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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练13　对数函数
(分值:79分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·湖南衡阳期末)函数y=loga(2x-3)+2(a>0,且a≠1)的图象所过定点的坐标为 (　　)
A.(2,2) B.(0,2)
C.(1,2) D.(2,0)
2.在同一平面直角坐标系中,函数y=ex与y=ln x的图象(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于直线y=-x对称
3.(2025·广西南宁模拟)函数y=的定义域为(　　)
A.[0,1] B.(0,1]
C.(0,2] D.
4.(2025·湖南长沙一模)已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a-x与g(x)=logbx的图象可能是(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·天津九校联考)设a=log43,b=log86,c=log62,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.c6.(多选题)函数f(x)=loga(x+e)的图象可能不过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.已知log0.72x8.(2025·陕西榆林模拟)若函数f(x)=log3(x-a+2)的图象经过第一、二、三象限,则实数a的取值范围为　　　　　.
9.(13分)(2025·内蒙古赤峰期末)已知函数f(x)=loga(2-x)+loga(x+1).
(1)当a>1时,求f(x)的单调递减区间;
(2)当f(x)≤2在x∈上恒成立时,求a的取值范围.
综 合 提升练
10.(2025·湖北荆荆襄宜四地联考)已知函数f(x)=ln(-x2+2ax+3)在区间[2,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B.(1,+∞)
C.(-∞,2] D.(1,2]
11.(2025·浙江台金七校联盟模拟)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足mA.2 B. C.1 D.
12.(2025·浙江金华模拟)已知实数a>1,正方形PQRS满足PQ∥x轴,且P,Q,R分别在y=logax,y=2logax,y=5logax的图象上,若正方形PQRS的面积为36,则a=(　　)
A. B. C. D.
13.(2025·江西宜春一模)已知函数f(x)=log2(x2-2ax)在[2,4]上的最小值是1,则a=　　　　　.
创 新 应用练
14.(2025·江苏镇江模拟)已知A,B,C是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点,且点A在x轴上,BC∥x轴,BC=,则= (　　)
A. B. C. D.-
参考答案
1.A　解析 令2x-3=1,得x=2,此时y=2,故定点坐标为(2,2).故选A.
2.C　解析 因为函数y=ex与y=ln x互为反函数,所以两者的图象关于直线y=x对称.故选C.
3.B　解析 对于函数y=,有lox≥0=lo1,解得04.B　解析 由lg a+lg b=0,得=b,故f(x)=a-x=bx,所以函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的单调性相同,只有B选项符合条件.故选B.
5.D　解析 因为log43=lo33=log6427,log86=lo62=log6436,所以log6486.AD　解析 当0当a>1时,f(x)=loga(x+e)的图象可由y=logax的图象向左平移e个单位长度得到,所以f(x)=loga(x+e)的图象不过第四象限.故选AD.
7.(1,+∞)　解析 因为函数y=log0.7x在(0,+∞)内为减函数,所以由log0.72x1,即x的取值范围是(1,+∞).
8.(-∞,1)　解析 由对数函数的性质,得x-a+2>0,解得x>a-2,则函数y=f(x)的定义域为(a-2,+∞),又函数的图象经过第一、二、三象限,
所以f(0)>0,即log3(0-a+2)>0,化简得log3(2-a)>log31,
则2-a>1,即a<1.
9.解 (1)由函数f(x)=loga(2-x)+loga(x+1)有意义,得解得-1此时f(x)=loga[(2-x)(x+1)]=loga(-x2+x+2),令t=-x2+x+2,
函数t=-x2+x+2在内单调递增,在内单调递减,
而当a>1时,函数y=logat在(0,+∞)内单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间是
(2)由(1)得,当a>1时,函数f(x)在上单调递减,
所以f(x)max=f=loga
依题意,loga2 logalogaa2 a2,解得a;
当0依题意,loga2 logalogaa2 010.D　解析 根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知,二次函数g(x)=-x2+2ax+3在区间[2,3]上单调递减,所以有a≤2.
根据对数函数的定义域可知,应有g(x)=-x2+2ax+3>0在区间[2,3]上恒成立,则只需要g(3)>0,即-9+6a+3=6a-6>0,所以a>1.
综上,111.A　解析 根据题意作函数f(x)的大致图象,如图.
由f(m)=f(n),0由m+n=+n=,解得则区间[m2,n]即,
易知函数f(x)在上单调递减,在(1,2)上单调递增,
因为f=2,f(2)=|log22|=1,所以函数f(x)在上的最大值为2.
故选A.
12.A　解析 因为PQ∥x轴,点P,Q,R分别在y=logax,y=2logax,y=5logax的图象上,
所以logaxP=2logaxQ,化简得xP=
而xQ=xR,因为正方形的边长相等,所以PQ=QR,
即|xP-xQ|=|5logaxR-2logaxQ|,化简得|-xQ|=|5logaxQ-2logaxQ|=|loga|.
因为正方形的面积为36,所以边长为6,
所以|-xQ|=|loga|=6,解得xQ=3,所以|loga3|=2,又a>1,所以a=故选A.
13　解析 若a=0,则x∈[2,4],f(x)=2log2x在[2,4]上单调递增,最小值为f(2)=2log22=2,不符合题意;
若a<0,则f(x)的定义域为(-∞,2a)∪(0,+∞),
且由复合函数的单调性可知f(x)在(0,+∞)内单调递增,
则f(x)在[2,4]上的最小值为f(2)=log2(4-4a)=1,解得a=,不符合题意;
若a>0,则f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2a,+∞),
由题意可得[2,4] (2a,+∞),则a<1,
此时由复合函数的单调性可知f(x)在[2,4]上单调递增,
则f(x)在[2,4]上的最小值为f(2)=log2(4-4a)=1,解得a=,符合题意.
综上,a=
14.C　解析 函数f(x)的大致图象如图.
因为点A在x轴上,所以A(1,0).不妨设点C在点B的右边.
因为BC=,所以设B(x,|log2x|),则C(x+,|log2(x+)|).
由题意,得-log2x=log2(x+),所以=x+,
化简得4x2+15x-4=0,
解得x=-4(舍去)或x=
所以B(,2),C(4,2).所以=(-,2),=(3,2).
所以=-3+2×2=故选C.
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