资源简介

浙江省初中名校共同体2025-2026学年九年级上学期期中数学试题
1．（2025九上·浙江期中）已知 则 的值是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025九上·浙江期中）若⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
3．（2025九上·浙江期中）二次函数 的图像先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的二次函数表达式为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025九上·浙江期中） 图①是一个花架， 图②是其侧面示意图. 若AB∥CD∥EF， AC=30cm， = ，则CE的长为(　　)
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
5．（2025九上·浙江期中） 如图， 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠BCD=130°， 则∠BOD的度数为(　　)
A．50° B．90° C．100° D．130°
6．（2025九上·浙江期中）已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．b>0，c>0 B．b>0，c<0 C．b<0，c>0 D．b<0，c<0
7．（2025九上·浙江期中）如图所示的网格是由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则 的外心是(　　)
A．点D B．点 E C．点F D．点G
8．（2025九上·浙江期中）已知关于x的二次函数y=a(x+1)(x-2)，则下列说法不正确的是(　　)
A．当x≤0时， y随x的增大而增大， 则a<0
B．当x≥2时， y随x的增大而增大， 则a>0
C．当a<0时， 点( 在函数图象上，则.
D．当a>0时， 点( 在函数图象上，则
9．（2025九上·浙江期中） 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=6.5， AC=6， 结合尺规作图痕迹提供的信息， 求出线段AQ的长为(　　)
A． B． C．4 D．
10．（2025九上·浙江期中）在 ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，动点P沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO2的长为y，y与x的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是(　　)
命题①： ABCD为菱形.
命题②：当点 P 运动到 DC中点时，PO的长为2.
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
11．（2025九上·浙江期中）已知正多边形的一个外角为45°，则它的边数为　 　.
12．（2025九上·浙江期中）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为　 　.
13．（2025九上·浙江期中） 若P是线段AB的黄金分割点(AP>BP) ， AP=2， 则AB的长为　 　.
14．（2025九上·浙江期中）二次函数 当0≤x≤3时， y的取值范围是　 　.
15．（2025九上·浙江期中）如图，以AB为直径的半圆，C为半圆上一点，延长BC至D，使得BC=CD，连结AD 交半圆于点E.若DE=1， AE=4， 则AC的长为　 　.
16．（2025九上·浙江期中） 如图， 在△ABC中， CA=CB=5， AB=6， D为AB边上一动点， 连结CD， 将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE.连结DE交BC于点F， 则CF的最小值为　 　.
17．（2025九上·浙江期中）已知抛物线
（1）写出该抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当y>0时，请直接写出x的取值范围.
18．（2025九上·浙江期中） 如图， 在⊙O中， AB是直径， CD是弦， AB⊥CD于点E， 连接AC， AD
（1） 证明： ∠ACD=∠ADC；
（2） 当CD=6， BE=1时， 求⊙O 的半径.
19．（2025九上·浙江期中）由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上.
（1） 如图1， C， D也在格点上， 连结CD交AB于点O， 则 　 　；
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得
20．（2025九上·浙江期中） 如图， 在 中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F.
（1） 求证：
（2） 若 求 的值.
21．（2025九上·浙江期中）掷实心球是中考体育考试项目之一.图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为1.8m.当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.4m处.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10m时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由.
22．（2025九上·浙江期中） 如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， D为AB上一点， 且. ，E为CD上一点，连接AE 并延长交BC于点 F.
（1） 求证： △ADC∽△EDA；
（2） 若CD⊥AB于点D， E为CD的中点， 求EF的长.
23．（2025九上·浙江期中）已知关于x的二次函数 (a为常数)
（1）若函数图象过点(0，2)对称轴为直线x=2，求b，c的值；
（2）若函数表达式可以改写成 求证：
（3）设m>0， n>0， 在(2)的条件下， 当h-n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为16， 求m+n的最大值.
24．（2025九上·浙江期中）如图1，C，D是以AB为直径的⊙O上的两动点，分别位于AB两侧，且满足 .连结CD交AB于E， 连结AC， BD， AD.
（1） 求证： AC=AE；
（2） 若BD=1， AD=2， 求AE 的长；
（3）如图2，若直径AB为定值，当△ABC 的面积最大时，求△CEB的面积与△BED 的面积比.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A .
