资源简介

第 30 讲 一次函数与数形结合
板块一 数形结合(一)动点图象
典 例 精 讲
题型① 由图形变化判定函数图象
【例1】如图,正方形 ABCD 的边长为4 cm,动点 P 从点 B 出发,在正方形的边上沿 B→C→D 的方向运动到点D 停止，设点 P 的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ABP 的面积y(cm )关于x(cm)的函数关系的图象是( )
题型② 由图象信息求线段长
【例2】如图1,在△ABC 中,AB>AC,点 D 从点 B 出发,以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，到点 C 即停止运动，设点 D 的运动时间为t，AD 的长为y，表示 y与t 的函数关系的图象如图2 所示，则线段 AB 的长为( )
A. B. C. D.
题型③ 由图象信息求参数值
【例3】如图1,在矩形ABCD 中,AB=8cm,E 是边AD 上一点,点 P 从点B 出发,沿折线BE—ED—DC 匀速运动,运动到点 C 停止,点 P 的运动速度为2cm /s,运动时间为t(s),△BPC 的面积为 y 与t 的关系图象如图2，则a，b的值分别为( )
A.6,10 B.6,11 C.7,11 D.7,12
题型④ 由图象信息求坐标
【例4】如图1,在菱形 ABCD 中,∠C=120°,M 是AB 的中点,N 是对角线BD 上一动点,设 DN 长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F 的坐标为(6 ，9)，则图象最低点 E 的坐标为( )
A.(2 ,3) B. C. D.
实 战 演 练
1.如图1,在矩形ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC—CD—DA 运动至点 A 停止.设点 P 运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则y 的最大值是( )
A.55 B.30 C.16 D.15
2.如图1,点 P 从△ABC 的顶点B 出发,沿B→C→A 匀速运动到点A,图2 是点 P 运动时,线段 BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是( )
A.72 B.78 C.84 D.90
3.如图1,在矩形 ABCD 中,ABA. B.2 C. D.4
板块二 数形结合(二)绝对值函数
典例 精 讲
题型 ① 分类讨论画绝对值函数
【例1】已知函数y=|x-1|.
(1)当x≥1时,y= ;
当x<1时,y= ;
(2)在图中画出函数y=|x-1|的图象.
题型② 绝对值函数与直线公共点
【例2】直线y=kx-1与函数y=|x-2|的图象有两个共点，则k的取值范围是
【例3】函数y=|x-1|(-1≤x≤2)与 的图象有两个交点，则m 的取值范围是
题型③ 绝对值函数增减性分析
【例4】如图，函数：y=| kx-b|(k≠0)的图象与x,y轴分别交于点 B 和A(0,3)两点,与函数 交于点C，D，若点 D 的纵坐标为1，则关于x 的不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
实 战 演 练
1.已知函数 和 当 时，x的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
2.直线y= kx-k+2与函数y=|x+2|的图象有且只有一个公共点，则k的取值范围是 .
3.将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象，若该图象在直线y=1下方的点的横坐标x 满足04.已知函数y=|x-2a|(a为常数),当1≤x≤3时,y有最小值为5,则a 的值为( )
A.3或-1 B.3 或4 C.-2或-1 D.-2或4
5.直线y=kx-1与函数y=|x-1|+|x-2|的图象有且只有两个公共点，则k的取值范围是
板块三 数形结合(三)分段函数与多函数公共点
典 例 精 讲
题型① 分段函数
【例1】函数 的图象如图所示，直线 与y 的图象有三个交点，求k 的取值范围.
题型② 多直线公共点
【例2】有8条不同的直线y= knx+ bn(n=1,2,3,4,5,6,7,8),其中 b ，则这8条直线的交点个数最多是( )
A.21个 B.22个 C.23个 D.24个
实 战 演 练
1.把a,b,c 三个数中最大那个数记为 max{a,b,c},若直线 与函数y= max{x, 的图象有且只有2个公共点，则k 的取值范围是
2.我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}.例如Z{1,3,2}=2.函数y=|2x+b|的图象为 C ,函数 y=Z{x+1,-x+1,3}|的图象为 C .图象C 在图象 C 的下方点的横坐标x 满足-3A.03或b<0 C.0≤b≤3 D.1板块四 数形结合(四)整点
典 例 精 讲
题型① 由整点数求k
【例】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线y=kx+4(k>0)与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有6个整点，则k 的取值范围是( )
