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7.2.3 平行线的性质
【巩固提升】
1.如图,已知 DE∥BA,DF∥CA,则图中与∠A 不一定相等的角是 ( )
A.∠BFD B.∠CED
C.∠ABC D.∠EDF
2.如图,AD⊥BD,∠3+∠2=180°,∠1=55°,那么∠2的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.25°
3.如图所示，把一块含 30°角的直角三角尺放置于两条平行线之间,若∠1=45°,则∠2= ( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
4.某小区车库门口的曲臂道闸升降杆示意图如图所示,BA 垂直地面 AE 于点 A,CD 平行地面 AE,若∠ABC=120°,则∠BCD 的大小是 ( )
A.60° B.100°
C.135° D.150°
5.如图,直线AB∥CD∥EF,点 O 在直线EF上，下列结论正确的是 ( )
A.∠α+∠β-∠γ=90°
B.∠β+∠γ-∠α=180°
C.∠α+∠γ-∠β=180°
D.∠α+∠β+∠γ=180°
6.如图,AB∥DF,DE∥BC,点 F 在 BC 上,∠ABC:∠EDF=2:3,则∠ABC= °.
7.如图,已知AB∥CD,直线 EF 分别交直线AB,CD 于 E, F 两点,∠EFB = ∠B,FH⊥FB.
(1)若∠B=20°,求∠DFH 的度数;
(2)试说明∠GFH=∠DFH.
8.把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D，C 分别在点D',C'的位置上，ED'与 BC交于点G，如图所示.若 求 与∠2的度数.
【素养创新】
9.广东某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.某共享单车放在水平地面的部分示意图如图所示，其中 AB，CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.若 AM 与CB 平行,则∠MAC 的度数是 ( )
A.16° B.60° C.66° D.114°
10.一种卫星接收天线的轴截面示意图如图所示，卫星波束 AB 与DC 平行射入接收天线，经反射聚集到焦点 O 处.若 则∠BOC= °.
11.问题：平面内，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角有怎样的数量关系
(1)小明阅读问题后，画出了一个图形如图所示(已知AB∥ED,BC∥EF),在这个图形中，∠B 与∠E 之间的数量关系是什么 试说明理由.
(2)当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，若其中一个角的度数是40°，则另一个角的度数是 .
【提优挑战】
12.【问题情境】
如图①，点A 是直线HD 上一点，C是直线GE 上一点,B 是直线 HD,GE 之间的一点,已知∠HAB+∠BCG=∠ABC.
【初步探究】
(1)试说明AD∥CE.
【深入探究】
(2)如图②,在图①的基础上,作∠BCF=∠BCG,CF 与∠BAH 的平分线交于点 F,若α+β=50°,求∠B+∠F 的度数.
(3)如图③，在图①的基础上，点B 的位置发生变化,若 CR 平分∠BCG,BN 平分∠ABC,BM∥CR,∠HAB=40°,试探究∠NBM 的度数，并说明理由.
7.2.3 平行线的性质
【巩固提升】
1.如图,已知 DE∥BA,DF∥CA,则图中与∠A 不一定相等的角是 (C)
A.∠BFD B.∠CED
C.∠ABC D.∠EDF
解析:因为 DF∥CA,所以∠BFD=∠A.
因为DE∥AB,
所以∠BFD=∠EDF,∠CED=∠A,
所以∠A=∠BFD=∠CED=∠EDF.
但无法说明∠ABC=∠A,故选C.
2.如图,AD⊥BD,∠3+∠2=180°,∠1=55°,那么∠2的度数是 (A)
A.35° B.45° C.55° D.25°
解析:因为∠3+∠2=180°,所以AB∥CD,所以∠CDB+∠1=180°,即∠2+∠ADB+∠1=180°.因为 AD⊥BD,所以∠ADB =90°.又因为∠1=55°,所以. 180°,所以∠2=35°.
3.如图所示，把一块含 30°角的直角三角尺放置于两条平行线之间,若∠1=45°,则∠2=(B)
A.10° B.15° C.20° D.30°
解析：如图，因为直角三角尺位于两条平行线之间,且∠1=45°,所以∠3=135°.
又因为直角三角尺含30°角，
所以
4.某小区车库门口的曲臂道闸升降杆示意图如图所示,BA 垂直地面 AE 于点 A,CD 平行地面 AE,若∠ABC=120°,则∠BCD 的大小是 (D)
A.60° B.100°
C.135° D.150°
解析:如图,过点 B 作BF∥AE.
因为CD∥AE,所以BF∥AE∥CD,所以∠BAE + ∠FBA = 180°,∠FBC +∠BCD=180°.
因为AB⊥AE,所以∠BAE=90°,所以∠FBA=90°.
因为∠ABC=∠FBA+∠FBC=120°,
所以
所以
5.如图,直线AB∥CD∥EF,点 O 在直线EF上，下列结论正确的是 (C)
A.∠α+∠β-∠γ=90°
B.∠β+∠γ-∠α=180°
C.∠α+∠γ-∠β=180°
D.∠α+∠β+∠γ=180°
解析:因为AB∥EF,
所以∠α=∠BOF=∠β+∠COF,
所以∠COF=∠α-∠β.
