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(共53张PPT)
6.3.1　二项式定理
新课程标准解读 核心素养
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察以下各式：
（a＋b）1＝a＋b，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
…
【问题】　（1）它们的系数之间有何规律？
（2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？
（3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？
知识点　二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝
（n∈N*）
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数
二项展开 式的通项
an＋
b1 bk＋…＋ bn　
（k＝0，1，2，…，n）　
bk　
提醒　二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的
次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减
到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响. （　×　）
（2） an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项. （　×　）
（3）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相
同. （　√　）
×
×
√
2. （2x－3）4的展开式中的第3项为（　　）
A. －216 B. －216x
C. 216 D. 216x2
解析： T3＝ （2x）2（－3）2＝216x2.
3. 在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）.
解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝ （－2）kxk，当k＝2
时，T3＝ （－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60.
60　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】　（1）求 的展开式；
解： 法一　 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3·
＋ （3 ）2 ＋ （3 ）· ＋ ＝81x2＋
108x＋54＋ ＋ .
法二　 ＝ ＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋
（3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋
81x4）＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2.
（2）化简： （x＋1）n－ （x＋1）n－1＋ （x＋1）n－2－…
＋（－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n .
解：原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋ （x＋1）n－2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋ （－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn.
通性通法
运用二项式定理解题的策略
（1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，
展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个
字母是升幂.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情
况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开；
（2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求
解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的
系数.
提醒　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a
－b）n的形式.
【跟踪训练】
1. 已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋ ＝1 024，则n
＝ .
解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11
＋…＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即
22n＝210，解得n＝5.
5　
2. 化简：（x＋ ）4－（x－ ）4.
解：原式＝ x4＋ x3· ＋ x2·（ ）2＋ x（ ）3＋ （ ）
4－［ x4－ x3· ＋ x2·（ ）2－ x·（ ）3＋ （ ）4］＝
2［ x3· ＋ x·（ ）3］＝8x2＋ .
题型二 求二项展开式中的特定项
【例2】　在二项式（x－ ）12的展开式中，求：（1）第4项；
解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1）
r .
（1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8.
解：令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220.
解：若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6，
9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4
＝924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝x－4.
（2）常数项；
（3）有理项.
通性通法
求二项展开式特定项的步骤
【跟踪训练】
1. 二项式（2x2－ ）6的展开式的中间项是 　－ x3　.
解析：二项式展开式的通项为Tk＋1＝ （2x2）6－k·（－ ）k＝
（－ ）k26－k x12－3k，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间
项，即k＝3，T4＝（－ ）326－3 x12－3×3＝－ x3.
－ x3　
2. 若（x－ ）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .
解析：（x－ ）6的展开式的通项是Tr＋1＝ x6－r·（－ ）rx－
2r＝ x6－3r（－ ）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr
＋1为常数项，即常数项是 a，根据已知得 a＝60，解得a＝4.
4　
题型三 二项式系数与项的系数问题
【例3】　已知（ － ）n的二项展开式中，第4项的二项式系数与
第3项的二项式系数的比为8∶3.
（1）求n的值；
解： ∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为
8∶3，
∴ ∶ ＝8∶3，∴ ＝ ，∴n＝10.
（2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数.
解： （ － ）n＝（ － ）10，其通项公式为Tk＋1
＝（－2）k x5－k，
令5－k＝3，可得k＝2，
∴展开式中x3项的系数为（－2）2× ＝180.
展开式中含x3项的二项式系数为 ＝45.
通性通法
1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数
及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数
均有关.
2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分
为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确
定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整
数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的
项或项的系数.
【跟踪训练】
1. 若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 　（1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）
k＝（－2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝
－160，则 ＝20，解得n＝6.
2. 已知（ － ）n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大
18，则n的值为 .
解析：因为（ － ）n的二项展开式为Tr＋1＝ （ ）n－r
（－ ）r，所以它的第二项的系数为T2＝ （－2），该二项式的
展开式中第二项的二项式系数为 ，由（ － ）n的展开式中
第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以 － （－2）＝
18 n＝6.
6　
1. 在（x－ ）10的展开式中，含x6的项的系数是（　　）
解析： 　含x6的项是T5＝ x6（－ ）4＝9 x6.
2. 在 的展开式中常数项是（　　）
A. －28 B. －7 C. 7 D. 28
解析： 　Tr＋1＝ · · ＝（－1）
r· · · ，当8－ r＝0，即r＝6，则T7＝（－1）
6· · ＝7.
3. 代数式（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1可化
简为 .
解析：（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1＝
（x＋1）4＋ （x＋1）3（－1）1＋ （x＋1）2（－1）2＋
（x＋1）·（－1）3＋ （－1）4＝[（x＋1）－1]4＝x4.
x4　
4. 在（x－ ）8的展开式中.
（1）求第3项；
解： （x－ ）8＝（x－2x－2）8，
所以第3项为T3＝ x8－2（－2x－2）2＝（－2）2 x6x－4＝
4 x2＝112x2.
解： Tr＋1＝ x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2r x8－3r，
令8－3r＝－1，解得r＝3，
所以T4＝（－1）323 x－1＝－ .
所以含 项的系数为－448.
（2）求含 项的系数.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （x＋ ）9的展开式中的第4项是（　　）
A. 56x3 B. 84x3
C. 56x4 D. 84x4
解析： 　由展开式的通项知T4＝ x6（ ）3＝84x3.