A. B. C. D.
实 战 演 练
题型② 由 k 求整点数
1.若平面直角坐标系内的点 M 满足横，纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”.例如，P(1，0)，Q(2,-2)都是“整点”,四边形OABC(O为原点)为正方形且点 B 的坐标为(6,6),有4条直线 ,其中k ,k ,k ,k 互不相等,则这4条直线在正方形OABC 内(包括边上)经过的整点个数最多是( )
A.21个 B.22个 C.28个 D.25个
题型③ 规律型整点问题
2.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 其中 N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点为格点.已知A(0,30),B(20,10),O(0,0),则△ABO 内部的格点个数是( )
A.266 B.270 C.271 D.285
板块五 数形结合(五)图象分析与创新思维
典 例 精 讲
题型① 公共点判断参数值
【例1】某函数的图象如图所示，若点 在函数图象上，则m 的值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型② 特殊点分析参数值
【例2】函数 (a,b为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a,b 的值满足( )
A. a>0,b>0 B. a>0,b<0
C. a<0,b>0 D. a<0,b<0
实 战 演 练
1.根据所学知识，可推测函数 的图象可能是( )
2.某函数的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是( )
A. B.
C. D.
3.某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到 n个不同的点(x ，y )，(x ，y ),…,(xn, yn),使得 则n的取值不可能为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
一次函数与数形结合板块一 数形结合(一)
动点图象
典例精讲
【例1】B 解:当点 P 由点 B 运动到点C 时,即0≤x≤4时, 2x,当 P 点由 C 运动到 D 点时,即4≤x≤8时, 符合题意的函数关系的图象是 B.故选 B.
【例2】C 解:过点 A 作AH⊥BC 于点H,由图象可得当t=1与 t=7时，
∴此时 BD=1,∴DH=CH=3,
故选 C.
【例3】C 解:当 P 点运动到 E 点时,△BPC 面积最大，结合函数图象可知当 t=5 时,△BPC 面积最大为40,∴BE=5×2=10,
∴BC=10,则ED=10-6=4.
当点 P 从点 E 到点 D 时,
所用时间为4÷2=2s,
∴a=5+2=7.点 P 运动完整个过程需要时间 t = (10 + 4 + 8)÷2=11s,即b=11.故选 C.
【例4】C 解:连接 AC,连接 CM 交BD 于点 N',连接AN',∵图象右端点 F 的坐标为(6 ,9),M 是 AB的中点，
∴BM=3,AB=6,
∴当点 N 在点 N'时,MN+AN 取得最小值，最小值为MN'+CN'=CM,
∵四边形 ABCD 为菱形,∠BCD =120°,
∴△ABC 为等边三角形,AC=AB=6,
∴CM⊥AB,∠ACM=30°,CM=3 ,∵AB∥CD,
∴∠DCM=∠AMC=90°,
∵∠ABC=∠ADC=60°,
∴点 E 的坐标为 故选C.
实战演练
1. D 解:当x=5时,y开始不变,说明BC=5,x=11时,接着变化,说明CD=11-5=6.
故选 D.
2. C 解:点 P 从点 B 向点 C 运动时,BP 的最大值为15,即BC=15,由于M 是曲线部分的最低点，此时 BP最小,即BP'⊥AC,BP'=12,
由于点P 最终到达点A,则AB=13,
∴AC=14,
12=84.故选 C.
3. A 解:当点 P 到达点 B 时△AOP面积最大为3，
得AB·BC=12①;点 P 从 B→C,△AOP 面积逐渐减小至 0，此时点P 的运动路程为AB+BC=7②;由①②得AB=3,BC=4.当点 P 的运动路程为5时，点P 运动到BC 的中点，此时 选 A.
板块二 数形结合(二)
绝对值函数
典例精讲
【例1】解:(1)x-1,-x+1;
(2)如图所示.
