个顶点上,三角形的边长为L,三根完全一样的轻绳一端固定在A、B、C三点上,另一端拴接在一起,结点为O。现把质量为m的重物用轻绳静止悬挂在结点O处,O点到ABC平面的距离为L,重物不接触地面,当地重力加速度大小为g。
则AO绳中的张力为(　　)
A.mg　　　B.mg C.2mg D.mg
√
【思路导引】
【解析】选A。设结点O在三角形ABC平面的投影为O',根据题意和几何关系知O'到A、B、C三点的距离都相等,为=,OO'与三根轻绳间的夹角都相同,设为θ,则tanθ==,故θ=60°,对结点O,根据平衡条件得mg=3Tcos60°,解得AO绳中的张力为T=mg,故选项A正确。
[靶向预测](2025·泸州一模)如图所示,充满气的篮球放在由a、b两根光滑杆组成的架子上。已知两根杆相距R、其所在平面与水平面间的夹角为30°,篮球的半径为R、重力为G。则a杆对篮球的支持力大小为(　　)
A.Gtan30° B.Gsin30°
C.Gcos15° D.Gsin15°
√
【解析】选C。画出题干图的简图及篮球的受力分析图如图甲、乙所示,两根杆相距L=R,根据勾股定理,两力之间的夹角为90°,Fa与Fb方向如图乙所示,Fa与Fb的合力F竖直向上,与重力等大反向,可知a杆对篮球的支持力大小为Fa=Gcos15°,选项C正确。
【类题建模】
情境图 → 模型图 分析图
修复屋顶时,建筑工匠将一横截面为圆弧形的瓦片静置在两根相互平行的檩条正中间。已知两根檩条间的距离为d,与水平面夹角均为θ=37°,瓦片质量为m,其圆弧半径为d,忽略瓦片厚度
情境图 → 模型图 分析图
空调外机的重心恰好在支架横梁AO和斜梁BO的连接点O的正上方,重力大小为G,横梁AO水平,斜梁BO与横梁AO的夹角为37°。假定横梁对O点的拉力总沿OA方向,斜梁对O点的支持力总沿BO方向
角度2　三维空间中的动态平衡
【典题透视】
[典例2](2022·河北选择考改编)如图,用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点,将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平,绳与木板之间的夹角保持不变,忽略圆柱体与木板之间的摩擦,在转动过程中(　　)
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力逐渐增大
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
√
【题眼破译】
[1]两细绳在圆柱体上的悬点的连线与两细绳组成等腰三角形,两细绳的拉力大小相等,其合力沿夹角对角线。
[2]圆柱体始终处于动态平衡状态,转至90°。
[3]圆柱体受到的绳子拉力的合力与木板的支持力的夹角不变。
【解析】选B。将立体图转换成平面图,对圆柱体进行受力分析,如图甲所示,可认为圆柱体在三个力的作用下处于平衡状态,其中F为两根细绳对圆柱体拉力的合力(点拨:圆柱体的受力由4个力变为3个,方便对圆柱体受力分析)。
重力恒定不变,细绳拉力的合力与木板的支持力大小方向均变化,细绳拉力的合力与木板的支持力的夹角不变,可利用辅助圆法解题,让表示重力的有向线段作为外接圆的一条弦,这条弦对应的圆周角不变,细绳拉力的合力、木板的支持力与重力组成矢量三角形,如图乙所示。在矢量三角形中各边的长短代表对应力的大小,分析可知FN先变大后变小,F一直变小,选项B正确。
[靶向预测](2025·厦门一模)将完全相同的三根原木A、B、C放在水平地面上保持静止。若将原木B、C分别向左右各移动一小段相同的距离,A、B、C仍保持静止,不计A、B、C间的摩擦,则与移动前相比(　　)
A.地面对B的摩擦力变大
B.B对A的支持力变小
C.地面对B、C总的支持力变小
D.地面对B、C总的支持力变大
√
【解析】选A。如图甲所示,以A为研究对象,设B对A的支持力为FBA,C对A的支持力为FCA,A的重力为GA,在原木B、C移动前,根据平衡条件可得2FBAcosθ=GA,(θ为FBA与竖直方向的夹角)将原木B、C分别向左右各移动一小段相同的距离后,θ增大,cosθ减小,因为GA不变,所以FBA增大;如图乙所示,对B进行分析,B受到地面的摩擦力f等于FBA的水平分力,即f=FBAsinθ,FBA增大且sinθ增大,所以地面对B的摩擦力变大,选项A正确;
θ增大,cosθ减小,2FBAcosθ=GA,所以FBA增大,即B对A的支持力变大,选项B错误;以A、B、C整体为研究对象,整体受到重力和地面的支持力,根据平衡条件,地面对B、C总的支持力等于A、B、C的总重力,总重力不变,所以地面对B、C总的支持力不变,选项C、D错误。
【类题建模】
情境图 → 模型图 分析图
送水员用双轮小车运送桶装矿泉水,在匀速拉运过程中,不计桶与小车之间摩擦力的影响 FP=mgcosθ,FQ=mgsinθ,
当θ增大时,FP减小,FQ增大
情境图 → 模型图 分析图
