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第 29讲 一次函数与特殊图形
板块一 特殊图形(一)全等三角形
典 例 精 讲
题型① 等线段构全等
【例1】如图，一次函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别相交于点D，C，直线AB 经过点A(-2,0)和点 B(0,6),直线 AB,CD 相交于点 M.
(1)直接写出点 M 的坐标；
(2)N 为直线CD 上一点,若以点B,M,N 组成的三角形与△AMC 全等,求点 N 的坐标.
题型 ② 等角构全等
【例2】如图,A(1,0),B(3,0),C(0,-3),连接AC,BC,点 P 在第四象限,若 ∠ACB,求直线 CP 的解析式.
题型③ 双垂直构全等
【例3】如图,直线y=x-3与y轴交于点A,与x轴交于点B,直线AC 与x轴交于点C(1,0),BD⊥AC 于点 D.求点 D 的坐标.
题型④ 解析法证全等
【例4】如图,直线AB:y=x+3与直线 BC:y=-x+3交于y轴上的同一点B,分别交x轴于点A,C.若点E(1,0),过点A 作AM⊥BE,交BC 于点M,交y轴于点F,连接OM,EM.求证:∠AMO=∠EMO.
实 战 演 练
1.如图，直线 与x 轴，y轴分别交于A，B两点，E为y 轴上一点，且S△ABE=12.
(1)直接写出直线 AE 的解析式；
(2)过原点的直线MN 与直线AB,AE 分别交于点M,N.若OM=ON,求点 N 的坐标.
2.如图,直线y=-2x+4交y轴于点A,交x轴于点B,点C在y 轴的负半轴上,且△ABC 的面积为8.
(1)直接写出直线 BC 的解析式；
(2)直线 y=x 和直线 BC 相交于点D.在线段OA 上找一点F,使得 线段DF 与AB 相交于点 E.求点 E 的坐标.
板块二 特殊图形(二)等腰三角形
点A(-2,0),B(0,4). ①若PA=PB,设 P(0,t),则在 Rt△AOP 中, ②若QA=QB,设Q(m,0),则在 Rt△BOQ中,
典 例 精 讲
题型① 明等腰与隐等腰
【例】直线 交x轴于点A，交 y 轴于点B.
(1)求点 A,B 的坐标;
(2)如图1，点 C 是y 轴正半轴上一点，若△ABC 是以AB 为底的等腰三角形，求点 C 的坐标；
(3)如图2,点 D 是x 轴上一点,∠BAO=2∠DBO,求点 D 的坐标.
实 战 演 练
题型② 构等腰
如图,直线 AB 交x 轴于点A(1,0),交 y 轴于点 B(0,-3),将△ABO 沿AB 翻折得到△ABD.求直线 AD 的解析式.
板块三 特殊图形(三)平行四边形
典 例 精 讲
【例】如图,A(-4,0),B(0,2),C 为y 轴上一点,D 为直线y=-x上一点,若以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，求点 C 的坐标.
实 战 演 练
如图,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(12,0)和点 B,与直线y=x交于点E,点 E 的横坐标为4.
(1)写出直线 AB 的解析式；
(2)若点D(6,6),点M,N 分别在直线y=x和x轴上,若以B,E,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 N 的坐标.
板块四 特殊图形(四)矩形、菱形
典 例 精 讲
题型① 菱形
【例】如图，直线AB 与直线AD:y= kx-2 交于点A(4,a),直线AB,AD 分别交y轴于点B，D. F是直线AB 上一点，N是平面内一点，若以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，求符合条件的点 N 的坐标.
实 战 演 练
题型② 矩形
如图,矩形OABC 的顶点A(0,8),C(10,0). E 为BC 上一点,将矩形沿AE 折叠,点 B 恰好落在x轴上的点F 处，直线 EF 交AB 的延长线于点G.求点G 的坐标.
板块五 特殊图形(五)正方形
典 例 精 讲
【例】如图，直线AB 的解析式为y=-x+4,它与y 轴，x轴分别交于A，B两点. D是直线AB 上的动点，以OD 为边顺时针方向作正方形ODEF，连接BF.若BF=3BD,，求点 F 的坐标.
实 战 演 练
如图，直线y=2x+4与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点 F 为线段AB 的中点，点G 在y 轴上,以 FG 为边,向右作正方形 FGQP,点 Q 落在直线BC 上,求点 G 的坐标.
