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浙江省绍兴市新昌县城关中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2025八上·新昌期中）如图，在3×3的正方形网格中，4个涂黑的小正方形能组成轴对称图形的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的性质依次进行辨析即可.
2．（2025八上·新昌期中）若a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>-b B．2a<2b C．a-b<0 D．a+2>b+2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即：﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
B、a＞b，则：2a＞2b，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
C、a＞b，则：a﹣b＞0，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
D、a＞b，则：a+2＞b+2，原不等式成立，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可
3．（2025八上·新昌期中）如图，点D，E 分别在线段AB，AC 上，BE 与CD 相交于点 N.若△ABE≌△ACD，且∠A=55°，∠C=25°，则∠AEB 的度数为 (　　)
A．80° B．90° C．100° D．105°
【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵∠A＝55°，∠C＝25°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ADC＝100°，
故选：C．
【分析】先利用三角形的内角和定理可得∠ADC＝100°，然后利用全等三角形的性质即可解答
4．（2025八上·新昌期中）如图，数轴所表示的不等式为(　　)
A．x≤2 B．-1-1
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，该数轴表示的不等式的解集为-1故选：B．
【分析】根据，“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，解答即可．
5．（2025八上·新昌期中）下列选项中，能说明命题“如果a<1，那么 为假命题的反例是(　　)
A．a=-2 B．a=0 C． D．a=2
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、﹣2＜1，但（﹣2）2＞1，故A符合题意；
B、0＜1，02＜1，故D不符合题意．
C、﹣＜1，＜1，故C不符合题意；
D、2＞1，故B不符合题意；
故选：A．
【分析】由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可．
6．（2025八上·新昌期中）观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段AD 是△ABC 的(　　)
A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线
【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知AD平分 ，故线段AD 是△ABC 的角平分线．
故选：D．
【分析】根据作图痕迹判断出线段AD 是△ABC 的角平分线即可．
7．（2025八上·新昌期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形.
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形.
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形.
D．不是等腰三角形的两个角不相等.
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形.
故答案为：A．
【分析】写出一个定理的逆定理的方法是，将定理的条件和结论互换，即可解答。
8．（2025八上·新昌期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　)
A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，AE＝1.5米，BE＝2米，CE＝2.4米，AB＝CD，
由勾股定理得，AB＝，
，
即梯子的底端向左移了1.3米；
故选：C.
【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BE的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
9．（2025八上·新昌期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°.正确结论的个数是 (　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：如图
∵直线l是该图案的对称轴，
∴∠AOB=∠DOC，∠BOF=∠COE，②正确；
假设正方形网格长度为1，则OA=OB=OC=OD=，AB=CD=，BC=2，在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC，只能得出∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，无法得出 ∠BOC=∠AOB，∴③错误；
连接BD，如图，
∵OB=OD=，BD=，
此时BD2=OB2+OD2，即∠BOD=90°，∴④正确；
∵ ∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°，∠AOB+∠BOC=∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+90°+∠BOC=180°，即①正确；
综上，①②④正确，正确结论的个数是3个。
故答案为：B。
【分析】本题根据对称性，可以首先判断出②正确，然后利用勾股定理求出AB、CD的长度，并结合图形判断③错误；利用勾股定理逆定理判断出④正确，最后结合④的结论以及对称性，变形计算即可判断出①正确，从而得出答案。
10．（2025八上·新昌期中）如图，AC⊥BD，O为垂足，△AOD 的中线EO 的延长线交BC 于点F，∠C=∠D.若OE=OB=5，OC=12，则OD 的长为 (　　)
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在OB=5，OC=12，
，
在OE=5
，
在中
，
故选：C.
【分析】先在中根据勾股定理求出，再证，最后根据相似比求出结果即可.
11．（2025八上·新昌期中）“a的一半与3的和小于6”用不等式表示为　 　.
【答案】a+3＜6.
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：“a的一半与3的和小于6”用不等式表示为：a+3＜6．
故答案为：a+3＜6.
【分析】根据题意，可以用含a的不等式表示“a的一半与3的和小于6”．
12．（2025八上·新昌期中）如图，△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是BC，AC 的中点.若∠B=80°，则∠ADE 的度数为　 　.
【答案】10°．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是BC，AC 的中点，
，
故答案为：10°．
【分析】根据等腰三角形的性质和中位线性质得到∠EDC＝∠B=80°，进而得到∠ADE=10°．
13．（2025八上·新昌期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.已知大正方形ABCD 的面积为10，AE=1，则EF 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；多边形的面积
【解析】【解答】解：大正方形ABCD 的面积为10，
，
在
，
由，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，
易得，小正方形的边长=3-1=2，
，
故答案为：.
