资源简介

模型专题 平行线中的“拐点”问题
模型一 形拐点模型
1.模型说明
(1)模型Ⅰ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠3=∠1+∠2.
(2)模型Ⅱ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠4+∠5=∠1+∠2+∠3.
2.结论：遇到模型Ⅰ和模型Ⅱ两种图形时，所有开口向右的角(如模型Ⅰ中∠3；模型Ⅱ中∠4，∠5)的度数和等于所有开口向左的角(如模型Ⅰ中∠1,∠2;模型Ⅱ中∠1,∠2,∠3)的度数和.
1.如图,AB∥CD,∠ABM=30°,∠CDM =45°,则∠BMD 的度数为 ( )
A.105° B.90° C.75° D.70°
2.如图,AB∥CD,点 E 在线段BC上,若∠1=40°,∠2=30°,则∠CED 的度数是 ( )
A.50° B.110° C.60° D.70°
3.如图,若a∥b,则x= °.
4.如图，含有 30°角的直角三角尺的顶点 A，B分别在直线a,b上.若a∥b,且∠1=40°,求∠2 的度数.
模型二形拐点模型
1.模型说明
(1)模型Ⅰ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠1+∠2+∠3=360°.
(2)模型Ⅱ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠1+∠2+∠3+∠4=(4-1)×
2.结论：在形拐点模型中，两条平行线之间如果有 n个拐点，那么 n 个拐点所有角的度数和为(n-1)×180°.
5.如图,直线a∥b,点 M,N 分别在直线a,b上,P 为直线a,b 中间一点,那么∠1+∠2+∠3等于 ( )
A.360° B.300°
C.270° D.180°
6.如图，按虚线在长方形纸片中剪两刀，并使∠1=115°,AB⊥CB 于点 B,那么∠2 的度数为 °.
7.如图,直线AB∥CD,已知∠1=110°,∠2=120°,求∠3的度数.
8.已知直线 AB∥CD,点 E 是直线 AB,CD 之间任意一点，射线 EF 经过点 B.
【初步探究】
(1)如图 ①,若 DE ∥AC,∠CAB = 130°,∠ABF=80°,求∠BED 的度数.
【深入探究】
(2)如图②,若∠CAB=α,∠CDE=2∠ACD,∠BED=140°,求∠ABE 的度数(用含α的式子表示).
【拓展探究】
(3)如图③,若∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 Q,试写出∠BED 和∠BQD 的数量关系，并说明理由.
模型三 形拐点模型
1.模型说明
如图所示,m∥n,形中出现了“拐点”,且在平行线m，n的外部.
2.结论:∠1=∠2+∠3.
9.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动.一名同学抖空竹时的一个瞬间如图①所示.数学老师根据该名同学抖空竹的瞬间抽象出一个数学问题:如图②,已知 AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,求∠AEC 的度数.
模型四形拐点模型
1.模型说明
如图所示,m∥n, 形中出现了拐点，且在平行线m，n的外部.
2.结论:∠3=∠1+∠2.
10.如图所示,直线a∥b,∠2=31°,∠A=28°,则∠1= ( )
A.61° B.60° C.59° D.58°
11.如图,直线 AB∥CD,∠B=66°,∠D=37°,则∠E 的度数是 ( )
A.29° B.30°
C.37° D.66°
12.如图,已知AB∥CD,点 E 为射线 AG 上一点,AH 平分∠BAE,DH 交 AH 于点 H,交AE 于点 K,且∠EDH : ∠CDH=2: 1, 求 的度数.
模型专题平行线中的“拐点”问题
模型一 形拐点模型
1.模型说明
(1)模型Ⅰ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠3=∠1+∠2.
(2)模型Ⅱ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠4+∠5=∠1+∠2+∠3.
2.结论：遇到模型Ⅰ和模型Ⅱ两种图形时，所有开口向右的角(如模型Ⅰ中∠3；模型Ⅱ中∠4，∠5)的度数和等于所有开口向左的角(如模型Ⅰ中∠1,∠2;模型Ⅱ中∠1,∠2,∠3)的度数和.
1.如图,AB∥CD,∠ABM=30°,∠CDM =45°,则∠BMD 的度数为 (C)
A.105° B.90° C.75° D.70°
解析:因为AB∥CD,∠ABM=30°,∠CDM=45°,所以∠BMD=∠ABM+∠CDM=30°+
2.如图,AB∥CD,点 E 在线段BC上,若∠1=40°,∠2=30°,则∠CED 的度数是 (B)
A.50° B.110° C.60° D.70°
解析:因为∠1=40°,∠2=30°,AB∥CD,所以 ，所以
3.如图,若a∥b,则x=72°.
解析：由题图可知 根据模型可知， 解得
4.如图，含有 30°角的直角三角尺的顶点 A，B分别在直线a,b 上.若a∥b,且∠1=40°,求∠2的度数.
