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(共61张PPT)
7.5　正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量 数学抽象
2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直
观，了解正态分布的特征 直观想象
3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用
正态分布去解决实际问题 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的
同学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的
使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对
较少.
【问题】　生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模
型来刻画呢？
知识点一　正态分布
1. 连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型
的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率
为 ，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
0　
2. 正态曲线
若f（x）＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，
我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简
称正态曲线（如图）.
3. 正态分布
（1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量
X服从正态分布，记为 .当μ＝ ，
σ＝ 时，称随机变量X服从标准正态分布；
（2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝ .
X～N（μ，σ2）　
0　
1　
σ2　
4. 正态曲线的性质
（1）曲线在 轴的上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，关于直线 对称；
（3）曲线在 处达到峰值 ；
（4）当｜x｜ 时，曲线 x轴.
x　
x＝μ　
x＝μ　
　
无限增大　
无限接近　
【想一想】
若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？
提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布
的定义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何
值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.
知识点二　3σ原则
1. 假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ－
kσ≤X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地，
P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，
P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
2. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量
X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
3. 在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，
而在此区间以外取值的概率大约只有 ，通常认为这种
情况几乎不可能发生.
0.002 7　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准
差. （　√　）
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变
化而变化的. （　×　）
（3）正态曲线可以关于y轴对称. （　√　）
√
×
√
2. 如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P
（2≤ξ≤4）的值约为（　　）
A. 0.5 B. 0.682 7
C. 0.954 5 D. 0.997 3
解析： ∵ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，
∴ξ～N（3，1），∴P（2≤ξ≤4）＝P（3－1≤ξ≤3＋1）＝P
（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7.
3. 若随机变量X～N（0，1），则P（X＜0）＝ .
解析：由标准正态曲线关于y轴对称可知P（X＜0）＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正态曲线及其特点
【例1】　（1）（多选）已知三个正态密度函数φi（x）＝
（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结
论正确的是（　AD　）
A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3
C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3
AD
解析： 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确.
（2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝
（x∈R），则μ＝ ，σ＝ .
解析： 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.
2　
3　
通性通法
由正态曲线确定均值与方差的方法
　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平
均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态
曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关
系，也可以确定正态曲线的形状与位置.
【跟踪训练】
1. （多选）下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数f
（x）＝ · 的正确的描述是（　　）
A. f（x）为偶函数
C. f（x）在（0，＋∞）上是单调递减
D. f（x）关于x＝1对称
解析： 　由正态分布密度函数f（x）＝ · ，可得f
（x）的图象关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，
D不正确；根据正态分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）
取得最大值f（0）＝ ·e0＝ ，所以B正确；根据正态分布曲
线的性质，可得f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋
∞）单调递减，所以C正确.
2. 已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值
μ＝ ，方差σ2＝ .
20　
2　
解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是 ，所以μ＝20， ＝ ，解得σ＝ ，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝（ ）2＝2.
题型二 利用正态分布的性质求概率
【例2】　设ξ～N（1，22），试求：
（1）P（－1≤ξ≤3）；
（1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2）
＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7.
解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2.
解： ∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1），
∴P（3≤ξ≤5）＝ [P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）]
＝ [P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）]
＝ [P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）]
≈ （0.954 5－0.682 7）＝0.135 9.
（2）P（3≤ξ≤5）.
【母题探究】
　（变设问）若本例条件不变，求P（ξ＞5）.
解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝ [1－P（－3≤ξ≤5）]
＝ [1－P（1－4≤ξ≤1＋4）]＝ [1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]≈
（1－0.954 5）＝0.022 75.
通性通法
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为
1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：
①P（X＜a）＝1－P（X≥a）；
②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）.
（2）“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋
2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，
0.997 3求解.
【跟踪训练】
1. 随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞
9）＝（　　）
A. 0.6 B. 0.5
C. 0.4 D. 0.3
解析： 　∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，
∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝
0.3，故选D.
2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，
则P（1＜X＜3）＝（　　）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析： 　P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝
0.5－0.2＝0.3.
题型三 正态分布的实际应用
【例3】　有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N
（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求：
（1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
解： ∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝
18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
（2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合
格的零件大约有多少个？
解： ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝
24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是
＝2.14%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107
（个）.
通性通法
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法
（1）根据题目中给出的条件确定μ与σ的值；
（2）将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，
μ＋3σ]这三个区间进行转化；
（3）利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间
的面积为1求出最后结果.
【跟踪训练】
　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），
现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上
的同学有多少人？
解：∵成绩服从正态分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]
内的同学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上
的同学占全班同学的2.275%.
即有50×2.275%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人.
1. 下列函数是正态密度函数的是（　　）
解析： 　正态密度函数为f（x）＝ ，其中指数部
分的σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有
两处错误，分别是σ 错写为 和指数为正；选项C中由系数
可得σ＝2，由指数可得σ＝ ，显然不符合题意；选项D中指数为
正，不符合题意.
2. 设随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1－a）＋P（X≤1＋
2a）＝1，则实数a＝（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析： 因为P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，所以
＝2，所以a＝2.
3. 某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N（100，
σ2），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110
分以上的人数为 .
解析：由题意知，P（ξ＞110）＝ ＝0.2，故估计
该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
10　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X－1）＝
（　　）
A. 6 B. 11 C. 12 D. 36
解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（10，22），所以D
（X）＝22＝4，所以D（3X－1）＝32D（X）＝9×4＝36.
