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第七章相交线与平行线单元测试卷
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列选项是命题的是 ( )
A.作直线AB∥CD B.今天的天气好吗
C.连接 A,B 两点 D.同角的余角相等
2.下列四个图形中，过点 B 作AC 的垂线，正确的是 ( )
3.如图，把一把直尺和两个含30°角的直角三角尺拼接在一起，则∠ACE 的度数为 ( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
4.有下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，已知直线l ,l ,l ,则∠5 的内错角是 ( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
6.如图，三角形ABC 平移到三角形DEF 的位置，下列说法错误的是 ( )
A.∠ACB=∠DFE
B. AD∥BE
C. AB=DE
D.平移的距离为线段 BD 的长
7.若两个角的两边分别平行，其中一个角是50°，则另一个角是 ( )
A.50° B.130°
C.50°或130° D.40°
8.如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°.有下列结论:①GE∥MP;②∠EFN=150°;③∠BEF=75°;④∠AEG+∠PMN=∠GPM.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,直线 AB,CD 相交于点O,EO⊥AB于点O,OF 平分∠AOE,∠1=15°,则下列结论错误的是 ( )
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C.∠AOD 与∠1互为补角
D.∠FOD=110°
10.如图,在长方形ABCD 中,AB=6.第一次平移将长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位长度,得到长方形 A B C D ,第2次平移将长方形 A B C D 沿A B 的方向向右平移5 个单位长度，得到长方形A B C D ……第 n 次平移将长方形 沿 的方向向右平 移 5 个 单 位 长 度，得到长 方形AnBnCnDn(n>2).若 ABn 的长 度 为2 026,则n 的值为 ( )
A.407 B.406 C.405 D.404
二、填空题
11.把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是
12.如图,直线l分别与直线a,b 相交,a∥b,若∠1=71°,则∠2 的度数为 .
13.如图,直线 AB 和CD 相交于点O,EO⊥CD 于点O,∠BOE=2∠BOD,则∠AOD的度数为 .
14.如图，有一块长为a m，宽为3m 的长方形地块，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移 1m 能得到它的右边线，若草地的面积为10 m ，则a= .
15.如图,AB∥CD,P,Q 分别是线段AB,CD上的定点，F 是 AB 与CD 之间的一点，PE,QE 分别为∠APF,∠CQF 的平分线,若∠PEQ=130°,则∠PFQ 的度数为 .
三、解答题(一)
16.请将下列命题改写成“如果 那么 ”的形式，并判断是真命题还是假命题.
(1)相等的角是直角；
(2)等角的补角相等；
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×5网格中，三角形 ABC 的顶点都在格点上，请按要求画图并解决问题：
(1)将三角形ABC 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A'B'C',画出三角形A'B'C';
(2)连接 AA',BB',则 AA'与 BB'之间的数量关系为 ，AA'与BB'之间的位置关系为 .
18.如图，将三角形ABC 向右平移，得到三角形DEF.
(1)若∠1= 40°,∠2 = 80°,求∠BAC 的度数；
(2)猜想∠BAD 与∠BED 的数量关系,并加以证明.
四、解答题(二)
19.一种躺椅的简化结构示意图如图所示，扶手AB 与底座CD 都平行于地面，靠背 DM与前支架 OE 平行，前支架 OE 与后支架OF 分别与 CD 交于点 G 和点 D,AB 与DM 交于点 N.一般地，当前支架OE 与后支架OF 正好垂直,∠ODC=32°时,人躺着最舒服，求此时扶手AB 与前支架OE 的夹角∠AOE 和扶手 AB 与靠背 DM 的夹角∠ANM 的度数.
20.如图,直线AB,CD 相交于点O,MO⊥AB.
(1)若 NO⊥CD,判断∠1和∠2的关系,并说明理由；
(2)若 求∠AOD 的度数.
21.主题：平面镜反射光线.
阅读：科学实验证明，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等.