【分析】先把要求的 化成，再进行计算即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，⊙O的半径为3，
点P到圆心O的距离为6，
所以，点P在⊙O外.
故答案为：C .
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数 的图像先向左平移2个单位得，
再向下平移1个单位得.
故答案为：A .
【分析】利用二次函数平移规律左加右减，上加下减进而求出即可.
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：AB∥CD∥EF，
，
= ，AC=30
，
故答案为：B .
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
，
∠BCD=130°
，
在⊙O中，，
即，
故答案为：C .
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图象可知二次函数的开口向上，得a>0，
对称轴在y轴的右侧，得，即b<0，
与y轴交于负半轴，得c<0.
故答案为：D .
【分析】由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于负半轴，然后问题可求解．
7．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图可知， 是锐角三角形，所以外心在三角形内部，
因为外心是三边中垂线交点，观察图像，只有F点在BC边的中垂线上，
所以，点F是外心.
故答案为：C .
【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：二次函数y=a(x+1)(x-2)，
抛物线对称轴是直线，
当x≤0， 在对称轴左侧y随x的增大而增大时，开口向下， 则a<0，故A对；
当x≥2时，在对称轴右侧 y随x的增大而增大，开口向上， 则a>0，故B对；
当a<0时，开口向下， 点( 在函数图象上，-1到对称轴距离近，则. ，故C对；
当a>0时， 开口向上， 点( 在函数图象上，-1到对称轴距离近，则 ，故D错.
故答案为：D .
【分析】先根据函数解析式确定抛物线对称轴为直线，再根据对称轴两侧的函数增减变化情况可判断A，B选项是对的；根据开口方向和两点横坐标到对称轴的远近可判断C对，D错，即可得到答案.
9．【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=6.5， AC=6，
由题意可得：BG平分，
，
如图，设BG，AC交于点M，作MNAB于点N，
CM=MN，
设CM=MN=x，
，
，
，
，
由作图痕迹可知：
故答案为：A .
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作MNAB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM=MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明，再根据相似三角形的性质求解即可．
10．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：由图像的对称性可得，动点P沿边AD和DC匀速运动时y的变化情况一致，
AD=DC，
在 ABCD中，
ABCD为菱形，故命题①对；
由图可知，当P运动到D点时，，
当时，
由①可知，
当点 P 运动到 DC中点时，，
根据条件无法计算AD长度，故命题②错误。
故答案为：A .
【分析】根据菱形的判定，即“有一组临边相等的平行四边形是菱形”，可以得出命题①正确；然后通过菱形的性质，计算得出当点 P 运动到 DC中点时，，根据条件无法计算AD长度，故命题②错误。
11．【答案】8
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
边数为：；
故答案为：8 .
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
12．【答案】6
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，
R=6.
故答案为：6 .
【分析】设扇形的半径为R，再根据扇形的面积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：P是线段AB的黄金分割点(AP>BP) ， AP=2，
解得：.
故答案为： .
【分析】由黄金分割点可知，求解即可．
14．【答案】- 1≤y≤3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数
函数开口向下，且对称轴直线x=1，
0≤x≤3
当x=1时有最大值y=3，当x=3时有最小值y=-1，
- 1≤y≤3
故答案为：- 1≤y≤3 .
【分析】首先根据顶点式求得最小值，然后求得最大值，从而可以确定y的取值范围．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：以AB为直径的半圆，C为半圆上一点，
，
BC=CD，
AD=AB
DE=1， AE=4，
AD=AB=DE+AE=5
如图，连接BE
在
，
在
，
，
在
故答案为： .
【分析】根据AB为半圆的直径，C为半圆上一点和BC=CD得到AD=AB，同理连接BE，可以得到代入数据根据勾股定理求解即可.
16．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作于G，
在
当点F与G重合，则CF取得最小值，
如下图，
将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，当时，
在
.
故答案为： .
【分析】过点C作于G，在确定当点F与G重合，CF取得最小值，再根据将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，证得最后利用列式计算即可.