【分析】根据大正方形ABCD 的面积为10，得，在根据勾股定理求出BE，再由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，得到小正方形的边长=3-1=2，再根据勾股定理求出对角线EF的长即可.
14．（2025八上·新昌期中）如图，某书架长50cm，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚1.5cm，每本数学书厚1.2cm.若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放　 　本数学书.
【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设数学书摆放的本数为x本，
则20×1.5+1.2x≤50，
解得x≤
则x的最大整数值为16，
所以数学书最多还可以摆16本．
故答案为：16．
【分析】根据题意，建立关于数学书本数的不等式即可解决问题．
15．（2025八上·新昌期中）如图，等腰直角三角形 ABC 中， ，分别以点 B，C为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点 D，连结AD.若BC=2，则AD 的值为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：△ABC为等腰直角三角形．
如图，由作图过程可知，直线为线段BC的垂直平分线，
∴直线经过点A，，
在Rt中，
，
∴，
同理可得，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据△ABC为等腰直角三角形，分别以点 B，C为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点 D，连结AD，作出图形可得AD=DOAO，由BC=2，利用勾股定理求解即可.
16．（2025八上·新昌期中）如图，四边形 ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，E为线段AB上一点，将 沿EC 折叠得到△B'EC，边 B'C恰与DC 在同一直线上，EB'交AD 交于点F.若.BC=2AB=10，AF=B'F，则 BE 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ BC=2AB=10 ，
∴AB=5，
∵将 沿EC 折叠得到△B'EC，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠A=∠B=∠B'=90°，BE=B'E，
在△AEF和△B'DF中，∠A=∠B'，AF=B'F，∠AFE=∠B'FD，
∴△AEF≌△B'DF（ASA），
∴AF=B'F，EF=DF，
设BE=B'E=a，AF=B'F=b，则AE=B'D=5-a，EF=BB'-B'F=DF=a-b，
∴AD=AF+DF=b+a-b=a，
过D作DG⊥BC于G点，如图
则四边形ABGD是矩形，且DG=AB=5，AD=BG=a，
∴CG=BC-BG=10-a，CD=B'C-B'D=10-（5-a）=5+a，
在Rt△DGC中，CG2+DG2=CD2，
即，解得a=，
即BE的长为。
故答案为：。
【分析】本题首先结合折叠性质和平行线性质得出∠A=∠B=∠B'=90°，BE=B'E，然后利用ASA证明得出△AEF≌△B'DF，此时可以得出AF=B'F，EF=D；然后结合图形通过线段计算得出AD=BE=a，此时可以做辅助线并得出四边形ABGD是矩形，最后放到Rt△DGC中，利用勾股定理列式，求解即可。
17．（2025八上·新昌期中）解不等式 并把解集表示在数轴上.
【答案】【解答】
解：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式法则求出再在数轴上表示出来即可.
18．（2025八上·新昌期中）数学兴趣小组在完成一道数学题：
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC.求证：BD=AC.
小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC.”
小助说：“我可以连结AB，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC.”
请你判断两人的证法是否正确.若正确，选择其中一人的方法完成证明.
【答案】【解答】两人的说法都对；
小协的方法．
证明：在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OD＝OC，AO＝BO，
∴OD+BO＝OC+AO，
即BD＝AC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）对于小协的方法，根据垂线的知识可得∠D＝∠C＝90°，再结合AAS证明△AOD≌△BOC，最后根据全等三角形的性质可得BD＝AC；对于小助的方法，连接AB，根据HL证明Rt△ABD≌Rt△BAC即可.
19．（2025八上·新昌期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD，CE 分别是 的中线和角平分线.
（1）若 求∠ACE 的度数；
（2）若AB=6，AD=5，求 BC 的长.
【答案】（1）【解答】解：∵AD是△ABC的中线，且AB＝AC，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝×70°＝35°
（2）解：由(1)知，∠ADC＝90°，BC=2BD，
在中，
BC=2BD=2
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线；三角形的角平分线
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出∠ADC＝90°，结合题意求出∠ACB的度数，再利用角平分线的定义求出∠ACE的度数即可；
(2)由(1)知，∠ADC＝90°，BC=2BD，利用勾股定理求解即可.
20．（2025八上·新昌期中）如图，在△ABC 和 中，点 E 在边 AC 上， 且 AD，AB=AD.
