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第32讲 一次函数与路径最值
板块一 路径最值(一)路径
典例精讲
【例1】如图，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点 P为直线AB上一点，将线段 PC绕点C顺时针旋转 90°得到线段 CQ.当点 P从点A运动到点B时，点 Q的运动路径长为 .
【例2】直线y=-x+2与x轴交于点 B，与y轴交于点C，线段BC上-运动，到 B点停止，以OP为边在OP的右侧作等边△OPQ，则点Q运动的路径长为 cm.
实战演练
1.如图，A(4，0)，B(0，4)，P在AB上运动，PQ⊥PO且PQ=PO.
(1)试说明点 Q在某一确定的直线上；
(2)M是OQ的中点，当 P从A运动到B时，求点 M运动的路径长.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5，D为线段AC上一动点，将线段 BD绕点 D逆时针旋转 90°，点 B的对应点为E，当点 D从点 C运动至点 A时，点 E的运动路径长为 .
板块二 路径最值(二)最值
典例 精讲
题型① 垂线段最短
【例1】 如图,直线y=-x+4与x轴,y轴交于A,B 两点,M 为线段AB 的中点,C 为x轴负半轴上一动点,连接BC,以 BC 为边在右侧构造等腰直角△BCD,∠CBD=90°,连接DM,点 C 在运动的过程中，当DM 取最小值时，点D 的坐标为 .
题型② 将军饮马
【例2】 如图,A(-4,2),B(-1,1),在x轴上找一点P,使△PAB 的周长最小,求这个最小值及点 P 的坐标.
题型③ 造桥选址
【例3】 如图,在平面直角坐标系中,A,B 两点的坐标分别为A(0,1),B(0,2),线段CD(点D 在点C 右侧)在x 轴上移动,且CD=1,连接AC,BD.当AC+BD的值最小时，点C 的坐标为
题型④ 腾挪最值
【例4】 如图,正方形AOBC 的顶点B,A 分别在x轴,y轴上,点C(2,2),M,N 分别为对角线AB,边 BC上的动点,且.AM=BN,当OM+ON的值最小时，点N 的坐标为 .
题型⑤ 胡不归最值
【例5】如图，直线 分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,M 为线段AB 的中点,C 为OA 上一动点,连接CM,则 的最小值为 .
实 战 演 练
1.如图,A(-4,2),B(-1,1),在x轴上找一点P,使|PA-PB|的值最大,并求此时点 P 的坐标.
2.如图，直线 与x 轴,y轴分别交于点A 和点B,C,D 分别为线段AB,OB 的中点,P 为OA 上一动点,当 PC+PD 的值最小时,求点 P 的坐标.
3.如图,A(4,0),B(0,4),P(t,t)是第一象限一动点,连接PA,以AP 为斜边作等腰直角△APQ(A，Q，P呈顺时针方向)，在点 P 运动的过程中，求BQ 的最小值.
4.如图,A(0,2 )，B为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 逆时针旋转得线段 AC，则线段OC 的最小值是 .
一次函数与路径最值
板块一 路径最值(一)路径典例精讲
【例1】2 解:设 P(t,2t+4),过点P 作 PE⊥x 轴于点 E,过点 Q 作QF⊥x 轴于点 F,可证△PCE≌△CQF,∴QF=EC=1-t,CF =PE=2t+4,OF=2t+5,则Q(2t+5,1—t).将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转 90°得 CA′, 连 接 A′Q,则△ACP≌△A'CQ,∴A'Q=AP,∴点 P 从点 A 到点 B 的运动路径长与点 Q 的运动路径长相等，为
【例 解:如图,当点 P 在 P (0,2)的位置时,点 Q 在点 Q( ,1)的位置,当点 P 在点 P (0,2)的位置时,点 Q 在点 Q (1,- )l的位置，
∴点 Q 运动的路径长为
1.解:(1)lAB:y=-x+4,设 P(a,- a+4),则可得 Q(4,-2a+4),∴Q在直线x=4上;
(2)∵M为OQ中点,
Q(4,-2a+4),∴M(2,-a+2)
∴M在直线x=2上,
∵P 与A 重合时,M (2,-2),
P 与B 重合时,M (2,2),
∴点 M 运动的路径长为
2.5 解：以点 C 为原点，分别以 AC，CB 为x 轴，y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),B(0,3),A(-5,0).当点 D 与点 C 重合时,E (-3,0).当点 D 与点A 重合时,E (-8,5), 即点 E的运动路径长为5
板块二 路径最值(二)最值典例精讲
【例1】(4,2) 解:设点 C(m,0),过点D 作DE⊥y轴于点 E,证△BCO≌△DBE,∴CO=BE,BO=DE,
∵BO=4,∴点 D(4,-m),
即点 D 在直线x=4上运动.
当MD⊥直线x=4 时,DM 最小,此时点 D 的坐标为(4,2).
【例2】【分析】作点 B 关于x 轴的对称点B',则 PB=PB',PA+PB= ,由 A (-4,2),B'(-1,-1)求 AB'的解析式,再求点 P 的坐标.
解：作点 B 关于x 轴的对称点B'，连接 AB'交 x 轴于点 P,连接 PB,AB,则△PAB 的周长最小值为AB+AB', 由勾股定 理可求 AB =
∴周长最小值为
∵A(-4,2),B'(-1,-1),
∴AB':y=-x-2,∴P(-2,0).
【例 解：如图，平移CD使点 D 落在点 B 处，点C 的对应点为B',连接B'C,则B'C=BD,
∵CD=1,B(0,2),
∴点 B'(-1,2),作点 A 关于 x 轴的对称点A'，连接 A'B'交x轴于点E,则 当点 C 与点 E 重合时,AC+BD 的值最小,由 A'(0,-1),B'(-1,2),得直线.A'B':y=-3x-1,
∴点
【例4】( 解:将△AOM拼接至△BDN,即△BDN≌△AOM,连接 OD 交 BC 于点 E. 则 OM +ON=DN+ON≥OD,当点 N 与点E 重合时，OM+ON 取得最小值即OD 的长.
∵C(2,2),则BD=2,D(2+ ),直线OD:y=( -1)x,当x=2时,
∴N(2,2 -2).
【例5】3 解:A(6,0),B(0,2 ),∠BAO=30°,过点O 作直线l∥AB,过点 M 作 MH⊥l 于点 H,过点 C作CD⊥l于点 D,
∵∠COD=∠BAO=30°,
的最小值为MH，求得点 O 到直线 AB 的距离为3，故 的最小值为3.
1.解：连接AB 并延长AB 交x轴于点P,此时|PA-PB|的值最大(为 AB),易求 AB的解析式为 ∴P(2,0).
2.解:作点 D 关于x 轴的对称点 D'.连接CD'交x轴于点 P,此时 PC+
PD 值最小.易知点 D(0,1),∴点D'(0,-1).
∴直线
∴点
3.解:作 PH⊥OA 于点 H,连接 QH,过点 Q 作 QM⊥QH 交 PH 于点 M,证△PQM ≌△AQH, 得∠MHQ =45°,再证△PHQ≌△OHQ,
得 PQ=OQ=AQ,
∴点 Q 在OA 的垂直平分线上，
∴BQ 的最小值为2.
4. 解：以 AO 为边在第一象限内作等边△AOE,证△AOB≌△AEC,∴∠AOB =∠AEC = 90°.设直线EC 交 y 轴于点 F,则∠AFE=30°,点C 在定直线EF 上运动,OE=OF=2 ,当OC⊥EF 时,OC 最小,
∴OC 的最小值是

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