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第 31 讲 一次函数与解析法
板块一 解析法(一)定值
典 例 精 讲
题型① 线段和差定值
【例1】如图，点A(-4,0),B(2,0),P(m, m +m-4),直线 PA，PB 分别与y轴负半轴交于点M，N，试问：OM+2ON 的值是否随m 的变化而变化 若不变，求其值.
题型② 线段比定值
【例2】P为直线y=-x+4上一动点，过点 P 分别作x 轴的垂线和平行线，与直线 2交于点M，N.试说明 为定值.
实 战 演 练
题型③ 面积比定值
1.如图，直线 与 y 轴相交于点A，与x 轴相交于点B，且与直线 相交于点C(1，m).点P 在线段AC上运动(不与点 C 重合)，过点 P 作x轴的平行线，与直线l 相交于点 Q,连接OP,AQ.记 的面积为 的面积为， 2.试探究： 的值是否是定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
题型④ 线段长定值
2.如图，直线y=kx-3k(k>0)与x轴交于点A，点(C(-1,0).点 在第四象限内，直线 AM 交 y 轴的负半轴于点 P，过点 A 作直线. 交y 轴于点Q.试说明 PQ的长为定值，并求其值.
题型⑤线段积定值
3.已知直线:y=kx-2k+4(k<0)过定点 D,分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,点 C 在y轴上，直线 DC 交x 轴负半轴于点 P，若在 y 轴上存在点Q，使四边形 DAQP.为平行四边形，求OC·OB 的值.
板块二 解析法(二)定点
典 例 精 讲
题型① 解析式隐定点
【例1】(1)一次函数y=kx一定经过点 ；若一次函数的图象经过原点，那么该一次函数的解析式可设为 .
(2)一次函数y=kx+2一定经过点 ；若一次函数的图象经过点(0，-4)，那么该一次函数的解析式可设为 ；
(3)一次函数y=kx-2k+1一定经过点 ；若一次函数的图象经过点(-2，4)，该一次函数的解析式可设为 .
题型 ② 动直线过定点
【例2】如图,矩形OABC 的顶点C,A 分别在x 轴,y 轴上,点 B(6,2),E,F 分别为AB,OC边上的动点，且AE=CF，试说明直线EF 经过一个定点，并求其坐标.
实 战 演 练
1.无论k为何值,直线y= kx-k+4必过定点 .
2.一次函数y=kx+b，若2k+b+5=0，则这个一次函数的图象必过的点是 .
3.如图，过点 F(1，-1)作不平行于坐标轴的直线l，点 为直线l上两点，将点 M 向左平移(2m—2)个单位长度得到点 G.求证：直线NG 过一定点.
板块三 解析法(三)定线
典 例 精讲
题型① 坐标隐含定线
【例1】利用坐标判断点在定直线上.
(1)点 P(m,m+2)一定在直线 上;
(2)点 P(m+1,2m-3)一定在直线 上.
题型② 动点轨迹为定线
【例2】如图，直线AB: 交x 轴于点A,交y 轴于点B,C(1,0),P 为直线AB 上一点，将线段 PC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段 CQ.
(1)若点 P 的横坐标为m，试用含 m 的式子表示点Q 的坐标；
(2)当点 P 在直线AB 上运动时，点Q 总在直线l 上运动，求直线l 的解析式.
【例3】如图，矩形OABC 的顶点O与原点重合，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上,D(m,0)为边OC上一动点(不与点O重合),作点 D 关于y轴的对称点E,连接AD,BE 交于点F，已知OA=2,OC=4.在点 D 运动过程中，试说明点 F 总在一条定直线上.
实 战 演 练
1.若点A(2a+4,4a-1),则点 A 在定直线 上.
2.如图,B(0,3),A 为x 轴上一动点,将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得线段AC,连接OC.
(1)设A(a,0),用含a 的式子表示点C 坐标 ;
(2)点C 在某一确定的函数图象上运动，其解析式为 .
3.如图，直线 分别与 y 轴，x轴交于点A，B，点C 的坐标为((-3,0),点 D 为直线AB 上的一动点，连接CD.
(1)点 B 的坐标为 ,∠ABO 的度数为 ;
(2)以 CD 为边作菱形CDFG,且. ，当点 D 运动时，点G 在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.
