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第 28 讲 一次函数与角度
板块一 角度(一)45°角
典 例 精 讲
题型 ① 45°角的顶点坐标已知
【例1】如图，直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，B为x 轴正半轴上一点，且∠ACB=45°,求点 B 的坐标.
【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A(1，1)，B为x轴的负半轴上一点，C为y 轴负半轴上一点,且∠BAC=45°,求 S△BOC.
题型 ② 45°角的顶点坐标未知
【例3】如图,直线AB:y=-2x+6与y轴交于点A,与x 轴交于点B,直线l:y=mx+n过点D(8,0).若直线l 与直线AB 的夹角等于45°,求m 的值.
实 战 演 练
题型 ③ 135°角转化为45°角
1.如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y= kx-1与线段AB 交于点C,与y 轴交于点 P.若∠PCA=135°,求点 C 的坐标.
题型④ 斜交45°角
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴,y 轴分别交于点 B,A,C 为OA 上一点,且OC=2,E 是线段BC 上一点,连接AE 并延长交OB 于点 D.若 求OD的长.
3.如图，直线 AB 的解析式为y=4x+4,,点 A,C 在x 轴上,点 B 在y 轴上,且OA=OC.
(1)求点 A,B,C 的坐标;
(2)如图1,点 P 在 BA 的延长线上,且 求点 P 的坐标；
(3)如图2,若点 P 在线段AB 上,且 求点 P 的坐标.
板块二 角度(二)等角
一、等角→构全等 二、等角→构特殊角
条件:OA=OB,∠ABC=∠ABP. 方法:作AD⊥AC 交直线 BP 于点 D. 结论： 条件： 结论：
典 例 精 讲
题型① 等角构全等
【例1】如图,点A(-1,4),B(-3,0),C(0,3),直线 CD 交线段AB 于点D.若∠OCD=∠OBA,求直线 CD 的解析式.
题型② 等角构特殊角
【例2】如图,直线y=x-3与x轴交于点B,与y轴交于点A,点C(1,0),P 为点B 右侧x轴上一点.若∠PAB=∠OAC,求点 P 的坐标.
实 战 演 练
如图,直线y=x+3与x 轴交于点A,与y轴交于点B,点C(2,0),P 为直线BC上一点.若∠PAC=∠OBC,求点 P 的坐标.
板块三 角度(三)和差倍分
一、和差 二、倍分
∠OAD=∠OBC.
典 例 精 讲
题型① 和差
【例1】如图，直线 交x轴于点A，交y 轴于点B，过点 B 的直线y=kx+b交x 轴负半轴于点C.若∠CBO+∠BAO=45°,求k 的值.
题型② 倍分
【例2】如图,点 A(4,0),B(0,2),P 为直线 上一点，且点 P 在直线AB 的上方.若 求点 P 的坐标.
实 战 演 练
1.如图,直线 AB 交x轴于点A(1,0),交 y 轴于点B(0,-3).
(1)求直线 AB 的解析式;
(2)C 是x 轴上的一点,且 求点 C 的坐标.
2.如图,点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),P 为第二象限内直线y=2x+6上一点.若 ，求点 P 的坐标.
3.如图,点 A(3,0),B(0,4),C 为直线.y=x+1上一点，且点 C 在直线AB 的右侧.若 求点 C 的坐标.
板块一 角度(一)45°角
典例精讲
【例 1】解:过点 A 作 AE⊥AC 交 BC于点 E,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F.证△OAC≌△FEA,
∴AF=OC=3,EF=OA=1,
∴E(4,1).∵C(0,3),
∴CE 的解析式为
∴B(6,0).
【例2】解:过点 B 作 BE⊥BA,交 AC的延长线于点E.设B(a,0),
构“三垂直全等”,可得点 E(a+1,
∴c(o, ).∵B(a,0),∴S△BOC=
【例3】解:直线l:y= mx+n 过点 D(8,0),∴直线l:y=m(x-8).
在直线 AB 上分别取点 M,N(点 M在点 N 的上方),连接 DM,DN,使∠DMN=∠DNM=45°,
过点 M，N分别作x 轴的垂线，垂足分别为 H,K,
则△MDH≌△DNK,
∴MH=DK,DH=NK,
设点M(a,-2a+6),N(b,-2b+6),则 解得 ∴M(2,2),N(6,—6),分别代入y=m(x-8),得 或 3.
实战演练
1.解:过点 P 作 PM⊥PC,交直线 AB于点 M,过点 M 作 MG⊥y 轴于点G,过点 C 作CH⊥y 轴于点 H,可得△PMG≌△CPH,
∴MG=PH,PG=CH.