操作：如图①，平行光线 AB 与 DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4.
(1)①由条件可知∠1 =∠3,依据是 ;
②反射光线 BC 与 EF 平行，依据是
(2)解决问题：如图②，将一束光线 m 射到平面镜a 上，光线m 被平面镜a 反射到平面镜b上，又被平面镜b 反射，若平面镜b射出的光线n平行于m,且∠1=42°,求∠2和∠3的度数.
五、解答题(三)
22.【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含 30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.如图，直线a∥b，在直角三角形 ABC 中,∠BCA =90°,∠BAC=30°,∠ABC=60°.
【操作发现】
(1)如图①,若∠1=46°,则
(2)如图②，创新小组的同学把直线a 向上平移,并改变∠2 的位置,发现∠2-∠1=120°,请说明理由.
【实践探究】
(3)缜密小组在创新小组的发现的基础上，将图②中的图形继续变化得到图③，已知AC 平分∠BAM,此时发现∠1 与∠2 存在新的数量关系，请求出∠1 与∠2 的数量关系.
23.【发现】
如图①,CE 平分 AE 平分
(1)当 时,AB 与CD的位置关系是 .
(2)当∠EAC=50°,∠ACE=40°时,AB 与CD 的位置关系是 .
(3)当∠EAC+∠ACE=90°时,请判断AB与CD 的位置关系，并说明理由.
【探究】
如图②,AB ∥CD,M 是 AE 上一点,∠AEC=90°保持不变,移动顶点 E,使CE平分∠MCD,判断∠BAE 与∠MCD 的数量关系，并说明理由.
【拓展】
如图③,AB∥CD,P 为线段 AC 上一定点，Q为直线CD 上一动点，且点 Q 不与点C重合.试说明∠PQC+∠QPC 与∠BAC的数量关系.
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列选项是命题的是 (D)
A.作直线AB∥CD B.今天的天气好吗
C.连接A,B 两点 D.同角的余角相等
解析：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题，只有选项D是命题.
2.下列四个图形中，过点 B 作 AC 的垂线，正确的是 (A)
解析：过点 B 作AC 的垂线，则垂足在直线AC 上，只有选项A符合题意.
3.如图，把一把直尺和两个含 30°角的直角三角尺拼接在一起，则∠ACE 的度数为 (C)
A.120° B.90° C.60° D.30°
解析:由题意,知AC∥DE,所以∠ACE=∠E=60°.
4.有下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.其中正确的有 (B)
A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4 个
解析：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，互为对顶角的两个角相等，故①③正确；相等的角不一定是对顶角，故②错误；两个角不是对顶角，这两个角也有可能相等，故④错误.综上，正确的有2 个.
5.如图，已知直线l ,l ,l ,则∠5 的内错角是(B)
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
解析：∠1是∠5的邻补角，故选项A不符合题意；∠2 是∠5 的内错角，故选项 B符合题意；∠3是∠5的同位角，故选项C不符合题意；∠4不是∠5的内错角，故选项D不符合题意.
6.如图，三角形ABC 平移到三角形DEF 的位置，下列说法错误的是 (D)
A.∠ACB=∠DFE
B. AD∥BE
C. AB=DE
D.平移的距离为线段 BD 的长
解 析: 由 平 移 知 AD ∥ BE,∠ACB =∠DFE,AB=DE,且平移的距离为线段BE 的长,显然 BD≠BE,故选项A,B,C均不符合题意，选项D符合题意.
7.若两个角的两边分别平行，其中一个角是50°，则另一个角是 (C)
A.50° B.130°
C.50°或130° D.40°
解析:如图,设∠1=50°,
∠2与∠3的两边都与∠1的两边分别平行，即AB∥CD,AD∥BC,
所以∠1+∠A=180°,∠3+∠A=180°,
所以∠3=∠1=50°.
因为∠2+∠3=180°,所以∠2=130°.