1
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2. （x－ y）10的展开式中x6y4的系数是（　　）
A. －840 B. 840
C. 210 D. －210
解析： 　在通项公式Tk＋1＝ （－ y）kx10－k中，令k＝4，
得x6y4的系数为 （－ ）4＝840.
3. 若实数a＝2－ ，则a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（　　）
A. 32 B. －32
C. 1 024 D. 512
解析： 　a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2
－ 时，（a－2）10＝32.
4. 若二项式（2x＋ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a＝
（　　）
A. 2
C. 1
解析： 　二项式（2x＋ ）7的展开式即（ ＋2x）7的展开
式，通项公式为Tr＋1＝ （ ）7－r（2x）r＝ 2ra7－rx－7＋2r，
令－7＋2r＝－3，解得r＝2，代入得 ×22a5＝84，解得a＝
1，故选C.
5. 使 （n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为
（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　Tr＋1＝ （3x）n－r ＝ 3n－r ，当Tr＋1是
常数项时，n－ r＝0，当r＝2，n＝5时成立.
6. （多选）对于（2x－ ）6的展开式，下列说法正确的是（　　）
A. 展开式共有6项
B. 展开式中的常数项是240
C. 展开式中x－3的系数为－160
D. 展开式中x－6的系数为60
解析： 　因为n＝6，故（2x－ ）6的展开式共有7项，故选
项A错误；（2x－ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ （2x）6－
k（－1）k·（x－2）k＝（－1）k 26－kx6－3k，当k＝2时，展开式
的常数项为（－1）2·24· ＝240，故选项B正确；令6－3k＝－
3，得k＝3，展开式中x－3的系数为（－1）3 23＝－160，故选项
C正确；令6－3k＝－6，得k＝4，展开式中x－6的系数为（－1）
4 22＝60，故选项D正确.
7. 在（x2－ ）9的展开式中，第6项的二项式系数为 ，第3项
的系数为 .
解析：由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项式系数为
＝126.由题意可知，T3＝ ·（x2）7·（－ ）2＝9x12，故第3
项的系数为9.
126　
9　
8. 在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 .
解析：（1－x）5中x3的系数为－ ＝－10，－（1－x）6中x3的
系数为－ ·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中
x3的系数为10.
10　
9. 设（x－ ）6（a＞0）的展开式中含x3项的系数为A，常数项为
B. 若B＝4A，则a＝ .
解析：（x－ ）6（a＞0）的展开式的通项Tk＋1＝ x6－k（－
）k＝（－a）k .令6－ ＝3，得k＝2，∴A＝a2 ＝
15a2；令6－ ＝0，得k＝4，∴B＝a4 ＝15a4.∵B＝4A，
∴15a4＝4×15a2，又a＞0，∴a＝2.
2　
10. 在二项式（ － ）n的展开式中，前3项系数的绝对值成等差
数列.
（1）求展开式的第4项；
（1）展开式的第4项为：T4＝（－ ）3 ＝－7 .
解：Tr＋1＝ （ ）n－r（－ ）r＝（－ ）r ，
由前三项系数的绝对值成等差数列，得 ＋（－ ）2 ＝
2× ，
解这个方程得n＝8或n＝1（舍去）.
（2）求展开式的常数项.
解：当 － r＝0，即r＝4时，常数项为（－ ）4 ＝ .
11. （a－ ）6的展开式中 （即分子a的指数和分母b的指数相
同）项的系数为（　　）
A. －15 B. 15
C. －20 D. 20
解析： 　通项公式Tr＋1＝ a6－r（－1）r ，由 可得 ＝6
－r，故r＝4，所以系数为（－1）4 ＝15.故选B.
12. （多选）对于二项式 （n∈N*），以下判断正确的有
（　　）
A. 存在n∈N*，展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中没有含x的项
D. 存在n∈N*，展开式中有含x的项
解析： 　设二项式 （n∈N*）展开式的通项为Tk＋
1，则Tk＋1＝ （x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，则当k
＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k
＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确.
13. （ x＋ ）100的展开式中，系数为有理数的共有 项.
解析：（ x＋ ）100的展开式的通项Tk＋1＝ x100－
k· · .若Tk＋1的系数为有理数，则 ， 均为整数，即k
为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，
12，…，96，共17个，即系数为有理数的共有17项.
17　
14. 已知在（ － ）10的展开式中满足a＞0，且常数项为 .
（1）求a的值；
解： 展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（ ）10－
k ，
令20－ k＝0，解得k＝8，
即k＝8时，常数项为T9＝（－1）8（ ）2 ＝ ，
解得a＝1.
（2）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项
也有无理项，求共有多少种不同的取法.
解： 令20－ k＝m，m∈Z，又0≤k≤10，k∈N，
解得k＝0，2，4，6，8，10，
即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项，
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有
理项也有无理项的取法共有 ＋ ＝135种.
15. 若对 x∈R，（ax＋b）5＝（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋
2）3－10（x＋2）2＋5（x＋2）－1恒成立，其中a，b∈R，则a
＋b＝（　　）
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
解析： 　由（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－10（x＋
2）2＋5（x＋2）－1＝（x＋2－1）5＝（x＋1）5，得（ax＋b）
5＝（x＋1）5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C.
16. 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列.
（1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ；
解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－
q）2，
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1
（1－q）3.
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加
以证明.
解： 归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1（1－q）n，n为正整数.
证明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn
＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1
（1－q）n.

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