4.如图，直线.y=x-3与x 轴交于点 B，与y 轴交于点 A，直线( 且点 直线AC，BD 交于点E，则点 E 在一条定直线上，求这条直线的解析式.
板块四 解析法(四)建系
知识储备
A(x →yλ),B(xB,yB),M为AB中点,
一、两点距离 二、中点坐标 三、系数k 四、平行与垂直
典 例 精 讲
题型 ① 直角三角形背景
【例1】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D,E分别为AC,BC上的一点,AD=BE=2,M,N 分别为AB,DE 的中点,直线MN 交BC 于点P,则CP 的长为 .
题型② 矩形背景
【例2】如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 上的一点,且 .若 AB=4,BC=8,BE=2,则DF 的长为
实 战 演 练
题型③ 正方形背景
如图,在边长为12的正方形ABCD 中,AE=4,F 为BE 的中点,G为CD 上一点,且∠EFG=45°,则 DG 的长为 .
一次函数与解析法
板块一 解析法(一)定值
典例精讲
【例1】解:不变,OM+2ON=12.设直线 PA: y= kx+b.
将A，P两点坐标代入，得
解得 直线PA:y=
同理可得直线
∴M(0,2m-4),N(0,-m-4).
∴OM+2ON=4-2m+2(m+4)=12.
【例2】解:设点 P(m,-m+4),则点 N(-2m+4,-m+4).
∴PN=|-2m+4-m|=|4-3m|,
实战演练
1.解:易知C(1,1),
直线l :y=-3x+4,A(0,4),
∴OA=4,设点 P(t,-3t+4),
其中0≤t≤1,∵PQ∥x轴,
∴Q(-3t+4,-3t+4),
∴当t≠1时
∴当0≤t<1时, 为定值.
2.解:PQ的长为定值12.
理由：由点C，M的坐标，
得直线CM:y=(m-3)(x+1),
同理,由点 A(3,0),
得直线AM:y=(m+1)(x-3),则点 P(0,-3m-3),
∵AQ∥CM,则直线AQ:y=(m-3)(x-3),∴点 Q(0,-3m+9),
∴PQ=-3m+9-(-3m-3)=12 为定值.
3.解:连接 DQ 交x 轴于点 E,过点 D作DF⊥x轴于点 F.对于y= kx-2k+4,当x=2时,y=4,
∴D(2,4),直线 l 与x 轴交于点 与 y 轴交于点 B(0,-2k+4).
∵四边形 DAQP 为平行四边形，
∴DE=EQ,PE=AE,
∵∠QOE=∠DFE=90°,∠OEQ=∠FED,
∴△DEF≌△QEO(AAS),
∴OQ=DF=4,EF=EO=1.
∴Q(0,-4),E(1,0).
∵k<0,点 P 在x 轴的负半轴上,
设点 P 的坐标为(n,0),
解得
∴点 P 的坐标为( ,0),根据 D(2,4),P( ,0)可求出直线 DP 的解析式为 直线DP 与y轴交于点
板块二 解析法(二)定点
典例精讲
【例1】【分析】过点(a，b)的直线解析式为y=k(x-a)+b,即y= kx-ka+b.
解:(1)(0,0),y= kx;(2)(0,2),y=kx-4;(3)(2,1),y= kx+2k+4.
【例2】解:设点 E(m,2),
则CF=AE=m,
∴OF=6-m,∴F(6-m,0).
由 E(m,2),F(6-m,0),可得直线
当x=3时,y=1,
∴直线 EF 经过定点(3,1).
实战演练
1.(1,4) 2.(2,-5)
3.解：设直线l的解析式为.y= px+q,将 F(1,-1)代入,得 p+q=-1,
∴q=-p-1,
∴直线l的解析式为 y= px-p-1,
∵点
为直线l上两点，
①-②,得(m-n)(m+n-2)=p(m-n),∵m≠n,
∴p=m+n-2,把p=m+n-2代入②,得n -2n+1=n(m+n-2)-(m+n-2)-1,整理得 mn=m+n,∵点 M 向左平移(2m-2)个单位长度得到点 G，
设直线NG解析式为y=k'x+b',
把
)代入，
得
解得
∴直线 NG 解析式为 y=(n-m)x+mn-2n+1,∵mn=m+n,
∴直线 NG 解析式为y=(n-m)x+m-n+1,当x=1时,y=1,
∴直线 NG 过定点(1,1).