17．【答案】（1）解：
，
所以抛物线的开口向上，
由顶点式得，顶点坐标为 (2，-1)
（2）解：抛物线与x轴的交点横坐标，就是当y=0时，x的值，
当y=0时，
解得x1=1， x2=3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(1， 0)， (3， 0)
（3）解：当x<1或x>3时， y>0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】(3)解：由（2）知抛物线与x轴的交点坐标为(1， 0)， (3， 0)，
因为，抛物线的开口向上，
所以，当y>0时，
x<1或x>3.
【分析】(1)把抛物线一般式化成顶点式即可得到开口方向和顶点坐标；
(2)抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是y=0时，x的值，纵坐标为0，依此计算即可；
(3)根据抛物线开口方向和与x轴的交点横坐标即可得到结果.
18．【答案】（1）证明：∵在⊙O中，
AB是直径， CD 是弦，且 AB⊥CD，
，
∴∠ACD=∠ADC
（2）解：如图， 连接OC， 设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD， CD=6
∵BE=1，
∴OE=OB-BE=r-1，
在 Rt△OEC中， 由勾股定理，
得
解得r=5，
∴⊙O 的半径为5
【知识点】垂径定理；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得，再根据圆周角定理的推论即可得到答案；
(2)连接OC，构造Rt△OEC，设出半径，根据垂径定理模型求解即可.
19．【答案】（1）
（2）解：如图所示M就是所求做的点.
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：(1)由图可得，AC=3，BD=4，
；
故答案为：（1）；
【分析】(1)根据图形可以得到AC=3，BD=4，由平行得到，再由相似三角形对应边成比例求解即可；
(2)找到A点左侧2个长度的D点，连接CD后与AB的交点M，使得 理由如下：连接AD，此时△ADM∽△BCM，所以有，假设C到AB的距离为h，所以
20．【答案】（1）证明：∵，
∴ ∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB
（2）解：∵，
∴AB∥CD，
∴△DEF∽△AEB，
设，
∵，
∴，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得∠A=∠C，AD∥BC，再根据平行可得∠CBE=∠E，两角相等可得到相似；
(2)由平行四边形的性质得△DEF∽△AEB，和，再根据相似得到，再等量代换求解即可.
21．【答案】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，3.4），过点（0，1.8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，将点（0，1.8）代入得：
1.8＝（0﹣4）2a+3.4，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：此次投掷不能得满分；理由如下：
当y＝0时，得：﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0，
解得 或 (不合题意，舍去)
∴该男生在此项考试中不能得满分
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为（4，3.4），过点（0，1.8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，利用待定系数法求解；
（2）求出抛物线与x轴正半轴交点即可判断．
22．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB， ∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠CAD+∠B=90°， ∠CAD+∠ACD=90°
∴∠B=∠ACD
∵AF=BF
∴∠B=∠BAC
∴∠ACD=∠BAC
∵∠ADC=∠EDA
∴△ADC∽△EDA
（2）解：∵△ADC∽△EDA
∵点 E为CD的中点，
∴DE=1
在Rt△ADE 中，
过点D作DG∥BC， 交AE 于点G，则G为AE 中点
，∠GDE＝∠FCE，
∵点E为CD的中点，∠DEG＝∠CEF，
∴△GED≌△FEC
∴EF=GE
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明∠ACD＝∠BAC，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）求出，过点D作DG∥BC，交AE于点G，则G为AE中点，则，∠GDE＝∠FCE，证明△GED≌△FEC（ASA），得出EF＝GE，则可得出答案．
23．【答案】（1）解：解：二次函数y＝x2﹣2bx+c﹣1（a为常数）的图象过点（0，2），将（0，2）代入得：
2＝c﹣1，
解得：c＝3，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴，
解得：b＝2
（2）证明：∵函数表达式可以改写成y＝（x﹣h）2﹣1，
且y＝x2﹣2bx+c﹣1＝（x﹣b）2﹣b2+c﹣1，
依题意得：﹣b2+c＝0，
解得：c＝b2，
（3）解：解：∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（h，﹣1），
∴当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最小值为﹣1，
∵函数的最大值与最小值差为16，
∴函数的最大值为15，
当y＝15时，得：15＝（x﹣h）2﹣1，
解得：x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∵h﹣n≤x≤h+m，
