资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练55　最值与范围问题
(分值:62分)
1.(13分)(2025·四川绵阳期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=x+m与椭圆C有交点,求m的取值范围.
2.(15分)给定点A(-2,2),已知点B是椭圆=1上的动点,F是左焦点.
(1)当|AB|+|BF|取最小值时,求B点的坐标;
(2)求|AB|+|BF|的最大值和最小值.
3.(17分)如图,已知抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),其中O为坐标原点,抛物线的焦点坐标为F(1,0),A为抛物线上任意一点(原点除外),直线AB过焦点F交抛物线于B点,直线AC过点M(3,0)交抛物线于C点,连接CF并延长交抛物线于D点.
(1)若弦|AB|的长度为16,求△OAB的面积;
(2)求|AB|·|CD|的最小值.
4.(17分)(2023·全国甲,文21)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值.
参考答案
1.解 (1)由题意2c=2,则c=,又e=,则a=2,则b2=a2-c2=2,所以C的标准方程为=1.
(2)联立l:y=x+m与=1,有=1,整理得3x2+4mx+2m2-4=0,由题意,Δ=16m2-12(2m2-4)≥0,则8m2≤48,则-m
2.解 (1)由题意可知a=5,b=4,∴c=3,∴e=,且左准线为x=-
过点B作准线x=-的垂线,垂足为N,过点A作准线的垂线,垂足为M,由椭圆第二定义有|BN|=|BF|.从而|AB|+|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值).
当且仅当点B是AM与椭圆的交点时等号成立,此时点B(-,2).
∴当|AB|+|BF|取最小值时,点B的坐标为(-,2).
(2)设F1是椭圆的右焦点,则F1(3,0).
由椭圆第一定义有|BF|+|BF1|=2a=10,∴|AB|+|BF|=2a-|BF1|+|AB|.
∵-|AF1|≤|AB|-|BF1|≤|AF1|,且|AF1|=,
∴-|AB|-|BF1|,
∴|AB|+|BF|的最大值和最小值分别为10+和10-
3.解 (1)因为焦点F(1,0),所以2p=4,所以抛物线的方程为y2=4x.设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以|AB|=|y1-y2|==4(1+t2)=16,解得t2=3,则△OAB的面积为S=1×|y1-y2|==2=4.
(2)因为A在抛物线上,可以设A(a2,2a),根据(1)A,B两点的纵坐标之积为定值-4,所以B(),由(1)知|AB|=4(1+t2),其中当a≠1时,t=,可得|AB|=4[1+()2]=(a+)2,当a=1时,|AB|=2p=4,满足|AB|=(a+)2,所以|AB|=(a+)2.
设直线AC的方程为x=my+3,C(x3,y3),D(x4,y4),由得y2-4my-12=0,所以y1+y3=4m,y1y3=-12,又A(a2,2a),所以y3=-,代入y2=4x,得到x3=,所以C(),又CD过点F,设直线CD的方程为x=ny+1,由得y2-4ny-4=0,则y3+y4=4n,y3y4=-4,所以y4=,代入y2=4x,得x4=,则D(),
所以|CD|=|y3-y4|==4(1+n2),易知直线CD斜率存在,且n=,所以|CD|=()2.
所以|AB||CD|=(a+)2·()2=[(a+)·()]2=(3+)2,
所以有|AB||CD|=(3+)2≥(3++2)2=,
当且仅当,即a2=3时等号成立,所以|AB|·|CD|的最小值为
4.解 (1)联立整理得y2-4py+2p=0,
则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p>
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|=|y1-y2|==4,
解得p=-(舍)或p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
由得y2-4my-4n=0,
则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.
=(x3-1)(x4-1)+y3y4
=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2
=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,
∴4m2=n2-6n+1≥0,
又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,
∴n≠1,∴n≥3+2,或n≤3-2
∴S△MNF=|MF|·|NF|=(x3+1)(x4+1)=(my3+n+1)(my4+n+1)=[m2(-4n)+(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2,
∴当n=3-2时,S△MFN=12-8为最小值.
∴△MFN面积的最小值为12-8
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