板块三 解析法(三)定线
典例精讲
【例1】分析(1)当x=m时,
y=m+2=x+2;
(2)由x=m+1,得m=x-1,
代入y=2m-3,
得y=2(x-1)-3=2x-5.
【例2】解:(1)过点 P,Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E，F，
则△PCE≌△CQF,
∴PE=CF,QF=CE,∵点 P 在直线 上，且横坐标为m，∴P(m, m+2),∴CF=PE=
设
∴m=-2x-2,∴y=-2x-3,即直线 l 的解析式为y=-2x-3.
【例3】解:∵A(0,2),D(m,0),∴直线AD的解析式为
∵B(4,2),E(-m,0),
∴直线 BE 的解析式为 联立 解彳 点
∴点 F 总在定直线y=x上.
实战演练
1. y=2x-9
2.解:(1)过点 C 作CD⊥x 轴于点 D,证△BOA≌△ADC,∴OB = AD,OA=CD,∴C(a+3,a);
(2)设x=a+3,y=a,∴y=x-3,故点 C在直线y=x-3上运动.
3.解:(1)(3,0),60°;
(2)连接CF.∵∠CDF=60°,
∴△CDF 为等边三角形,连接AC,AF.
∵AB=AC=BC=6.
∴△ABC 为等边三角形,
∴△CAF≌△CBD(SAS).
∴∠CAF=∠CBD=∠ACB=60°.
∴AF∥x轴,设 过点 D 作 DN⊥x轴于点 N,
∴BN=3-m,BD=6-2m=AF,
由平移可知
∴点G 在直线. 上.
4.解:设直线 A(
BD:y=k x+b ,由 y=x-3可得
A(0,-3),B(3,0),将 A(0,-3),
代入 y=k x+
b ,得
解得
∴AC:y=(m-2)x-3,同理可得直线BD:y=(n+1)x-3(n+1),令(n+1)x-3(n+1)= (m-2)x-3,得(m-n-3)x=-3n.
又∵AB∥CD,kCD=kAB=1,由点C,D 的坐标可得kcD=m+n-2,∴m+n-2=1,
∴n=-m+3,代入(m-n-3)x=-3n,得2mx=3m,解得
即点E 的横坐标为定值
∴点 E 在定直线 上.
板块四解析法(四)建系
典例精讲
【例1】1解：以点 C 为原点，分别以直线CB,CA 为x 轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A(0.6),B(8,0),D(0,4),E(6,0),M(4,3),N(3,2),∴直线 MN:y=x-1,∴P(1,0).∴CP=1.
【例2】 解：以点 B 为原点，分别以直线 BC,BA 为x 轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A(0.4),B(0,0),C(8,0),D(8,4),E(2,0).过点 E 作 EM⊥AE 交AF 于点M,过点 M 作MN⊥x轴于点 N,则△ABE≌△ENM,可得点 M(6.2).
∴直线
【例3】1 解：以点 B 为原点，分别以直线 BC. BA 为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点 B(0，0),E(4.12),F(2,6),构三垂直全等可得点 M(10.10),
∴直线FM: 当x=12时,y=11,∴CG=11.∴DG=1.
实战演练
1.3 解：以点 B 为原点，分别以直线 BC,BA 为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A(0，4)，C(4,0),E(0,2),F(2,0),
D(4,4),G(2,1),H(3,2),
∴直线GH: y=x-1,令 y=0,得x-1=0,∴x=1,∴M(1,0),
∴CM=3.令x=4,得y=3,
∴CN=3,∴MN=3
2. 解：以点 B 为原点，分别以直线BC,BA 为x 轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A(0，4)，B(0,0),C(6,0),D(6,4),E(0,2),F(3,4),
∴直线
直线
直线
联立①②，得
联立①③，得N(2, ),
解：以点 B 为原点，分别以直线 BC,BA 为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则设点A(0,m),则点 B(0,0),E(5,0),N(m,8),F(m,m+5).
∴(m-8)(m+5)=m(m-5),解得m=20,∴AD=20,DN=12,

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