∴h﹣n≥h﹣4，h+m≤h+4，且两个等号至少有一个可取，
∴n≤4，m≤4，
∴m+n的最大值＝4+4＝8
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法和对称轴公式解答即可；
（2）利用配方法可得y＝x2﹣2bx+c﹣1＝（x﹣b）2﹣b2+c﹣1，即得﹣b2+c＝0，得到c＝b2，进而得到
，即可求证；
（3）由y＝（x﹣h）2﹣1得抛物线开口向上，顶点坐标为（h，﹣1），即得当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最小值为﹣1，即得到函数的最大值为15，再把y＝15代入y＝（x﹣h）2﹣1可得x1＝h﹣4，x2＝h+4，进而得到h﹣n≥h﹣4，h+m≤h+4，且两个等号至少有一个可取，即得到n≤4，m≤4，最后把m、n的最大值代入计算即可求解．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴∠CAB＝2∠BAD，
设∠BAD＝α，则∠CAB＝2∠BAD＝2α，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝90﹣α，
∴∠ACD＝∠CAE，
∴AC＝AE
（2）解：如图1，BD＝1，AD＝2，连接BC，过点D作DG垂直于AB，垂足为G，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：，
∵∠B＝∠CEA，
∴∠B＝∠DEB，
∴△BED为等腰三角形，
∵DG垂直于AB，
∵∠DGB＝∠ADB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ADB∽△DGB，
，
，
（3）解：解：∵CO≥hAB，
∴要使得△ABC的面积最大，就是当CO＝hAB，
此时，△ACB为等腰直角三角形，且CO⊥AB，
连接DO，过点D作DF⊥AB，如图2，
∴∠COB＝2∠BOD，
∵∠COB＝90°，则∠BOD＝45°，
∴△OFD为等腰直角三角形，
∵OD＝OC，
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据弧对应2倍可得角对应2倍，再由直径所对圆周角为直角即可证明；
（2）先由勾股定理求解AB，再判定△BED为等腰三角形，且△ADB∽△DGB，根据边的关系求解即可；
（3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明△OFD为等腰直角三角形，再得到，由此可求解．
1 / 1浙江省初中名校共同体2025-2026学年九年级上学期期中数学试题
1．（2025九上·浙江期中）已知 则 的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A .
【分析】先把要求的 化成，再进行计算即可得出答案．
2．（2025九上·浙江期中）若⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，⊙O的半径为3，
点P到圆心O的距离为6，
所以，点P在⊙O外.
故答案为：C .
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
3．（2025九上·浙江期中）二次函数 的图像先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的二次函数表达式为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数 的图像先向左平移2个单位得，
再向下平移1个单位得.
故答案为：A .
【分析】利用二次函数平移规律左加右减，上加下减进而求出即可.
4．（2025九上·浙江期中） 图①是一个花架， 图②是其侧面示意图. 若AB∥CD∥EF， AC=30cm， = ，则CE的长为(　　)
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：AB∥CD∥EF，
，
= ，AC=30
，
故答案为：B .
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可
5．（2025九上·浙江期中） 如图， 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠BCD=130°， 则∠BOD的度数为(　　)
A．50° B．90° C．100° D．130°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
，
∠BCD=130°
，
在⊙O中，，
即，
故答案为：C .
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
6．（2025九上·浙江期中）已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．b>0，c>0 B．b>0，c<0 C．b<0，c>0 D．b<0，c<0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图象可知二次函数的开口向上，得a>0，
对称轴在y轴的右侧，得，即b<0，
与y轴交于负半轴，得c<0.
故答案为：D .
【分析】由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于负半轴，然后问题可求解．
7．（2025九上·浙江期中）如图所示的网格是由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则 的外心是(　　)
A．点D B．点 E C．点F D．点G
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图可知， 是锐角三角形，所以外心在三角形内部，
因为外心是三边中垂线交点，观察图像，只有F点在BC边的中垂线上，
所以，点F是外心.
故答案为：C .