【例
解:如图,当直线 y= kx-1过点(2,0)时. 当直线 y=kx-1与直线y=x-2平行时,k=1.观察图象可知，当两图象有两个公共点时
【例
解：如图，当 过点(1,0)
时 得
当 过点(2,1)时,
得m=0,
∴两图象有两个交点时，
【例4】C 解:将y=1代入 得x=2,∴D(2,1).∵A(0,3),
∴b=3,将 D(2,1)代入 y= kx-3中,得k=2,
∴y=|2x-3|,由 得
观察图象，得不等式 的解集为 故选 C.
实战演练
1. B 解:∵当x≥0时,直线y =x与 的交点为 当x<0时，直线 与 的交点为
由图象可知：当：y 2.k≤-1或k>1或
3.-3≤b≤-1
解：
由2x+b=1,得
由-2x-b=1,得
依题意，得
解题-3≤b≤-1.
4. D 解:当x≥2a时,y=x-2a,当1≤x≤3时,
y随x 的增大而增大，x=1时，y最小=1-2a=5,a=-2;当x<2a 时,y=-x+2a,当1≤x≤3时,y 随x 的增大而减小,x=3时,y最小=-3+2a=5,a=4,∴a=-2或4,选 D.
5.1板块三数形结合(三)分段函数与多函数公共点
典例精讲
【例1】解：如图，∵直线 2k+1恒过点 A(2,1),
∴当直线经过点 B(-1,-1),求出
【例2】C 解:先画出l ,l ,l 交于l点，后画l ，l ，l 分别与前3条直线各有1个交点，l 与前面6条直线各有1个交点，l 与前面7条直线各有1个交点.1+3×3+6+7=23,
∴最多共有23个交点.故选 C.
或 解：如图，当直线 经过点(2,2)时 当直线 与直线 y=x平行时,k=0,
时，有两个公共点；当直线 经过点(-1,1)时 当直线 与直线.y=-x平行时,k=2,
时，有两个公共点.综上所述 或
2. C解:如图,图象C ,C 如图所示.对于函数C ,当x=-3时,P(-3,3),当函数 C 经过 P(-3,3)时,b=3,对于函数 C ,当x=1 时,Q(1,2),当函数C 经过 Q(1,2)时,b=0，观察图象可知，当图象 C 在图象 C 的下方点的横坐标x 满足-3板块四数形结合(四)整点
典例精讲
【例】C 解:如图,直线y= kx+4(k>0)一定过点(0,4),把(-4,0)代入y= kx+4,得k=1,把(-4,1)代入y= kx+4,得 ∵直线 y=kx+4(k>0)与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有6个整点，∴k的取值范围是 故选 C.
1. B解：由画图可知，直线y=-x+6在正方形OABC 内(包括边上)经过的整点的个数有7个；
直线 y=x在正方形OABC 内(包括边上)经过的整点的个数有7个；
直线 y=3在正方形OABC 内(包括边上)经过的整点的个数有7个；
直线 在正方形 OABC内(包括边上)经过的整点的个数有4个,其中(3,3),(4,4)分别重复计算了2 次，1次，故经过的整点的个数最多是7×3+4-3=22(个),故选 B.
2. C 解:由 A(0,30)可知边 OA 上有31个格点(含点 O,A),∵直线 OB的解析式为
∴当x为小于或等于 20 的正偶数时 y 也为整数,即 OB 边上有 10 个格点(不含端点O，含端点 B)；
∵直线AB 的解析式为y=-x+30,∴当0∵△ABO 的面积为 20=300,
∴N=271.故选C.
板块五 数形结合(五)
图象分析与创新思维
典例精讲
【例1】C解：∵点 在直线 上，而直线 y= 与该函数图象有3个交点，∴m的值有3个,故选 C.
【例2】D 解:由图象可知,当x>0时,y<0,∴a<0;∵当x=-b时,函数值不存在，
∴-b>0,∴b<0.故选 D.
实战演练
1. A
2. A 解:由图象可知,当x=0时,y=0,当x>0时,y<0,x=-2时,函数值不存在.故选 A.
3. D 解:设 则
∴点(x ,y ),(x ,y ),…,(xn, yn)在正比例函数 y=kx 的图象上，由图象知，直线 y=kx与该函数图象最多只有5个公共点，
∴n 不可能为6,故选 D.

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