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若 AB=13，AE=5，求 CE 的长.
【答案】（1）【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DEA＝90°，
∴∠D+∠DAE＝90°，
∵AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）
（2）解：△ABC≌△DAE，
∴BC＝AE＝5，
∵AB＝13，
∴，
∴CE＝AC﹣AE＝12﹣5＝7
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAC＝∠D，再利用角角边证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BC＝AE＝5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解．
21．（2025八上·新昌期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程.
已知：如图1，∠AOB.
求作：射线 OC，使得OC 平分∠AOB.
作法：如图2，
①在射线OA 上取点M，使OM=3c m；
②作∠AMN=∠AOB；
③以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C.
所以射线OC 就是所求的角平分线.
根据小帅的作图过程，
（1）求证：射线 OC 是∠AOB 的平分线；
（2）若点C到射线OB的距离为 2cm ，求的面积.
【答案】（1）证明：∵ ∠AMN=∠AOB ，
∴MN∥OB，
∴∠BOC=∠MCO，
而作图步骤中的“ 以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C”，
∴MO=MC，
∴∠MOC=∠MCO，
∴∠BOC=∠MOC，
∴ 射线 OC 是∠AOB 的平分线。
（2）解：∵ 射线 OC 是∠AOB 的平分线，
∴点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm，
的面积=cm2.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）依据“同位角相等、两直线平行”得出MN∥OB，然后依据“两直线平行、内错角相等”得出∠BOC=∠MCO；依据作图步骤得出MO=MC，从而根据“等边对等角”得出∠MOC=∠MCO，此时即可得出∠BOC=∠MOC，从而得出证明结果；
（2）依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得出“点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm”，然后以OM为底，计算三角形面积即可。
22．（2025八上·新昌期中）浙江省篮球联赛(简称浙BA)正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮.为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球.已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元.
解答下列问题：
（1）求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元.
（2）学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80 个，购买总费用不超过6 000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案
【答案】（1）【解答】解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为y元，
解得，，
答：甲品牌篮球的单价90元，乙品牌篮球的单价70元
（2）解：设甲买品牌篮球m个，则乙品牌篮球(80-m)个.
，
共有甲买18个，已买62个，甲买19个，已买61个或甲买20个，已买60个三种方案
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为y元，根据购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元列方程组即可得到答案；
（2）根据购买甲、乙两种品牌的篮球共80 个，可设甲买品牌篮球m个，则乙品牌篮球(80-m)个，再由购买总费用不超过6 000元，且甲品牌篮球至少买18个列不等式，计算即可.
23．（2025八上·新昌期中）定义：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 那么称这个三角形为优美三角形.
（1）判断等边三角形是不是优美三角形，并说明理由.
（2）如图，在 中， 在AC 上取一点D，使得 连结 BD.求证： 是优美三角形.
【答案】（1）解：设等边三角形的边长为a，
，
等边三角形是优美三角形
（2）证明：过A作AOBC于点O，过点B作BEAC于点E，
，
，
即，
，
在中，
，
在AC 上取一点D，使得
，
，
在中，
，
在 中，
是优美三角形
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【分析】（1）直接利用优美三角形的定义进行判断即可；
（2）过A作AOBC于点O，过点B作BEAC于点E，由等积法求出，再由勾股定理求出，最后根据优美三角形的定义即可判断；
24．（2025八上·新昌期中）如图，在 中， 垂足为点H.D是边AC 上的一个动点，连结 BD，将 沿着BD 折叠至 线段 BF 与直线AC 相交于点E.
（1）求 BH 的长；
（2）当AB=BE时，求 的度数及CD 的长；
（3）点 D 在边AC 上移动时，若 为直角三角形，求CD 的长.
【答案】（1）解：在 中， 垂足为点H.
，
，
.
（2）解：
将 沿着BD 折叠至 线段 BF 与直线AC 相交于点E，
（3）解：如图，当时，此时点H和E重合，即
将 沿着BD 折叠至 线段 BF 与直线AC 相交于点E，
设DF=DC=x，则，
在
解得：x=2.
如图，当时，此时点H和D重合，即
综上，CD的长为2或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【分析】(1)由勾股定理得AC=5，然后运用等面积法求解即可；
(2)由等腰三角形性质可得由折叠的性质可得易得即，再由等腰性质得运用勾股定理得最后根据线段的和差即可解答；
(3)分和两种情况，分别作出图形，再运用折叠性质及勾股定理求解即可.