故另一个角是50°或 130°.
8.如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,∠GEF=60°,∠MNP =45°.有下列结论:①GE∥MP;②∠EFN=150°;③∠BEF=75°;④∠AEG+∠PMN=∠GPM.其中正确的个数是 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析: 由题意,得∠G=∠MPN=∠GPM=90°,所以GE∥MP,故①正确.
由题意,得∠EFG = 30°,所以∠EFN =180°-∠EFG=150°,故②正确.
过点F 作FH∥AB, 如图.
因为AB∥CD,所以AB∥FH∥CD,
所以∠BEF+∠EFH =180°,∠HFN =∠MNP=45°,
所以∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°,所以 故③正确.因 为 ∠GEF = 60°,∠BEF = 75°, 所 以∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°.
由题意,得∠PMN = 45°,所以∠AEG 十∠PMN = 90°,所以∠AEG +∠PMN =∠GPM,故④正确.
综上所述，正确的有4个.
9.如图,直线 AB,CD 相交于点O,EO⊥AB于点O,OF 平分∠AOE,∠1=15°,则下列结论错误的是 (D)
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C.∠AOD 与∠1互为补角
D.∠FOD=110°
解析:因为EO⊥AB 于点O,所以∠AOE=∠BOE = 90°.因为 OF 平分∠AOE,所以∠2=∠FOE=45°,故选项 A不符合题意.
因为∠1 和∠3互为对顶角,所以∠1=∠3,故选项B不符合题意.
因为∠AOD+∠1=180°,所以∠AOD 和∠1互为补角，故选项C不符合题意.
因为∠1=15°,所以 75°,所以∠FOD=∠FOE+∠EOD=45°+ 故选项D符合题意.
10.如图,在长方形ABCD 中,AB=6.第一次平移将长方形 ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位长度,得到长方形 A B C D ,第2次平移将长方形 A B C D 沿 A B 的方向向右平移 5 个单位长度，得到长方形A B C D ……第 n 次平移将长方形 沿 的方向向右平 移 5 个 单 位 长 度，得到 长 方 形AnBnCnDn(n>2).若 ABn 的长 度 为2 026,则n的值为 (D)
A.407 B.406 C.405 D.404
解析：由题意可得，点B 向右平移5 个单位长度到达点 B ，故 ;点B 再向右平移5个单位长度到达点 B ，故. 6+5×2;依次类推,ABn=6+5n,当6+5n=2026时,解得n=404.
二、填空题
11.把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是如果一个角是锐角，那么它的余角是锐角.
12.如图,直线l 分别与直线a,b 相交,a∥b,若∠1=71°,则∠2的度数为109°.
解析：如图.
因为a∥b,∠1=71°,所以∠3=∠1=71°,所以∠2=180°-∠3=109°.
13.如图,直线 AB 和CD 相交于点O,EO⊥CD 于点O,∠BOE=2∠BOD,则∠AOD的度数为150°.
解析：设 ,则∠BOE=2x°.由题意,得 x + 2x =90,解得 x = 30,所以∠BOD = 30°, 所 以 ∠AOD = 180°—
14.如图，有一块长为a m，宽为3m 的长方形地块，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移 1 m能得
到它的右边线，若草地的面积为10 m ，则
解析:依题意,得3(a—1)=10,则a—1= 所以
15.如图,AB∥CD,P,Q 分别是线段AB,CD上的定点，F 是 AB 与CD 之间的一点，PE,QE 分别为∠APF,∠CQF 的平分线,若∠PEQ=130°,则∠PFQ 的度数为100°.
解析:如图,过点 E 作GH∥AB.
因为 AB∥CD,所以 GH ∥CD,所以∠CQE=∠HEQ.
因为GH∥AB,所以∠PEH=∠APE.
因为∠PEQ=∠PEH+∠QEH,∠PEQ=130°,所以∠APE+∠CQE=130°.