【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可
8．（2025九上·浙江期中）已知关于x的二次函数y=a(x+1)(x-2)，则下列说法不正确的是(　　)
A．当x≤0时， y随x的增大而增大， 则a<0
B．当x≥2时， y随x的增大而增大， 则a>0
C．当a<0时， 点( 在函数图象上，则.
D．当a>0时， 点( 在函数图象上，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：二次函数y=a(x+1)(x-2)，
抛物线对称轴是直线，
当x≤0， 在对称轴左侧y随x的增大而增大时，开口向下， 则a<0，故A对；
当x≥2时，在对称轴右侧 y随x的增大而增大，开口向上， 则a>0，故B对；
当a<0时，开口向下， 点( 在函数图象上，-1到对称轴距离近，则. ，故C对；
当a>0时， 开口向上， 点( 在函数图象上，-1到对称轴距离近，则 ，故D错.
故答案为：D .
【分析】先根据函数解析式确定抛物线对称轴为直线，再根据对称轴两侧的函数增减变化情况可判断A，B选项是对的；根据开口方向和两点横坐标到对称轴的远近可判断C对，D错，即可得到答案.
9．（2025九上·浙江期中） 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=6.5， AC=6， 结合尺规作图痕迹提供的信息， 求出线段AQ的长为(　　)
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=6.5， AC=6，
由题意可得：BG平分，
，
如图，设BG，AC交于点M，作MNAB于点N，
CM=MN，
设CM=MN=x，
，
，
，
，
由作图痕迹可知：
故答案为：A .
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作MNAB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM=MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明，再根据相似三角形的性质求解即可．
10．（2025九上·浙江期中）在 ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，动点P沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO2的长为y，y与x的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是(　　)
命题①： ABCD为菱形.
命题②：当点 P 运动到 DC中点时，PO的长为2.
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：由图像的对称性可得，动点P沿边AD和DC匀速运动时y的变化情况一致，
AD=DC，
在 ABCD中，
ABCD为菱形，故命题①对；
由图可知，当P运动到D点时，，
当时，
由①可知，
当点 P 运动到 DC中点时，，
根据条件无法计算AD长度，故命题②错误。
故答案为：A .
【分析】根据菱形的判定，即“有一组临边相等的平行四边形是菱形”，可以得出命题①正确；然后通过菱形的性质，计算得出当点 P 运动到 DC中点时，，根据条件无法计算AD长度，故命题②错误。
11．（2025九上·浙江期中）已知正多边形的一个外角为45°，则它的边数为　 　.
【答案】8
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
边数为：；
故答案为：8 .
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
12．（2025九上·浙江期中）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为　 　.
【答案】6
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，
R=6.
故答案为：6 .
【分析】设扇形的半径为R，再根据扇形的面积公式求解即可.
13．（2025九上·浙江期中） 若P是线段AB的黄金分割点(AP>BP) ， AP=2， 则AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：P是线段AB的黄金分割点(AP>BP) ， AP=2，
解得：.
故答案为： .
【分析】由黄金分割点可知，求解即可．
14．（2025九上·浙江期中）二次函数 当0≤x≤3时， y的取值范围是　 　.
【答案】- 1≤y≤3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数
函数开口向下，且对称轴直线x=1，
0≤x≤3
当x=1时有最大值y=3，当x=3时有最小值y=-1，
- 1≤y≤3
故答案为：- 1≤y≤3 .
【分析】首先根据顶点式求得最小值，然后求得最大值，从而可以确定y的取值范围．
15．（2025九上·浙江期中）如图，以AB为直径的半圆，C为半圆上一点，延长BC至D，使得BC=CD，连结AD 交半圆于点E.若DE=1， AE=4， 则AC的长为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：以AB为直径的半圆，C为半圆上一点，
，
BC=CD，
AD=AB
DE=1， AE=4，
AD=AB=DE+AE=5
如图，连接BE
在
，
在
，
，
在
故答案为： .
【分析】根据AB为半圆的直径，C为半圆上一点和BC=CD得到AD=AB，同理连接BE，可以得到代入数据根据勾股定理求解即可.
16．（2025九上·浙江期中） 如图， 在△ABC中， CA=CB=5， AB=6， D为AB边上一动点， 连结CD， 将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE.连结DE交BC于点F， 则CF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作于G，
在
当点F与G重合，则CF取得最小值，
如下图，
将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，当时，
在
.