1 / 1浙江省绍兴市新昌县城关中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2025八上·新昌期中）如图，在3×3的正方形网格中，4个涂黑的小正方形能组成轴对称图形的为(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·新昌期中）若a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>-b B．2a<2b C．a-b<0 D．a+2>b+2
3．（2025八上·新昌期中）如图，点D，E 分别在线段AB，AC 上，BE 与CD 相交于点 N.若△ABE≌△ACD，且∠A=55°，∠C=25°，则∠AEB 的度数为 (　　)
A．80° B．90° C．100° D．105°
4．（2025八上·新昌期中）如图，数轴所表示的不等式为(　　)
A．x≤2 B．-1-1
5．（2025八上·新昌期中）下列选项中，能说明命题“如果a<1，那么 为假命题的反例是(　　)
A．a=-2 B．a=0 C． D．a=2
6．（2025八上·新昌期中）观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段AD 是△ABC 的(　　)
A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线
7．（2025八上·新昌期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形.
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形.
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形.
D．不是等腰三角形的两个角不相等.
8．（2025八上·新昌期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　)
A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米
9．（2025八上·新昌期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°.正确结论的个数是 (　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2025八上·新昌期中）如图，AC⊥BD，O为垂足，△AOD 的中线EO 的延长线交BC 于点F，∠C=∠D.若OE=OB=5，OC=12，则OD 的长为 (　　)
A．8 B． C． D．
11．（2025八上·新昌期中）“a的一半与3的和小于6”用不等式表示为　 　.
12．（2025八上·新昌期中）如图，△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是BC，AC 的中点.若∠B=80°，则∠ADE 的度数为　 　.
13．（2025八上·新昌期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.已知大正方形ABCD 的面积为10，AE=1，则EF 的长为　 　.
14．（2025八上·新昌期中）如图，某书架长50cm，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚1.5cm，每本数学书厚1.2cm.若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放　 　本数学书.
15．（2025八上·新昌期中）如图，等腰直角三角形 ABC 中， ，分别以点 B，C为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点 D，连结AD.若BC=2，则AD 的值为　 　.
16．（2025八上·新昌期中）如图，四边形 ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，E为线段AB上一点，将 沿EC 折叠得到△B'EC，边 B'C恰与DC 在同一直线上，EB'交AD 交于点F.若.BC=2AB=10，AF=B'F，则 BE 的长为　 　.
17．（2025八上·新昌期中）解不等式 并把解集表示在数轴上.
18．（2025八上·新昌期中）数学兴趣小组在完成一道数学题：
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC.求证：BD=AC.
小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC.”
小助说：“我可以连结AB，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC.”
请你判断两人的证法是否正确.若正确，选择其中一人的方法完成证明.
19．（2025八上·新昌期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD，CE 分别是 的中线和角平分线.
（1）若 求∠ACE 的度数；
（2）若AB=6，AD=5，求 BC 的长.
20．（2025八上·新昌期中）如图，在△ABC 和 中，点 E 在边 AC 上， 且 AD，AB=AD.
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若 AB=13，AE=5，求 CE 的长.
21．（2025八上·新昌期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程.
已知：如图1，∠AOB.
求作：射线 OC，使得OC 平分∠AOB.
作法：如图2，
①在射线OA 上取点M，使OM=3c m；
②作∠AMN=∠AOB；
③以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C.
所以射线OC 就是所求的角平分线.
根据小帅的作图过程，
（1）求证：射线 OC 是∠AOB 的平分线；
（2）若点C到射线OB的距离为 2cm ，求的面积.
22．（2025八上·新昌期中）浙江省篮球联赛(简称浙BA)正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮.为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球.已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元.
解答下列问题：
（1）求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元.
（2）学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80 个，购买总费用不超过6 000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案
23．（2025八上·新昌期中）定义：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 那么称这个三角形为优美三角形.
（1）判断等边三角形是不是优美三角形，并说明理由.
（2）如图，在 中， 在AC 上取一点D，使得 连结 BD.求证： 是优美三角形.
24．（2025八上·新昌期中）如图，在 中， 垂足为点H.D是边AC 上的一个动点，连结 BD，将 沿着BD 折叠至 线段 BF 与直线AC 相交于点E.