板块一 特殊图形(一)全等三角形
典例精讲
【例1】解:(1)M(-1,3);
(2)连接AC,∵A(-2,0),B(0,6),M(-1,3),∴M为AB 的中点,
∴AM=BM,
∵∠AMC=∠BMN,
∴只能是△BMN≌△AMC,
∴∠MAC=∠MBN,
∴BN∥AC,易知直线 AC:y=x+
2,可得直线 BN:y=x+6,联立直线CD,BN,可得点 N(-2,4).
【例2】解:过点 B 作 BD⊥x轴交CP于点D,∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC=3,
∴∠ABC=∠DBC=45°,
∵∠PCB=∠ACB,BC=BC,
∴△ABC≌△DBC,
∴AB=DB,∵A(1,0),B(3,0),
∴AB=2=DB,
∴D(3,-2),设直线 CP 的解析式为 y= kx+b,把C(0,-3),D(3,-2)代入 解得
∴直线CD的解析式为
【例3】解:延长 BD 交 y轴于点 E.由y=x-3可得点 A(0,-3),B(3,0),∴OA=OB=3.
∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠AOB=90°,
∴∠OAC=∠OBE.
∴△OAC≌△OBE,
∴OE=OC=1,∴E(0,1),
∵A(0,-3),C(1,0),B(3,0),
∴直线
AC:y=3x-3,
联立
可得
【例4】解:易得 A(-3,0),
B(0,3),C(3,0).
∴OA=OB=OC=3.
∵AM⊥BE,可得∠OBE=∠OAF,
∴△AOF≌△BOE,
∴OF=OE=1,∴F(0,1),
由
得 ∴M 为BC 中点,
∴OM 平分∠FOE,
∴△FOM≌△EOM,
∴∠AMO=∠EMO.
实战演练
1.解:(1)直线AE:y=x-4;
(2)分别过点 M,N 作 y轴的垂线,垂足分别为G，H.
△OMG≌△ONH,
∴MG=NH,OG=OH,
∴xM=-xn,yM=-yN,
设N(m,m-4),
则
解得
∴点
2.解:(1)y=2x-4;
(2)连接 AD,∵点 D 是直线 BC 和直线 y =x的 交 点,故联 立 解得
即 D(4,4),
∵A(0,4),故AD=AO,
且∠DAO=90°,
∴∠DAO=∠AOB=90°,
∠AFD=∠ABO,
∴△DAF≌△AOB(AAS),
∴AF=OB=2,OF=2,即 F(0,2),可求直线 DF 的解析式为 y =
∵点 E 是直线 AB 和直线 DF 的交点，故联 立 解 得 即
板块二 特殊图形(二)等腰三角形
典例精讲
【例】解:(1)A(4,0),B(0,-3);
(2)如图1,设OC=t,
则AC=BC=3+t.
解得
(3)如图2，当点 D 在x 轴负半轴上时,可得∠ABD=∠ABO+∠DBO=90°-∠BAO+∠DBO= 90°-∠DBO=∠ADB,
∴AD=AB=5,
∴OD=1,则 D(-1,0);由对称性可知，当点 D 在x 轴正半轴上时，D(1,0),∴D(-1,0)或 D(1,0).
实战演练
解:过点 B 作 BE∥AD,交 x 轴于点E.由折叠知∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE.
设OE=m,BE=AE=m+1,
由 得 解得m=4,
∴E(-4,0),求得 由AD∥BE得
板块三 特殊图形(三)
平行四边形
典例精讲
【例】解:设点 C(0,m).分三种情况讨论：①如图1，当 AB 为对角线时，
四边形ACBD 为平行四边形，AD=BC,且AD∥BC,
∵A(-4,0),B(0,2),C(0,m),
∴D(-4.2-m),代入 y=-x,得m=-2,∴C(0,-2);
②如图2，当AC 为对角线时，D(-4. m-2),
代入y=-x,得m=6,
∴C(0,6);
③如图3,当AD 为对角线时,D(4,m+2),代入y=-x,得m=-6,∴C(0,-6).
解
(2)设M(p,p),N(q,0).
①若MN,BE 为对角线,则 MN 的中点即是 BE 的中点，
解得
∴N(-6,0);
②若ME,NB 为对角线,则 ME 的中点即是NB 的中点，
解得
∴N(6,0);
③若MB,NE 为对角线,则 MB 的中点即为 NE 的中点，
解得
∴N(-6,0).综上所述,点 N 的坐标为(-6,0)或(6,0).