故答案为： .
【分析】过点C作于G，在确定当点F与G重合，CF取得最小值，再根据将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，证得最后利用列式计算即可.
17．（2025九上·浙江期中）已知抛物线
（1）写出该抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当y>0时，请直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：
，
所以抛物线的开口向上，
由顶点式得，顶点坐标为 (2，-1)
（2）解：抛物线与x轴的交点横坐标，就是当y=0时，x的值，
当y=0时，
解得x1=1， x2=3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(1， 0)， (3， 0)
（3）解：当x<1或x>3时， y>0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】(3)解：由（2）知抛物线与x轴的交点坐标为(1， 0)， (3， 0)，
因为，抛物线的开口向上，
所以，当y>0时，
x<1或x>3.
【分析】(1)把抛物线一般式化成顶点式即可得到开口方向和顶点坐标；
(2)抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是y=0时，x的值，纵坐标为0，依此计算即可；
(3)根据抛物线开口方向和与x轴的交点横坐标即可得到结果.
18．（2025九上·浙江期中） 如图， 在⊙O中， AB是直径， CD是弦， AB⊥CD于点E， 连接AC， AD
（1） 证明： ∠ACD=∠ADC；
（2） 当CD=6， BE=1时， 求⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：∵在⊙O中，
AB是直径， CD 是弦，且 AB⊥CD，
，
∴∠ACD=∠ADC
（2）解：如图， 连接OC， 设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD， CD=6
∵BE=1，
∴OE=OB-BE=r-1，
在 Rt△OEC中， 由勾股定理，
得
解得r=5，
∴⊙O 的半径为5
【知识点】垂径定理；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得，再根据圆周角定理的推论即可得到答案；
(2)连接OC，构造Rt△OEC，设出半径，根据垂径定理模型求解即可.
19．（2025九上·浙江期中）由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上.
（1） 如图1， C， D也在格点上， 连结CD交AB于点O， 则 　 　；
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得
【答案】（1）
（2）解：如图所示M就是所求做的点.
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：(1)由图可得，AC=3，BD=4，
；
故答案为：（1）；
【分析】(1)根据图形可以得到AC=3，BD=4，由平行得到，再由相似三角形对应边成比例求解即可；
(2)找到A点左侧2个长度的D点，连接CD后与AB的交点M，使得 理由如下：连接AD，此时△ADM∽△BCM，所以有，假设C到AB的距离为h，所以
20．（2025九上·浙江期中） 如图， 在 中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F.
（1） 求证：
（2） 若 求 的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴ ∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB
（2）解：∵，
∴AB∥CD，
∴△DEF∽△AEB，
设，
∵，
∴，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得∠A=∠C，AD∥BC，再根据平行可得∠CBE=∠E，两角相等可得到相似；
(2)由平行四边形的性质得△DEF∽△AEB，和，再根据相似得到，再等量代换求解即可.
21．（2025九上·浙江期中）掷实心球是中考体育考试项目之一.图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为1.8m.当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.4m处.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10m时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，3.4），过点（0，1.8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，将点（0，1.8）代入得：
1.8＝（0﹣4）2a+3.4，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：此次投掷不能得满分；理由如下：
当y＝0时，得：﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0，
解得 或 (不合题意，舍去)
∴该男生在此项考试中不能得满分
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为（4，3.4），过点（0，1.8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，利用待定系数法求解；
（2）求出抛物线与x轴正半轴交点即可判断．
22．（2025九上·浙江期中） 如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， D为AB上一点， 且. ，E为CD上一点，连接AE 并延长交BC于点 F.
（1） 求证： △ADC∽△EDA；
（2） 若CD⊥AB于点D， E为CD的中点， 求EF的长.
