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第 27 讲 一次函数与面积
板块一 面积(一)割补法
典例精讲
【例】如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为第一象限内一点，且点C的横坐标为2.若S△ABC=7,求直线OC 的解析式.
实 战 演 练
1.如图,直线AB 与x轴负半轴交于点A,与y 轴正半轴交于点B,OA=OB=2,C(m,-2m)为第四象限内一点.若 求直线 BC 的解析式.
2.如图，直线.AB: 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点C(1，m)在第一象限.若S△ABC=11,求m 的值.
板块二 面积(二)铅垂法
典例 精讲
【例】如图，直线 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，C 为直线y=x-1上的一动点.若S△ABC=3,求点 C 的坐标.
实 战 演 练
如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，P 为直线y=-x+2上的一动点.若S△PAB=5,求点 P 的坐标.
板块三 面积(三)牵引法
方法:作PQ∥AB交x 轴于点Q. 结论:S△PAB=S△QAB, 方法:作 PQ∥AB 交y 轴于点Q. 结论：
典例 精 讲
【例】如图，直线 与x 轴交于点A,与y 轴交于点 B.已知点 C(1,-2),点 P在x轴上，且S△PAB=S△ABC.求点 P 的坐标.
实 战 演 练
1.如图,点A(-2,0),B(0,4),C(5,3),在y轴的负半轴上是否存在点 P,使S△PAB=S△ABC 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(1,4).
(1)求直线AB 的解析式；
(2)已知点C(m,2-m)在直线AB 的下方,△ABC 的面积为10,求m 的值.
板块四面积(四)面积转化
一、面积比→底的比 二、面积比→高的比 三、等积转化 四、和差转化
典 例 精 讲
题型① 面积比→底的比
【例1】如图,点 A(-4,0),B(2,6),P(2m-1,m),PQ∥OB 交AB 于点 Q.若 2S△OPQ,求点 P 的坐标.
题型② 面积比→高的比
【例2】如图，直线.y=x+6与x 轴交于点A,与y轴交于点B,点C(2,0),P 为直线BC上一点.若 求点 P 的坐标.
实 战 演 练
题型③ 等积转化
1.如图,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C(5,3),直线 BD: y=-4x+b与x 轴交于点D，点P 在直线BD 上且位于第四象限.若S△PAB=S△ABC,求点 P 的坐标.
题型④ 和差转化
2.如图,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y 轴交于点B,点C(6,0),过点 C 的直线与线段AB 交于点 P,与 y 轴交于点D.若 求点 P 的坐标.
3.如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=kx-2k交x轴于点C，交y轴正半轴于点 D，交直线 AB 于点 E.
(1)求AC 的长;
(2)若 求点 E 的坐标；
(3)直线 交直线CD 于点 F，当 时，求k 的值.
板块一 面积(一)割补法
典例精讲
【例】解:在 y=2x+4中,令x=0,得y=4,令 y=0,得2x+4=0,解得x=-2,∴点 A(-2,0),B(0,4).设点 C(2,m).∵S△ABC = S△AOB +
m=7,解得m=1,∴点 C(2,1).设直线OC : y= kx,将点 C(2,1)代入，得
∴直线 OC 的解析式为
实战演练
1.解:连接OC.∵OA=OB=2,
5,点C(m,-2m),
解得m=1,
∴点C(1,-2).又∵B(0,2),
∴直线 BC的解析式为 y=-4x+2.
2.解:过点 B 作EF⊥y轴,过点 A,C分别作EF 的垂线，垂足为 E，F.
由
可得A(-4,0),B(0,-2),
解得m=3.
板块二 面积(二)铅垂法
典例精讲
【例】解:过点 C 作CD∥y 轴,交直线AB 于点 D.设点 C(m,m-1),
则点
由 可得点A(4,0),∴OA=4,
=3,
解得m=3或1,∴m-1=2或0,
∴点C 的坐标为(3,2)或(1,0).
实战演练
解:过点 P 作 PQ∥y轴,交直线 AB 于点 Q.设点 P(m,-m+2),则点 Q(m,2m+4).由 y=2x+4,可得点A(-2,0),点 B(0,4),∴OA=2.
∵PQ =|(2m+4)-(-m+2)|
=|3m+2|,
∴|3m+2|=5,解得m=1或
∴点 P 的坐标为(1,1)或
板块三 面积(三)牵引法
典例精讲
【例】解:①当点 P 在点 A 的左侧时,∵S△PAB =S△ABC,∴PC∥AB.设直线 PC 的解析式为 则 解得 此时P(-3,0);
②当点 P 在点A 的右侧时，由①，得
∴PA=7,此时P(11,0),
∴点 P 的坐标为(-3,0)或(11,0).
1.解：法一：由S△PAB =S△ABC,可得PC∥AB,易求 AB 的解析式为y=2x+4,设 PC 的解析式为 y=2x+b,将C(5,3)代入其中得b=-7,∴P(0,-7).
法二:可先求出S△ABC=11,
∴BP=11,∴OP=7,∴P(0,-7).
2.解:(1)设直线 AB 的解析式为y=kx+b.∵A(-2,0),B(1,4),
解得
(2)在x 轴上取点M(3,0),
∵A(-2,0),B(1,4),
∴△ABM 的面积为 10.过点 M 作直线l∥AB,设
∴4+n=0,
∵△ABC的面积为10,
∴C(m,2-m)在直线l上,
即
板块四面积(四)面积转化
典例精讲
【例1】解:取 OB 的中点 M(1,3),连接 PM.
∵PQ∥OB,S△OBQ=2S△OPQ,
∴OB=2PQ,∴BM=PQ.
又∵BM∥PQ,
∴四边形 PQBM 为平行四边形，
∴PM∥AB.由点 A(-4,0),B(2,
6),可得直线AB:y=x+4,
设直线PM:y=x+b,
将点 M(1,3)代入,得b=2,
∴直线 PM:y=x+2,
将点 P(2m-1,m)代入,
得2m-1+2=m,解得m=-1,
∴点 P(-3,-1).
【例2】解:∵y=x+6,
∴当x=0时,y=6,∴B(0,6).
又∵C(2,0),
∴可得直线 BC: y=-3x+6.
①当点 P 在x轴上方时，
可得
代入y=-3x+6,得
② 当点 P 在 x 轴下 方时,可得 此时点 P(4,-6).综上所述,点 P的坐标为( ,2)或(4,-6).
实战演练
1.解:过点 C 作CP∥AB,交直线 BD于点 P，则S△PAB =S△ABC·
∵CP∥AB,∴kcp=kAB=2,设直线CP:y=2x+m,
将点C(5,3)代入,解得m=-7,
∴CP:y=2x-7.由 y=2x+4,可得点B(0,4),代入y=-4x+b,得b=4,∴直线 BD:y = 4x+4.联立 可得点
2.解:由 y=-x+4,可得 A(4,0),B(0,4),∴OA=OB=4.
∵S△PBD—S△PAC=2,
∴(S△PBD +S四边形OAPD)一(S△PAC +S四边形OAPD)=2,即 S△AOB-S△COD=2,
∴OD=2,∴D(0,2).又∵C(6,0),
∴直线CL
联立 可得P(3,1).
3.解:(1)AC=5;
(2)∵S△DOC=S△BDE,
∴S△ACE=S△AOB=6,
解得
由 得
(3)联立 解得 ∴F(4,2k),S 解得
∴-2k>0,k<0,∴k=-

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