（1）求 BH 的长；
（2）当AB=BE时，求 的度数及CD 的长；
（3）点 D 在边AC 上移动时，若 为直角三角形，求CD 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的性质依次进行辨析即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即：﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
B、a＞b，则：2a＞2b，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
C、a＞b，则：a﹣b＞0，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
D、a＞b，则：a+2＞b+2，原不等式成立，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可
3．【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵∠A＝55°，∠C＝25°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ADC＝100°，
故选：C．
【分析】先利用三角形的内角和定理可得∠ADC＝100°，然后利用全等三角形的性质即可解答
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，该数轴表示的不等式的解集为-1故选：B．
【分析】根据，“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，解答即可．
5．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、﹣2＜1，但（﹣2）2＞1，故A符合题意；
B、0＜1，02＜1，故D不符合题意．
C、﹣＜1，＜1，故C不符合题意；
D、2＞1，故B不符合题意；
故选：A．
【分析】由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可．
6．【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知AD平分 ，故线段AD 是△ABC 的角平分线．
故选：D．
【分析】根据作图痕迹判断出线段AD 是△ABC 的角平分线即可．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形.
故答案为：A．
【分析】写出一个定理的逆定理的方法是，将定理的条件和结论互换，即可解答。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，AE＝1.5米，BE＝2米，CE＝2.4米，AB＝CD，
由勾股定理得，AB＝，
，
即梯子的底端向左移了1.3米；
故选：C.
【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BE的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
9．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：如图
∵直线l是该图案的对称轴，
∴∠AOB=∠DOC，∠BOF=∠COE，②正确；
假设正方形网格长度为1，则OA=OB=OC=OD=，AB=CD=，BC=2，在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC，只能得出∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，无法得出 ∠BOC=∠AOB，∴③错误；
连接BD，如图，
∵OB=OD=，BD=，
此时BD2=OB2+OD2，即∠BOD=90°，∴④正确；
∵ ∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°，∠AOB+∠BOC=∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+90°+∠BOC=180°，即①正确；
综上，①②④正确，正确结论的个数是3个。
故答案为：B。
【分析】本题根据对称性，可以首先判断出②正确，然后利用勾股定理求出AB、CD的长度，并结合图形判断③错误；利用勾股定理逆定理判断出④正确，最后结合④的结论以及对称性，变形计算即可判断出①正确，从而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在OB=5，OC=12，
，
在OE=5
，
在中
，
故选：C.
【分析】先在中根据勾股定理求出，再证，最后根据相似比求出结果即可.
11．【答案】a+3＜6.
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：“a的一半与3的和小于6”用不等式表示为：a+3＜6．
故答案为：a+3＜6.
【分析】根据题意，可以用含a的不等式表示“a的一半与3的和小于6”．
12．【答案】10°．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是BC，AC 的中点，
，
故答案为：10°．
【分析】根据等腰三角形的性质和中位线性质得到∠EDC＝∠B=80°，进而得到∠ADE=10°．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；多边形的面积
【解析】【解答】解：大正方形ABCD 的面积为10，
，
在
，
由，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，
易得，小正方形的边长=3-1=2，
，
故答案为：.
【分析】根据大正方形ABCD 的面积为10，得，在根据勾股定理求出BE，再由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，得到小正方形的边长=3-1=2，再根据勾股定理求出对角线EF的长即可.
14．【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设数学书摆放的本数为x本，
则20×1.5+1.2x≤50，
解得x≤
则x的最大整数值为16，
所以数学书最多还可以摆16本．
故答案为：16．
【分析】根据题意，建立关于数学书本数的不等式即可解决问题．
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：△ABC为等腰直角三角形．
如图，由作图过程可知，直线为线段BC的垂直平分线，
∴直线经过点A，，
在Rt中，
，
∴，
同理可得，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据△ABC为等腰直角三角形，分别以点 B，C为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点 D，连结AD，作出图形可得AD=DOAO，由BC=2，利用勾股定理求解即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ BC=2AB=10 ，
∴AB=5，
∵将 沿EC 折叠得到△B'EC，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠A=∠B=∠B'=90°，BE=B'E，
在△AEF和△B'DF中，∠A=∠B'，AF=B'F，∠AFE=∠B'FD，
∴△AEF≌△B'DF（ASA），
∴AF=B'F，EF=DF，
设BE=B'E=a，AF=B'F=b，则AE=B'D=5-a，EF=BB'-B'F=DF=a-b，
∴AD=AF+DF=b+a-b=a，
过D作DG⊥BC于G点，如图
则四边形ABGD是矩形，且DG=AB=5，AD=BG=a，
∴CG=BC-BG=10-a，CD=B'C-B'D=10-（5-a）=5+a，
在Rt△DGC中，CG2+DG2=CD2，
即，解得a=，
即BE的长为。
故答案为：。
【分析】本题首先结合折叠性质和平行线性质得出∠A=∠B=∠B'=90°，BE=B'E，然后利用ASA证明得出△AEF≌△B'DF，此时可以得出AF=B'F，EF=D；然后结合图形通过线段计算得出AD=BE=a，此时可以做辅助线并得出四边形ABGD是矩形，最后放到Rt△DGC中，利用勾股定理列式，求解即可。
17．【答案】【解答】
解：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式法则求出再在数轴上表示出来即可.