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2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），P（X≤4）＝0.842，
则P（X≤2）＝（　　）
A. 0.842 B. 0.158
C. 0.421 D. 0.316
解析： 　P（X≥4）＝1－0.842＝0.158.因为μ＝3，所以P
（X≤2）＝P（X≥4）＝0.158.故选B.
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3. 如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概
率相等，那么这个正态总体的数学期望是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，
－1]内的概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关
于直线x＝ ＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1.
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4. 某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单
位：cm）服从正态分布N（170，σ2）.若身高在165 cm到175 cm的
人数占样本总数的 ，则样本中不高于165 cm的同学人数约为
（　　）
A. 80 B. 160
C. 240 D. 320
解析： 　P（X≤165）＝ ×（1－ ）＝ ，则样本中不高于
165 cm的同学人数约为1 600× ＝160.
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5. （多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1， ），N（μ2， ），其正态曲线如图所示，则（　　）
A. 乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C. 甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
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解析： 　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水
果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，
故选B、C.
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6. （多选）若随机变量X～N（μ，σ2），则（　　）
B. X的密度曲线关于x＝σ对称
C. 2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ）
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解析： 　若X～N（μ，σ2），则其密度函数f（x）＝
，因此X的密度曲线与y轴的交点为（0，
），故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B
错误；P（｜X－μ｜＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋
3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C正确；E（Y）＝ ＝0，D
（Y）＝ D（X）＝1，故D正确.故选A、C、D.
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7. 已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的
正态曲线f（x）在x＝ 时达到最高点.
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其
落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2.
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8. 某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P
（28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的
天数为 .
解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ
＝28，因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，
所以P（t＜24）＝0.5－0.2＝0.3，所以该城市6月份平均气温低
于24 ℃的天数为0.3×30＝9.
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9. 已知随机变量ξ～N（3，σ2），且 ＝ ，则P（3＜ξ＜5）
＝ .
解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又
＝ ，所以 ＝ .又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P
（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5
－0.2＝0.3.
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10. 设X～N（3，42），试求：
（1）P（－1≤X≤7）；
（1）P（－1≤X≤7）＝P（3－4≤X≤3＋4）＝P（μ－
σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7.
解：∵X～N（3，42），∴μ＝3，σ＝4.
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解： ∵P（X＞11）＝P（X＜－5）.
∴P（X＞11）＝ [1－P（－5≤X≤11）]
＝ [1－P（3－8≤X≤3＋8）]
＝ [1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]
≈ ×（1－0.954 5）＝0.022 75.
（2）P（X＞11）.
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11. 工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋
面粉的重量X（单位：千克）服从正态分布N（20， ），若P
（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）
≈0.997 3.
A. 120 B. 144
C. 150 D. 160
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解析： 由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ
－3σ，μ＋3σ] [19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝ ，所以
0.05≥3 ，解得n≥144，所以n的最小值为144.故选B.
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12. （多选）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），其正态曲
线在（－∞，80]上单调递增，在[80，＋∞）上单调递减，且P
（72≤X≤88）≈0.682 7，则（　　）
A. μ＝80
B. σ＝4
C. P（X＞64）＝0.977 25
D. P（64＜X＜72）＝0.135 9
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解析： 　因为正态曲线在（－∞，80]上单调递增，在[80，
＋∞）上单调递减，所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ
＝80；因为P（72≤X≤88）≈0.682 7，结合P（μ－σ≤X≤μ
＋σ）≈0.682 7，可知σ＝8；因为P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）
≈0.954 5，且P（X＜64）＝P（X＞96），所以P（X＜64）≈
×（1－0.954 5）＝ ×0.045 5＝0.022 75，所以P（X＞64）＝
0.977 25；因为P（X＜72）＝ [1－P（72≤X≤88）]≈ ×（1
－0.682 7）＝0.158 65，所以P（64＜X＜72）＝P（X＞64）
－P（X＞72）＝0.977 25－（1－0.158 65）＝0.135 9.
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13. 某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从
正态分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计
出，钢管内径高于20.05 mm的占钢管总数的 ，则这批钢管中，
内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为 .
4 800　
解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝ ，∴P
（19.95≤X≤20.05）＝1－ ＝ ，∴P（19.95≤X≤20）＝
＝ ，故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为
10 000× ＝4 800.
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14. 已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态曲线如图所示.
（1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；
（1）此地农民工年均收入的密度函
数解析式为f（x）＝
，x∈R.
解：设此地农民工年均收入X～N（μ，σ2），结合题图可
知，μ＝8 000，σ＝500.
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（2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的
百分比.
解： ∵P（7 500≤X≤8 500）＝P（8 000－500≤X≤
8 000＋500）≈0.682 7，
∴P（8 000≤X≤8 500）＝ P（7 500≤X≤8 500）≈0.341 35＝34.135%.
故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.135%.
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15. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量
的最后结果.已知最后结果的误差εn～N（0， ），为使误差
εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 5，至少要测量
次（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5）.
解析：因为P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5，又因为μ＝0，σ2＝
，所以P（－2σ＜X＜2σ）＝0.954 5，所以2σ≤0.5，即σ≤ ，
又因为σ＝ ，所以 ≤ ，解得n≥32.
32　
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16. 已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N
（200，182）.
（1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
解： X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.682 7.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈ ×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P
（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 7＝0.841 3.
故所求的概率为0.841 3.
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（2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这
批材料是否符合这个要求？
解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954 5.
又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞
236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞
236）＝1，
∴P（X＜164）≈ ×（1－0.954 5）≈0.022 8，
∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95.
故这批材料符合这个要求.
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