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(共58张PPT)
6.3.2　
二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数
间的关系 逻辑推理
2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有
关的问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家
杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三
角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数.
【问题】　观察上图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的
数吗？
知识点　二项式系数的性质
1. 对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质
可直接由 得到.直线 将函数f（r）C
的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
＝
r＝ 　
2. 增减性与最大值
（1）当k＜ 时， 随k的增加而 ；由对称性知，二项
式系数的后半部分 随k的增加而 ；
（2）当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇
数时，中间的两项 　 　与 　 　相等，且同时取
得最大值.
增大　
减小　
　
　
　
3. 各二项式系数的和
（1） ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ；
（2） ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…＝ .
2n　
2n－1　
【想一想】
　二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项，对吗？
提示：不对.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）二项展开式中各项系数和等于二项式系数和. （　×　）
（2）二项展开式的二项式系数和为 ＋ ＋…＋ .
（　×　）
（3） ＋ ＋ ＋ ＝28－1. （　√　）
×
×
√
2. 在（x＋y）n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n＝（　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
3. （1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则
n＝（　　）
A. 7 B. 8
C. 10 D. 11
4. （2x－1）6展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数的
和为 .
解析：令x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64.
1　
64　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 各二项式系数的和
【例1】　已知（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相
等，则奇数项的二项式系数和为（　　）
A. 512 B. 210
C. 211 D. 212
解析： 　∵（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相
等，∴ ＝ ，解得n＝10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的
二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1＋2x）10的
展开式中奇数项的二项式系数和为 ×210＝29＝512.
通性通法
　　（a＋b）n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n－1.
【跟踪训练】
已知（x－my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－
160，求实数m的值.
解：由题意得，2n＝64，解得n＝6，
而（x－my）6的通项公式为Tk＋1＝ x6－k·（－my）k，0≤k≤6，
k∈N，
所以x3y3的系数为 （－m）3＝－160，
解得m＝2.
题型二 二项展开式的各项系数的和
【例2】　已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下
列各式的值.
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
（2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由（2x－1）5的通项Tr＋1＝ （－1）r×25－rx5－r知a1，a3，
a5为负值，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋
a4－a5＝35＝243.
（3）a1＋a3＋a5.
解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5，
两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121.
【母题探究】
　（变设问）在本例条件下，求下列各式的值：
（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解： 因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数，
所以a0＝ 25·（－1）0＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
（2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解： 因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋
a5，所以两边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2
＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
通性通法
二项展开式的各项系数的和的求法
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，
n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需
令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求
其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开
式中各项系数之和为f（1），
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
【跟踪训练】
　设（2－ x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的
值：
（1）a0；
解： 令x＝0，则a0＝2100.
（2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
解： 令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100，①
故a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100－2100.
（3）a1＋a3＋a5＋…＋a99；
解： 令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋
）100.　②
①②联立可得a1＋a3＋…＋a99＝ .
（4）（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99）2.
解： 原式＝[（a0＋a2＋…＋a100）＋（a1＋a3＋…＋
a99）][（a0＋a2＋…＋a100）－（a1＋a3＋…＋a99）]＝（a0＋
a1＋a2＋…＋a100）·（a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100）＝
[（2－ ）（2＋ ）]100＝1100＝1.
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】　已知（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于
37，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项的系数；
解： 由（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等
于37，即 ＋ ＋ ＝37，解得n＝8，即二项式为（ ＋
2x）8，
所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝ （ ）4×24x4＝
x4，
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
（2）展开式中系数最大的项.
解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大，
则
解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，
即T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8.
通性通法
1. 二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中
的n进行讨论：
（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要
根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，
b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式
中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用
解出k，即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
1. （多选）已知（x－ ）9，则该展开式中二项式系数最大的项可以
是（　　）
A. 第4项 B. 第5项
C. 第6项 D. 第7项
解析： 　由题意知，展开式中二项式系数最大为 和 ，故
二项式系数最大的项是第5项和第6项.
2. 已知（ ＋ ）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求
该展开式中系数最大的项.
解：由题意可知 ＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr＋1＝
2r .设第r＋1项的系数最大，
则即
解得 ≤r≤ .
∵r∈N，∴r＝7，
∴展开式中的系数最大的项为T8＝ 27 ＝15 360 .
1. 观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　）
1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　a　4　1
1　5　10　10　5　1
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
解析： 　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
2. 二项式（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n＝
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 　二项式（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和
等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.
3. 在（2－3x）15的展开式中，二项式系数的最大值为（　　）
解析： 　（2－3x）15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项
和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ＝ ，故选B.
4. 已知二项式（1－x）8，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
解： 因为（1－x）8的展开式中共有9项，所以中间一项
（第5项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大
的项为 （－x）4＝70x4.
（2）展开式中系数最小的项.
解： 二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由
题意知第4项和第6项系数相等且最小，T4＝ （－x）3＝－
56x3，T6＝ （－x）5＝－56x5，所以展开式中系数最小的
项是－56x3和－56x5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数
相同的项是（　　）
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
解析： 　第6项的二项式系数为 ，又 ＝ ，所以第16项
符合条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
2. 在（3x2－ ）n的展开式中，所有二项式系数和为64，则n＝
（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 　由题意可知：2n＝64 n＝6，故选A.