板块四 特殊图形(四)矩形、菱形
典例精讲
【例】解：设点
①如图1,以 BD,BF 为边的四边形BDNF 是菱形,过点 F 作 FT⊥y轴于 点 T,
则 FT = f, BT =
BD=DN=NF=BF=5,
BD∥FN,
即 解得f=±2
或 ),
)或 N(2
②如图2，以BF 为对角线的四边形BDFN 是菱形,
∴BD=DF=FN=BN=5,BD∥FN,
∵A(4,1),D(0,-2),
∴点 F 于点A 重合,
∴F(4,1),∴N(4,6);
③如图3，以BD 为对角线的四边形BFDN 是菱形,连接 FN 交 BD 于点G,∵BD=3-(-2)=5,
∵四边形 BFDN 是菱形,
∴BD⊥FN,FG=NG,
∴点 F 的纵坐标为
即 解得f=5,
∴FG=NG=5,∴N(-5, ).
综上所述，点 或 或(4,6)或
解:∵A(0,8),C(10,0),
∴AB =OC = 10,OA = BC =8,∠AOC=∠OCB =∠ABC=90°,由折叠得 AF = AB = 10,EF =BE, 在 Rt △ABF 中, OF =
∴点 F(6,0),CF=4,设 EC=x,则EF=8-x,
解得x=3,∴点E(10,3),
∴直线 EF: 当y=8时 点
板块五 特殊图形(五)正方形
典例精讲
【例】解:①当点 D 在线段 AB 上时,过点 D 分别作 DM⊥x轴于点 M,DN⊥y轴于点 N,过点 F 作 FH⊥y轴于点 H,则∠DNO=∠NOM=∠OMD=90°,
∴四边形ONDM 是矩形,
∴ON=DM,DN=OM,
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠ABO=45°,
∴△ADN,△BDM 都是等腰直角三角形，
∴AN=DN,BM=DM,
∵四边形ODEF 是正方形，
∴OD=OF.∠DOF=∠AOB=90°,
∴∠AOD=∠BOF,
∵OA=OB=4,
∴△AOD≌△BOF(SAS),
∴AD=BF,
∵BF=3BD,∴AD=3BD,
∴S△AOD : S△BOD=3:1,
∵OA=OB=4,
∴DN=AN=3DM=3ON,
∵∠NOD +∠HOF =∠HFO+∠HOF=90°,
∴∠NOD=∠HFO,
∵∠OND=∠FHO=90°,OD=OF,
∴△NOD≌△HFO(AAS),
∴OH=DN=3,HF=NO=1,
∴F(1,-3);
②当点 D 在线段 AB 延长线上时，过点 D 分别作 DM⊥x轴于点 M,DN⊥y轴于点 N,过点 F 作FH⊥y 轴于点 H ,则△AOD ≌△BOF(SAS),∴AD=BF,
∵BF=3BD,∴AD=3BD,
∴S△AOD : S△BOD =3:1,
∴DN=AN=3DM=3ON,
∴D(6,-2),
△NOD≌△HFO(AAS),
∴OH=DN=6,HF=NO=2,
∴F(-2,-6);
③当点 D 在线段 BA 延长线上时，AD实战演练
解:由题意,得A(-2,0),B(0,4).
∵F 为线段AB 的中点,∴F(-1,2), ∴直线 4,设G(0,n).
①当n>2时,点 Q 落在线段 BC上,如图1,过点 G 作KH∥x轴,过点 F 作 FK⊥KH 于点 K,过点Q作QH⊥KH 于点 H.
∵∠FGQ=90°,
∴∠KGF+∠HGQ=90°,
∵∠KFG+∠KGF=90°,
∴∠HGQ=∠KFG,
∵FG=GQ,
∴△KGF≌△HQG(AAS),
∴KF=GH=n-2,KG=HQ=1,
∴Q(n-2,n-1),
解得
②当n<2时,如图2,点 Q 在线段BC 的延长线上,过点 G 作MN∥x轴,过点 F 作 FM⊥MN 于点 M,过点 Q 作 QN⊥MN 于点 N,同理可得△FMG≌△GNQ(AAS),
∴FM=GN=2-n,MG=QN=1,
∴Q(2-n,n+1),
解得n=-5,∴G(0,-5).
③当n=2时,FG∥x 轴,此时,点Q在y轴上，不符合题意.
综上所述，点G 的坐标为(0， )或(0,-5).

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