因为 PE,QE 分别是∠APF,∠CQF 的平分线,所以∠APF = 2∠APE,∠CQF =2∠CQE,
所以 ∠APF + ∠CQF = 2 (∠APE +∠CQE)=260°.
因为
所以∠BPF+∠DQF=180°-∠APF+
过点 F 作 MN ∥AB,所以∠PFM =∠BPF.因为AB∥CD,所以MN∥CD,所以∠QFM=∠DQF,
所以∠PFQ=∠PFM+∠QFM=∠BPF+∠DQF=100°.
三、解答题(一)
16.请将下列命题改写成“如果 那么 ”的形式，并判断是真命题还是假命题.
(1)相等的角是直角；
(2)等角的补角相等；
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解：(1)如果两个角相等，那么它们是直角.是假命题.
(2)如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.是真命题.
(3)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.是真命题.
17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×5 网格中，三角形 ABC 的顶点都在格点上，请按要求画图并解决问题：
(1)将三角形ABC 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A'B'C',画出三角形A'B'C';
(2)连接 AA',BB',则 AA'与 BB'之间的数量关系为 ，AA'与BB'之间的位置关系为 .
解：(1)如图所示，三角形A'B'C'即为所求.
(2)如图,连接 AA′,BB′.根据平移的性质可得AA'=BB',AA'∥BB'.
故答案为:AA'=BB',AA'∥BB'.
18.如图，将三角形ABC 向右平移，得到三角形 DEF.
(1)若∠1 = 40°,∠2= 80°,求∠BAC 的度数；
(2)猜想∠BAD 与∠BED 的数量关系,并加以证明.
解:(1)由平移的性质可得AB∥DE,
所以∠BAD+∠2=180°,
所以∠BAC+∠1+∠2=180°.
因为∠1=40°,∠2=80°,
所以∠BAC=60°.
(2)∠BAD=∠BED.证明如下:由平移可得AB∥DE,AD∥BE,所以∠BAD+∠2=180°,∠BED+∠2=180°,所以∠BAD=∠BED.
四、解答题(二)
19.一种躺椅的简化结构示意图如图所示，扶手 AB 与底座CD 都平行于地面，靠背 DM与前支架 OE 平行，前支架 OE 与后支架OF 分别与 CD 交于点 G 和点 D,AB 与DM 交于点 N.一般地，当前支架OE 与后支架OF 正好垂直,∠ODC=32°时,人躺着最舒服，求此时扶手 AB 与前支架OE 的夹角∠AOE 和扶手 AB 与靠背 DM 的夹角∠ANM 的度数.
解：因为扶手 AB 与底座CD 都平行于地面,所以AB∥CD.
所以∠BOD=∠ODC=32°.
又因为∠EOF=90°,所以∠AOE=58°.
因为DM∥OE,
所以∠AND=∠AOE=58°,
所以∠ANM=180°-∠AND=122°.
20.如图,直线AB,CD 相交于点O,MO⊥AB.
(1)若 NO⊥CD,判断∠1 和∠2 的关系,并说明理由；
(2)若 求∠AOD 的度数.
解:(1)∠1=∠2.理由如下:
因为 NO⊥CD,所以∠CON=∠AOC+∠2=90°.
因为 MO⊥AB,所以∠AOM=∠AOC+∠1=90°,所以∠1=∠2.
(2)因为 MO⊥AB,所以∠BOC=∠1+∠BOM=∠1+90°.
因为
所以
所以∠BOC=135°,
所以∠AOD=∠BOC=135°.
21.(综合与实践)主题：平面镜反射光线.
阅读：科学实验证明，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等.
操作：如图①，平行光线 AB 与DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4.
(1)①由条件 可知∠1 =∠3,依据是 ;
②反射光线 BC 与 EF 平行，依据是
(2)解决问题：如图②，将一束光线 m 射到平面镜a 上，光线 m 被平面镜a 反射到平面镜b上，又被平面镜b 反射，若平面镜b射出的光线n平行于m,且∠1=42°,求∠2和∠3的度数.
