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2025年黑龙江省佳木斯市富锦市富锦市七星一校、七星二校联合模拟考二模数学试题
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，对角线，交于点O，若，，则菱形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
4．小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．分解因式：______．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝________．
9．若一组数据3，5，7，x，11的平均数为7，则______．
10．已知圆O的半径为，弦，则圆心O到弦的距离为______．
11．如图，在中，，若，，，则的长为______．
12．观察下列等式 ：， … ， 则_______
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
14．实践应用题
某商店销售一款商品，进价为每件40元．当售价为60元时，日均销量为80件．市场调研发现，售价每降低1元，日均销量增加10件．
(1)求日均销量y（件）与售价x（元）的函数关系式；
(2)售价定为多少元时，日均利润最大？最大利润是多少？
15．环保工程计算
某环保公司计划建造一个圆柱形污水处理池，池底直径与池高相等．已知池底材料成本为200元/平方米，池壁材料成本为150元/平方米，总预算为12万元．
(1)设池底直径为d米，求总材料成本y（元）与d的函数关系式；
(2)若池深需满足2≤d≤8，求直径d为何值时成本最低？最低成本是多少？
16．如图，某游乐园有一个滑梯，高度为3米，倾斜角度为．为了改善滑梯的安全性能，把倾斜角由减至，调整后的滑梯比原滑梯增加多少米 (精确到米)(参考数据：)
17．几何综合题
如图，在四边形中，，，cm，cm，cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿向点C运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形？
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于原四边形面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
18．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
19．探究题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
20．开放性问题
某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人．
(1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数；
(2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？
参考答案
1．D
解：A．，此选项不正确，不符合题意；
B．，此选项不正确，不符合题意；
C．，此选项不正确，不符合题意；
D．，此选项正确，符合题意；
故选：D．
2．B
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
3．B
解：在菱形中，，，
∴．
故选：B．
4．D
解：若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为，
故选：D
5．A
过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P，
∵点，
∴，
∵线段绕点O顺时针旋转，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点．
故选：A．
6．A
解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，
∴设二次函数为，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
故选：A
7．
解：
．
故答案为：．
8．
解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为：．
9．9
解：，
解得：；
故答案为：9．
10．3
解：如图，连接，过点作于点，
圆O的半径为，弦，
，
；
故答案为：3．
11．/
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．3025
解：∵， … ，
∴
故答案为：3025
13．(1)，
(2)
（1）解：
，
，，
∴，．
（2）
方程两边同乘，得
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
14．(1)
(2)当售价定为54元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1960元
（1）解：根据题意，得；
（2）解：设日均利润为w元，
根据题意，得
；
∵，
∴函数开口向下，有最大值，
∴当时，w取得最大值，最大值为1960，
答：当售价定为54元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1960元．
15．(1)
(2)直径d为2时成本最低，最低成本是15700元
（1）解： 池底面积 ，池壁面积
总成本 ．
（2）由二次函数 知d越小成本越低，但需满足2≤d≤8
故当时，最低成本 ．
16．2.5米
解：中， ，
∵米，
∴米，
∵在中，
∴（米），
∴（米），
∴调整后的滑梯比原滑梯增加米．
17．(1)
(2)
（1）解：由题意及图，可得
，，
当时，由，得四边形是平行四边形．
∴，解得．
∴当t为时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形．
（2）由题意及图，可得
，，
∵四边形的面积等于原四边形面积的一半，
∴，
即，
，
解得．
18．（1）；（2）；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【详解】（1）∵与满足一次函数关系.
∴设与的函数表达式为 .
将，代入中，得
解得
∴与之间的函数表达式为.
（2）由题意，得.
∴与之间的函数表达式为.
（3）.
∵，∴抛物线开口向下.
由题可知：，
∴当时，有最大值，元.
答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
19．(1)，抛物线顶点坐标D为
(2)，最大值为
（1）解：抛物线经过、、三点，
，
解得，
解析式为
，
抛物线顶点坐标为．
（2）解：，，
设为解析式为，
有，
解得，
解析式：，
在上，
，
，
即：
当时，取最大值．
20．(1)
(2)每组人数最多为人，男生分19组，女生分11组
（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人，
全校人数为人；
（2）解：∵，
解得，
∴男生人数为人，
设每组人数为m人，
∵和的最大公约数为，
∴每组人数最多为人，
此时男生分19组，女生分11组．

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