一轻绳将光滑球(大小不能忽略)系于竖直墙壁上的O点,现用一细杆压在轻绳上紧贴墙壁从O点缓慢下移。设拉力与竖直方向的夹角为θ(共12张PPT)
创新考法　
3 配速法在“摆线”问题中的应用
模型建构 受力情况 一个恒力(如重力、电场力),一个洛伦兹力,洛伦兹力大小和方向都时刻改变
运动情况 复杂的变加速曲线运动
指导 思想 将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成。一般是将带电粒子的复杂运动分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动
适用 条件 除了洛伦兹力以外还受到其他力,而且其他力为恒力(如重力、电场力)
一般方法 (1)配速法:给带电粒子配上一对大小相等、方向相反的速度(可以认为这一对速度是凭空添上去的)(其实合速度等于零),其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡,粒子在该速度方向上做匀速直线运动;另一个速度与带电粒子的初速度合成,合速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动。
(2)分解法:将带电粒子的速度分解,其中一个分速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力(如重力、电场力)平衡,粒子在该分速度方向上做匀速直线运动;另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动
思路流程 (1)确定需要平衡的恒力,一般为重力、电场力或重力与电场力的合力。
(2)应用“配速法”或者“分解法”将粒子的速度进行处理。
(3)将粒子的运动分解为两个分运动:一个是恒力和“配速”引起的洛伦兹力作用下的匀速直线运动;另一个是另一个速度引起的洛伦兹力作用下的匀速圆周运动。
(4)分析两个分运动的运动情况。
(5)根据两个分运动分析合运动
【典题透视】
[典例]如图甲所示,已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动,同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的,该轨迹称为滚轮线(也称为摆线)。如图乙所示,空间存在水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场,小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度大小为g,则小球运动过程中的最大速度大小为(　　)
A.　　　　　 B.+
C.+v0 D.+
√
【思路导引】
[1]将初速度v0分解,其中一个分速度使带电粒子受到的洛伦兹力与重力平衡;
[2]分析两个分运动,两个分速度同向时,速度最大。
【解析】选B。根据分解法,把初速度v0分解为向右的速度v1和斜向左上方的速度v2,且有qv1B=mg,v2=,如图所示
则小球的运动可分解为向右的以v1为初速度的匀速直线运动,和以v2为初速度的匀速圆周运动。v1和v2同向时速度最大,最大速度为vm=v1+v2 =+,故B正确。
[靶向预测](多选)(2025·太原二模)如图所示为速度选择器,将带电量为+q的粒子沿水平方向射入左端小孔,该装置能选择出沿直线运动且速度v=的粒子。当粒子的速度不等于v时,粒子在装置内的运动轨迹可能是(　　)
√
√
【解析】选A、C。速度选择器中,当粒子速度v=时,电场力与洛伦兹力平衡,粒子做直线运动。若v≠时,二力不平衡,粒子发生偏转。利用分解法,将粒子的运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直平面内的匀速圆周运动,设向右的速度为v1,做匀速圆周运动的速度为v2,使得qv1B=qE,受力平衡做匀速直线运动。所以粒子螺旋前进。若v>时,设v=v1+v2,则由上述分析可知粒子向上偏转做逆时针圆周运动的同时水平向右运动。轨迹在x轴的上方。当v2v1时,粒子水平方向速度一直向右,粒子运动轨迹可能如A图所示。B错误,A、C正确;若v<时,设v=v1 v2,则由上述分析可知粒子向下偏转做逆时针圆周运动的同时水平向右运动。轨迹在x轴的下方,必定是螺旋运动。D错误。
【类题建模】
情境图→模型图 分析
初速度为零,恒力竖直向下,磁场垂直于纸面 (1)分运动1:v1为初速度的匀速直线运动;
(2)分运动2:v2为初速度的匀速圆周运动;
(3)最大速度:vB=2v1=2v2
最小速度:vA=0
情境图→模型图 分析
水平初速度vA不为零,恒力竖直向下,磁场垂直于纸面 (1)分运动1:v1为初速度的匀速直线运动;
(2)分运动2:v2为初速度的匀速圆周运动;
(3)最大速度:vB=v1+v2
最小速度:vA=v1 v2

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