设点
∵P(0,-1),可得 代入 得
2.解:过点 A 作 AP∥BC,作 DP ⊥AD,两线交于点 P,作 PH⊥x轴于点H.∵直线 与x轴，y轴分别交于点B，A，
∴B(8,0),A(0,6),
∴OA=6,OB=8.
∵C 为OA 上一点,且 OC=2,
∴C(0,2),
∴直线 BC 的解析式为
∵∠AEC=45°,
∴△ADP 为等腰直角三角形，可证△AOD≌△DHP,
∴OD=HP.设点 D(t,0),
∴P(t+6,t),∵直线 AP 的解析式为
解得
3.解:(1)A(-1,0),B(0,4),C(1,0);(2)过点 C 作 CD⊥PC 交 AB 于点D，过点 C 作x 轴的垂线l，分别过点D,P 作l 的垂线,垂足分别E,F,
∵∠APC=45°,
∴△DEC≌△CFP,
∴DE=CF,EC=FP,
设DE=CF=m,EC=PF=n,
∴P(1-n,-m),D(1-m,n),
∵点 D,P 在直线y=4x+4上, 得
(3)由(2)知:
板块二 角度(二)等角
典例精讲
【例1】解:延长 BA 交 y 轴于点 F,设直线 CD 与x 轴交于点E.
∵B(-3,0),C(0,3),
∴OB=OC=3.
又∵∠OCD=∠OBA,
∠BOC=∠BOC,
∴△OCE≌△OBF(ASA),
∴OE=OF.由 A(-1,4),B(-3,
0),可得直线 AB: y=2x+6,
∴点 F(0,6),∴OE=OF=6,
∴E(-6,0).又∵C(0,3),∴直线CD 的解析式为
【例2】解:由 y=x-3,可得 A(0,-3),B(3,0),
∴OA=OB=3,∴∠OAB=45°.
∵∠PAB=∠OAC,
∴∠PAB + ∠CAB = ∠OAC +∠CAB,即∠PAC=∠OAB=45°.构三垂直全等,可得点 M(4,-1).
又∵A(0,-3),
∴直线A. 令y=0, 点P(6,0).
解:设直线 PA 与y 轴交于点 D.
由y=x+3,可得A(-3,0),B(0,3),∴OA=OB=3.
∵∠PAC=∠OBC,
∴△OAD≌△OBC(ASA),
∴OD=OC=2.由 B(0,3),C(2,
0)，可得直线
①当点 D 在x 轴上方时,记为 D ,则D (0,2),
∴直线 联立 导
②当点 D 在x 轴下方时,记为 D .同理可得 P (6,-6).综上所述,点 或(6,-6).
板块三 角度(三)和差倍分
典例精讲
【例1】解:在线段 OA 上取点 E,连接BE,使∠EBA=45°.
过点 E 作 EF⊥BE,交 AB 于点 F,过点 F 作 FG⊥x轴于点G,
则△OBE≌△GEF(AAS),
∴∠OBE=∠GEF.
∵∠GEF+∠BAO=∠BFE=45°,∠CBO+∠BAO=45°,
∴∠CBO=∠GEF=∠OBE,
∴△OBE≌△OBC(ASA),
∴OC=OE.设E(m,0),
则F(m+3,m),代入
得 解得m=1,∴C(-1,0),将点 B,C 的坐标代入y= kx+b,可得 k=3.
【例2】解:延长 PB 交x轴于点D.
∵∠ABP =∠BAO+∠BDO
=2∠BAO,
∴∠BDO=∠BAO.
又∵OB=OB,
∠BOA=∠BOD=90°,
∴△BDO≌△BAO,
∴OD=OA=4,
∴D(-4,0).又∵B(0,2),
∴直线
联立 可得 P(2,3).
实战演练
1.解:(1)y=3x-3;
(2)当点C 在x轴正半轴上时，连接BC,∴∠BCO=∠ABC,
0);
当点C在x 轴负半轴上时，由对称性可知，
)或 0).
2.解:过点 A 作AM⊥x轴交BP 的延长线于点M.∵A(-3,0),B(0,3),∴OA=OB=3.∴∠BAO=45°.
∵∠ABC+∠ACB=135°,
又∵∠PBA+∠ACB=135°,
∴∠PBA=∠ABC,
又∵∠MAB=∠BAO=45°,AB=AB,
∴△ABM≌△ABC(ASA),
∴AM=AC=4,
∴M(-3,4),又∵B(0,3).
∴直线
联立
可得点
3.解:延长 BC 交x轴于点 E.
∵∠ABO+∠OAB=90°,
∠ABO+2∠ABC=90°,
∴∠OAB=2∠ABC,
∴∠ABC=∠AEB,∴AB=AE.
∵A(3,0),B(0,4),
∴AE=5,∴E(8,0),
∴直线 BE:
联立 可得点C(2,3).

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