解：(1)①两直线平行，同位角相等
②同位角相等，两直线平行
(2)如图.
因为∠1=42°,
所以∠4=∠1=42°,
所以
因为m∥n,
所以∠2+∠6=180°,
所以∠2=84°,
所以
所以
五、解答题(三)
22.(综合与实践)【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含 30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.如图，直线a∥b，在直角三角形 ABC 中,∠BCA =90°,∠BAC=30°,∠ABC=60°.
【操作发现】
(1)如图①,若∠1=46°,则∠2= .
(2)如图②，创新小组的同学把直线a 向上平移,并改变∠2 的位置,发现∠2—∠1=120°,请说明理由.
【实践探究】
(3)缜密小组在创新小组的发现的基础上，将图②中的图形继续变化得到图③，已知AC 平分∠BAM,此时发现∠1 与∠2存在新的数量关系，请求出∠1 与∠2 的数量关系.
解:(1)44°
(2)如图,过点B 作BD∥a,
则
因为a∥b,BD∥a,所以BD∥b,
所以∠DBC=∠1.
因为∠ABC=60°,
所以180°-∠2+∠1=60°,
所以∠2-∠1=120°.
(3)因为AC平分∠BAM,
所以∠BAM = 2∠BAC = 60°,∠CAM =∠BAC=30°.
如图,过点C作CE∥a,
则∠2=∠BCE.
因为a∥b,所以∠1=∠BAM=60°.
因为a∥b,CE∥a,所以CE∥b,
所以∠ECA=∠CAM=30°,
所以∠BCE=90°-∠ECA=60°,
所以∠2=∠BCE=60°,
所以∠1=∠2.
23.【发现】
如图①,CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC.
(1)当∠EAC=∠ACE=45°时,AB 与CD的位置关系是 .
(2)当∠EAC=50°,∠ACE=40°时,AB 与CD 的位置关系是 .
(3)当∠EAC+∠ACE=90°时,请判断AB与CD 的位置关系，并说明理由.
【探究】
如图②,AB ∥CD, M 是 AE 上一点,∠AEC=90°保持不变,移动顶点 E,使CE平分∠MCD,判断∠BAE 与∠MCD 的数量关系，并说明理由.
【拓展】
如图③,AB∥CD,P 为线段 AC 上一定点，Q为直线CD 上一动点，且点 Q 不与点C 重合.试说明∠PQC+∠QPC 与∠BAC的数量关系.
解：【发现】
(1)AB∥CD (2)AB∥CD
(3)当∠EAC+∠ACE=90°时,AB∥CD.
理由如下：
因为CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC,
所以∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE.
因为∠EAC+∠ACE=90°,
所以∠BAC+∠ACD=180°,
所以AB∥CD.
【探究】
理由如下：
过点E 作EF∥AB,如图所示.
因为AB∥CD,
所以EF∥AB∥CD,
所以∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE.
因为∠AEC=90°,
所 以 ∠AEF + ∠FEC = ∠BAE +∠ECD=90°.
因为CE 平分∠MCD,
所以
所以
【拓展】
如图,当点Q 在射线CD 上运动时,∠BAC=∠PQC+∠QPC.
理由:过点 P 作PE∥AB.
因为AB∥CD,所以 PE∥AB∥CD,所以∠BAC=∠EPC,∠PQC=∠EPQ,所以∠BAC=∠EPC=∠PQC+∠QPC.如图，当点 Q 在射线CD 的反向延长线上运动时(点 C 除外),∠PQC+∠QPC+
理由:因为AB∥CD,
所以∠BAC=∠ACQ.
因为∠PQC+∠PCQ+∠QPC=180°,
所以∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.
综上,∠BAC=∠PQC+∠QPC 或∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.

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