3. （x2－ ）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开
式的常数项是（　　）
A. －15 B. －20
C. 15 D. 20
解析： 　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以（x2
－ ）n的展开式的通项为Tk＋1＝ （x2）6－k（－ ）k＝（－1）
k x12－3k.令12－3k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项是（－
1）4 ＝15.故选C.
4. 在（x－ ）2 024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，
当x＝ 时，S＝（　　）
A. 23 035 B. －23 035
C. 23 030 D. －23 030
解析： 　因为S＝ ，当x＝ 时，S＝
－ ＝－23 035.
5. （多选）下列关于（x－1）11的说法正确的是（　　）
A. 展开式中的二项式系数之和为2 048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
解析： 　（x－1）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2
048，所以A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间
两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，
C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正
确.故选A、C.
6. （多选）对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x
－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是
（　　）
A. a2＝－144
B. a0＝1
C. a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D. a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
解析： 　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2
（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－
1）]9，所以a2＝－ ×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝
－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正
确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确.
7. 已知 展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项
的二项式系数为 .
解析：∵ 展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得
3n＝243，解得n＝5.∴ 展开式的通项Tr＋1＝ 25－rx15
－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7
的项的二项式系数为 ＝10.
10　
8. 在 的二项展开式中，常数项是8，则实数a＝ ，
第 项的二项式系数最大.
解析：在 的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式
通项可知Tk＋1＝ （2x）4－k ＝ ·24－k·（－a）
k· ，所以当k＝3时为常数项，代入可得 ·24－3·（－a）3＝
8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项
式系数可知第3项二项式系数最大.
－1　
3　
9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2
＋a4）（a1＋a3＋a5）＝ .
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0
－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝
32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，
a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
－256　
解：由（ x2＋ ）5得Tr＋1＝ （ ）5－r·（ ）r＝（ ）5
－r ，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝ · ＝16.
又（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝
16，n＝4.
所以（a2＋1）4展开式中系数最大项是中间项T3＝ a4＝54，
解得a＝± .
10. 已知（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于（ x2＋ ）5的展
开式的常数项，而（a2＋1）n的展开式的系数最大的项等于54，
求a的值.
11. 若（1－2x）2 024＝a0＋a1x＋…＋a2 024x2 024（x∈R），则 ＋
＋…＋ ＝（　　）
A. 2 B. 0
C. －2 D. －1
解析： 　（1－2x）2 024＝a0＋a1x＋…＋a2 024x2 024，令x＝0，
得a0＝1，令x＝ ，得a0＋ ＋ ＋…＋ ＝0，所以 ＋
＋…＋ ＝－1.
12. （多选）在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，若含x2的项的二项
式系数为21，则下列结论正确的是（　　）
A. n＝7
B. 展开式中的常数项是64
C. 展开式中二项式系数的最大值是35
D. 展开式中各项系数的和是2 187
解析： 　在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，含x2的项的二
项式系数为 ＝ ＝21，即n2－n－42＝0，
∵n∈N*，∴n＝7，A正确；展开式中常数项为T8＝27＝128，B
错误；展开式中二项式系数的最大值是 ＝ ＝35，C正确；令
x＝1可得展开式中各项系数的和是37＝2 187，D正确.故选A、
C、D.
13. 若x4（x＋3）8＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a12（x＋
2）12，则log2（a1＋a3＋…＋a11）＝ .
解析：令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，令x＝－
3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2（a1＋a3＋…＋
a11），∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2（a1＋a3＋…＋a11）＝
log227＝7.
7　
14. 已知（1＋m ）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为
256，展开式中含有x项的系数为112.
（1）求m，n的值；
解： 由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tk＋1＝ mk ，
∴含x项的系数为 m2＝112，
解得m＝2或m＝－2（舍去）.
故m，n的值分别为2，8.
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
解： 展开式中偶数项的二项式系数之和为 ＋ ＋
＋ ＝28－1＝128.
（3）求（1＋m ）n（1－x）的展开式中含x2项的系数.
解： ∵（1＋2 ）8（1－x）＝（1＋2 ）8－x（1
＋2 ）8，
∴含x2项的系数为 24－ 22＝1 008.
15. 已知（2x－1）n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数
的和小38，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .
解析：设（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系
数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0
＋a2＋a4＋a6＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2
－a3＋…＋an（－1）n＝（－3）n，即（a0＋a2＋a4＋a6＋…）
－（a1＋a3＋a5＋a7＋…）＝（－3）n，即B－A＝（－3）n.
∴（－3）n＝38＝（－3）8，∴n＝8.由二项式系数的性质，可
得 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n－ ＝28－1＝255.
255　
16. 已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项
式系数之和为16，所有项的系数之和为1.
（1）求n和a的值；
解： 由题意得， ＋ ＋ ＝16，
即1＋n＋ ＝16.
解得n＝5，或n＝－6（舍去），所以n＝5.
因为所有项的系数之和为1，令x＝1，
所以（a－1）5＝1，解得a＝2.
（2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存
在，请说明理由；
解： 不存在.理由如下：
因为（ax－ ）n＝（2x－ ）5，
所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－
k （k∈N*）.
令5－ ＝0，解得k＝ N，所以展开式中不存在常数项.
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
解： 由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二
项式系数最大，
二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝
80x2，T4＝（－1）3· 25－3 ＝－40 .

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