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB， ∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠CAD+∠B=90°， ∠CAD+∠ACD=90°
∴∠B=∠ACD
∵AF=BF
∴∠B=∠BAC
∴∠ACD=∠BAC
∵∠ADC=∠EDA
∴△ADC∽△EDA
（2）解：∵△ADC∽△EDA
∵点 E为CD的中点，
∴DE=1
在Rt△ADE 中，
过点D作DG∥BC， 交AE 于点G，则G为AE 中点
，∠GDE＝∠FCE，
∵点E为CD的中点，∠DEG＝∠CEF，
∴△GED≌△FEC
∴EF=GE
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明∠ACD＝∠BAC，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）求出，过点D作DG∥BC，交AE于点G，则G为AE中点，则，∠GDE＝∠FCE，证明△GED≌△FEC（ASA），得出EF＝GE，则可得出答案．
23．（2025九上·浙江期中）已知关于x的二次函数 (a为常数)
（1）若函数图象过点(0，2)对称轴为直线x=2，求b，c的值；
（2）若函数表达式可以改写成 求证：
（3）设m>0， n>0， 在(2)的条件下， 当h-n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为16， 求m+n的最大值.
【答案】（1）解：解：二次函数y＝x2﹣2bx+c﹣1（a为常数）的图象过点（0，2），将（0，2）代入得：
2＝c﹣1，
解得：c＝3，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴，
解得：b＝2
（2）证明：∵函数表达式可以改写成y＝（x﹣h）2﹣1，
且y＝x2﹣2bx+c﹣1＝（x﹣b）2﹣b2+c﹣1，
依题意得：﹣b2+c＝0，
解得：c＝b2，
（3）解：解：∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（h，﹣1），
∴当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最小值为﹣1，
∵函数的最大值与最小值差为16，
∴函数的最大值为15，
当y＝15时，得：15＝（x﹣h）2﹣1，
解得：x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∵h﹣n≤x≤h+m，
∴h﹣n≥h﹣4，h+m≤h+4，且两个等号至少有一个可取，
∴n≤4，m≤4，
∴m+n的最大值＝4+4＝8
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法和对称轴公式解答即可；
（2）利用配方法可得y＝x2﹣2bx+c﹣1＝（x﹣b）2﹣b2+c﹣1，即得﹣b2+c＝0，得到c＝b2，进而得到
，即可求证；
（3）由y＝（x﹣h）2﹣1得抛物线开口向上，顶点坐标为（h，﹣1），即得当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最小值为﹣1，即得到函数的最大值为15，再把y＝15代入y＝（x﹣h）2﹣1可得x1＝h﹣4，x2＝h+4，进而得到h﹣n≥h﹣4，h+m≤h+4，且两个等号至少有一个可取，即得到n≤4，m≤4，最后把m、n的最大值代入计算即可求解．
24．（2025九上·浙江期中）如图1，C，D是以AB为直径的⊙O上的两动点，分别位于AB两侧，且满足 .连结CD交AB于E， 连结AC， BD， AD.
（1） 求证： AC=AE；
（2） 若BD=1， AD=2， 求AE 的长；
（3）如图2，若直径AB为定值，当△ABC 的面积最大时，求△CEB的面积与△BED 的面积比.
【答案】（1）证明：∵，
∴∠CAB＝2∠BAD，
设∠BAD＝α，则∠CAB＝2∠BAD＝2α，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝90﹣α，
∴∠ACD＝∠CAE，
∴AC＝AE
（2）解：如图1，BD＝1，AD＝2，连接BC，过点D作DG垂直于AB，垂足为G，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：，
∵∠B＝∠CEA，
∴∠B＝∠DEB，
∴△BED为等腰三角形，
∵DG垂直于AB，
∵∠DGB＝∠ADB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ADB∽△DGB，
，
，
（3）解：解：∵CO≥hAB，
∴要使得△ABC的面积最大，就是当CO＝hAB，
此时，△ACB为等腰直角三角形，且CO⊥AB，
连接DO，过点D作DF⊥AB，如图2，
∴∠COB＝2∠BOD，
∵∠COB＝90°，则∠BOD＝45°，
∴△OFD为等腰直角三角形，
∵OD＝OC，
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据弧对应2倍可得角对应2倍，再由直径所对圆周角为直角即可证明；
（2）先由勾股定理求解AB，再判定△BED为等腰三角形，且△ADB∽△DGB，根据边的关系求解即可；
（3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明△OFD为等腰直角三角形，再得到，由此可求解．
1 / 1

展开更多......

收起↑