18．【答案】【解答】两人的说法都对；
小协的方法．
证明：在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OD＝OC，AO＝BO，
∴OD+BO＝OC+AO，
即BD＝AC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）对于小协的方法，根据垂线的知识可得∠D＝∠C＝90°，再结合AAS证明△AOD≌△BOC，最后根据全等三角形的性质可得BD＝AC；对于小助的方法，连接AB，根据HL证明Rt△ABD≌Rt△BAC即可.
19．【答案】（1）【解答】解：∵AD是△ABC的中线，且AB＝AC，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝×70°＝35°
（2）解：由(1)知，∠ADC＝90°，BC=2BD，
在中，
BC=2BD=2
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线；三角形的角平分线
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出∠ADC＝90°，结合题意求出∠ACB的度数，再利用角平分线的定义求出∠ACE的度数即可；
(2)由(1)知，∠ADC＝90°，BC=2BD，利用勾股定理求解即可.
20．【答案】（1）【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DEA＝90°，
∴∠D+∠DAE＝90°，
∵AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS）
（2）解：△ABC≌△DAE，
∴BC＝AE＝5，
∵AB＝13，
∴，
∴CE＝AC﹣AE＝12﹣5＝7
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAC＝∠D，再利用角角边证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BC＝AE＝5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵ ∠AMN=∠AOB ，
∴MN∥OB，
∴∠BOC=∠MCO，
而作图步骤中的“ 以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C”，
∴MO=MC，
∴∠MOC=∠MCO，
∴∠BOC=∠MOC，
∴ 射线 OC 是∠AOB 的平分线。
（2）解：∵ 射线 OC 是∠AOB 的平分线，
∴点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm，
的面积=cm2.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）依据“同位角相等、两直线平行”得出MN∥OB，然后依据“两直线平行、内错角相等”得出∠BOC=∠MCO；依据作图步骤得出MO=MC，从而根据“等边对等角”得出∠MOC=∠MCO，此时即可得出∠BOC=∠MOC，从而得出证明结果；
（2）依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得出“点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm”，然后以OM为底，计算三角形面积即可。
22．【答案】（1）【解答】解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为y元，
解得，，
答：甲品牌篮球的单价90元，乙品牌篮球的单价70元
（2）解：设甲买品牌篮球m个，则乙品牌篮球(80-m)个.
，
共有甲买18个，已买62个，甲买19个，已买61个或甲买20个，已买60个三种方案
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为y元，根据购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元列方程组即可得到答案；
（2）根据购买甲、乙两种品牌的篮球共80 个，可设甲买品牌篮球m个，则乙品牌篮球(80-m)个，再由购买总费用不超过6 000元，且甲品牌篮球至少买18个列不等式，计算即可.
23．【答案】（1）解：设等边三角形的边长为a，
，
等边三角形是优美三角形
（2）证明：过A作AOBC于点O，过点B作BEAC于点E，
，
，
即，
，
在中，
，
在AC 上取一点D，使得
，
，
在中，
，
在 中，
是优美三角形
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【分析】（1）直接利用优美三角形的定义进行判断即可；
（2）过A作AOBC于点O，过点B作BEAC于点E，由等积法求出，再由勾股定理求出，最后根据优美三角形的定义即可判断；
24．【答案】（1）解：在 中， 垂足为点H.
，
，
.
（2）解：
将 沿着BD 折叠至 线段 BF 与直线AC 相交于点E，
（3）解：如图，当时，此时点H和E重合，即
将 沿着BD 折叠至 线段 BF 与直线AC 相交于点E，
设DF=DC=x，则，
在
解得：x=2.
如图，当时，此时点H和D重合，即
综上，CD的长为2或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【分析】(1)由勾股定理得AC=5，然后运用等面积法求解即可；
(2)由等腰三角形性质可得由折叠的性质可得易得即，再由等腰性质得运用勾股定理得最后根据线段的和差即可解答；
(3)分和两种情况，分别作出图形，再运用折叠性质及勾股定理求解即可.
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