因为CD∥EF,所以∠γ+∠COF=180°,
所以∠α+∠γ-∠β=180°.
6.如图,AB∥DF,DE∥BC,点 F 在 BC 上,∠ABC:∠EDF=2:3,则∠ABC=72°.
解析:因为AB∥DF,所以∠ABC=∠CFD.因为 DE∥BC,所以∠EDF +∠CFD =180°,所以∠EDF+∠ABC=180°.又因为∠ABC:∠EDF=2:3,设∠ABC=2x°,则∠EDF=3x°,即 3x+ 2x=180,解得x=36,所以
7.如图,已知AB∥CD,直线 EF 分别交直线AB,CD 于 E, F 两点,∠EFB = ∠B,FH⊥FB.
(1)若∠B=20°,求∠DFH 的度数;
(2)试说明∠GFH=∠DFH.
解:(1)因为AB∥CD,
所以∠BFD=∠B=20°.
因为 FH⊥FB,所以∠BFH=90°,所以∠DFH=∠BFH-∠BFD=70°.
(2)因为AB∥CD,所以∠B=∠BFD.
因为∠EFB=∠B,所以∠EFB=∠BFD.
因为∠BFH=90°,
所以∠BFD +∠DFH = 90°,∠GFH +∠EFB=90°,
所以∠GFH=∠DFH.
8.把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D,C分别在点 D',C'的位置上,ED'与 BC交于点G,如图所示.若∠EFG=55°,求∠1与∠2的度数.
解:因为AD∥BC,所以∠4=∠EFG=55°.
根据折叠的性质,得∠3=∠4=55°,
所以
因为AD∥BC,
所以
【素养创新】
9.广东某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.某共享单车放在水平地面的部分示意图如图所示，其中 AB，CD 都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.若 AM 与CB 平行,则∠MAC 的度数是(C)
A.16° B.60° C.66° D.114°
解析：因为AB，CD 都与地面l 平行，所以AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°,所以∠BAC +∠ACB+∠BCD = 180°.因为∠BCD = 60°,∠BAC = 54°, 所以∠ACB=66°.因为 AM∥CB,所以∠MAC =∠ACB=66°.
10.一种卫星接收天线的轴截面示意图如图所示，卫星波束 AB 与DC 平行射入接收天线，经反射聚集到焦点 O 处.若∠ABO=37°,∠DCO=45°,则∠BOC =82°.
解析:如图,过点O作OH∥AB.
因为AB∥CD,所以OH∥CD∥AB,所以∠BOH=∠ABO=37°,∠COH=∠DCO=45°,所以∠BOC=∠BOH+∠COH=37°+
11.问题：平面内，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角有怎样的数量关系
(1)小明阅读问题后，画出了一个图形如图所示(已知AB∥ED,BC∥EF),在这个图形中，∠B 与∠E 之间的数量关系是什么 试说明理由.
(2)当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，若其中一个角的度数是 40°，则另一个角的度数是 .
解:(1)∠B=∠E.理由如下:
因为AB∥ED,所以∠B=∠DGC.
因为BC∥EF,所以∠E=∠DGC,
所以∠B=∠E.
(2)如图①,根据(1),得∠B=∠E=40°.
如图②,因为AB∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠BGE,∠BGE+∠E=180°,
所以∠B+∠E=180°.
所以∠E=180°-∠B=140°.
综上所述，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，所以若其中一个角的度数是40°，则另一个角的度数是40°或 140°.
故答案为:40°或 140°.
【提优挑战】
12.【问题情境】
如图①，点A 是直线 HD 上一点，C是直线GE 上一点,B 是直线 HD,GE 之间的一点,已知∠HAB+∠BCG=∠ABC.
【初步探究】
(1)试说明AD∥CE.
【深入探究】
(2)如图②,在图①的基础上,作∠BCF=∠BCG,CF 与∠BAH 的平分线交于点 F,若α+β=50°,求∠B+∠F 的度数.
(3)如图③，在图①的基础上，点B 的位置发生变化,若 CR 平分∠BCG,BN 平分∠ABC,BM∥CR,∠HAB=40°,试探究∠NBM 的度数，并说明理由.
解:(1)如图,过点B 作BP∥AD,
则∠ABP=∠HAB.
因为∠ABC=∠ABP+∠CBP,∠ABC=∠HAB+∠BCG,
所以∠CBP=∠BCG,
所以BP∥CE,
所以AD∥CE.
(2)因为 AF 平分∠HAB,
所以∠HAF=∠FAB=β,
所以∠HAB=2∠FAB=2β.
因为∠BCF=∠BCG=α,
所以∠FCG=2∠FCB=2α.
由(1),易得∠B=∠HAB+∠BCG,∠F=∠HAF+∠FCG,
所以∠B +∠F = ∠HAB + ∠BCG +∠HAF+∠FCG=2β+α+β+2α=3α+3β=3(α+β).
因为α+β=50°,
所以∠B+∠F=3(α+β)=150°.
理由如下：
因为CR 平分∠BCG,BN 平分∠ABC,所以∠BCG=2∠BCR,∠ABC=2∠NBC.因为BM∥CR,所以∠BCR=∠MBC,所以∠BCG=2∠MBC.
由(1),易得 所 以 ∠MBC)=2∠NBM,
所以

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