解:根据模型可知,∠C=∠1+∠2,即60°= 所以∠2=20°.
模型二形拐点模型
1.模型说明
(1)模型Ⅰ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠1+∠2+∠3=360°.
(2)模型Ⅱ
已知:如图所示,AB∥CD.
结论:∠1+∠2+∠3+∠4=(4-1)×
2.结论：在形拐点模型中，两条平行线之间如果有 n个拐点，那么 n 个拐点所有角的度数和为(n-1)×180°.
5.如图,直线a∥b,点 M,N 分别在直线a,b上,P 为直线a,b 中间一点,那么∠1+∠2+∠3等于 (A)
A.360° B.300°
C.270° D.180°
解析:根据模型可知,∠1+∠2+∠3=(3-
6.如图，按虚线在长方形纸片中剪两刀，并使∠1=115°,AB⊥CB 于点 B,那么∠2 的度数为155°.
解析:根据模型可知,∠1+∠2+∠B=(3- 即 所以∠2=155°.
7.如图,直线AB∥CD,已知∠1=110°,∠2=120°,求∠3的度数.
解:根据模型可知,∠1+∠2+∠AFC =360°,即 所以∠AFC=130°,
所以
8.已知直线 AB∥CD,点 E 是直线 AB,CD 之间任意一点，射线 EF 经过点 B.
【初步探究】
(1)如图①,若 DE ∥AC,∠CAB = 130°,∠ABF=80°,求∠BED 的度数.
【深入探究】
(2)如图②,若∠CAB=α,∠CDE=2∠ACD,∠BED=140°,求∠ABE 的度数(用含α的式子表示).
【拓展探究】
(3)如图③,若∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 Q,试写出∠BED 和∠BQD 的数量关系，并说明理由.
解:(1)如图,过点 E 作EH∥AB,则∠BEH=∠ABF=80°.
因为AB∥CD,∠CAB=130°,EH∥AB,所以
因为AC∥DE,
所以∠EDG=∠ACD=50°.
因为EH∥CD,
所以∠HED=∠EDG=50°,
所以∠BED=∠BEH+∠HED=130°.
(2)由模型可知,∠ABE+∠BED+∠CDE=360°.
因为AB∥CD,
所以
因为∠CDE=2∠ACD,
所以
因为∠BED=140°,
所以∠ABE=360°—∠BED—∠CDE =
(3)∠BED+2∠BQD=360°.理由如下:如图，延长BQ 交直线CD 于点K.
设∠ABQ=x,∠CDQ=y.
因为 BQ 平分∠ABE,DQ 平分∠CDE,
所以∠ABE=2∠ABQ=2x,
∠CDE=2∠CDQ=2y.
因为AB∥CD,
所以∠BKD=∠ABK=x,
所以 ∠BKD — ∠CDQ) = ∠BKD +∠CDQ =x+y.
由模型,得∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,所以∠BED =360°—∠ABE—∠CDE =
所以 2(x+y)=360°.
模型三 形拐点模型
1.模型说明
如图所示,m∥n,形中出现了“拐点”,且在平行线m，n的外部.
2.结论:∠1=∠2+∠3.
9.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动.一名同学抖空竹时的一个瞬间如图①所示.数学老师根据该名同学抖空竹的瞬间抽象出一个数学问题:如图②,已知 AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,求∠AEC 的度数.
解:由模型可知,∠ECD=∠EAB+∠AEC.因为∠EAB=80°,∠ECD=110°,所以∠AEC=∠ECD-∠EAB=30°.
模型四形拐点模型
1.模型说明
如图所示,m∥n, 形中出现了拐点，且在平行线m，n的外部.
2.结论:∠3=∠1+∠2.
10.如图所示,直线a∥b,∠2=31°,∠A=28°,则∠1= (C)
A.61° B.60° C.59° D.58°
解析:根据模型可知,∠1=∠A +∠2=
11.如图,直线AB∥CD,∠B=66°,∠D=37°,则∠E 的度数是 (A)
A.29° B.30°
C.37° D.66°
解析:根据模型可知,∠B=∠D+∠E,即 ,所以∠E=29°.
12.如图,已知AB∥CD,点 E 为射线 AG 上一点,AH 平分∠BAE,DH 交 AH 于点 H,交AE 于点 K,且∠EDH : ∠CDH =2 : 1,∠AED = 20°,∠H = 30°, 求 ∠EKD 的度数.
解: 根 据 模 型 可 知,∠AED +∠CDE =∠BAE.
因为∠AED=20°,
所以∠BAE=∠CDE+20°.
因为AH 平分∠BAE,
所以
因为∠EDH :∠CDH=2:1,
所以
所以
因为∠AKH=180°-(∠EAH+∠H)= 且∠EKD=∠AKH,
所以 所以∠CDE=120°,
所以

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