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(共53张PPT)
6.2.2　向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握
平面向量减法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，向量 是向量 与向量x的和.
【问题】　你能作出向量x吗？
知识点一　相反向量
1. 定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相
反向量，记作－a.
2. 性质：（1）零向量的相反向量仍是零向量；
相等　
相反　
（2）对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；
（3）如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
提醒　相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两
方面进行定义，相反向量必为平行向量.
知识点二　向量的减法运算
1. 向量减法的定义
向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋
（－b）.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
提醒　减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
相反向量　
2. 向量减法的几何意义
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则
＝a－b.即a－b 可以表示为从 的终点指向
的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
提醒　（1）作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起
点，连终点，指向被减”；（2）在向量减法的定义中，如果从a
的终点指向b的终点作向量，所得向量是b－a.
向量b　
向量
a　
1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互
为相反向量的是（　　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解析：　向量 与 的模相等，方向相反，互为相反向量.
2. 在△ABC中，O为BC的中点，记 ＝m， ＝n，则 ＝
（　　）
A. －m－n B. －m＋n
C. m－n D. m＋n
解析：　 ＝ ＋ ＝－ － ＝－m－n，故选A.
3. 化简 ＋ － － .
解： ＋ － － ＝ ＋ －（ ＋ ）＝ －
＝0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量减法的几何意义
【例1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c.
法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则
＝a＋b，再作 ＝c，连接OC，则 ＝a＋b－c.
通性通法
求作差向量的方法
（1）作两向量的差向量的步骤：
（2）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后
用加法a＋（－b）即可.
【跟踪训练】
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：由向量减法的三角形法则，
令a＝ ，b＝ ，则a－b＝ － ＝ ，
令c＝ ，所以a－b－c＝ － ＝ .如图中 即为a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】　化简：（1） － － ；
解：法一　 － － ＝ － ＝ .
法二　 － － ＝ －（ ＋ ）＝ － ＝ .
法三　 － － ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋（ ＋ ）
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2）（ － ）－（ － ）.
解：法一　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝
＋ ＝0.
法二　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（ － ）－（ － ）－（ － ）＋（ － ）＝ － － ＋ － ＋ ＋ － ＝0.
法三　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ＝0.
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
1. － － ＝（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析：　 － － ＝ － － ＝ － ＝ .
2. （多选）在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则 －
－ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 － － ＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .
题型三 向量加、减运算的综合应用
角度1　向量加、减的混合运算
【例3】　化简：（1） ＋ － － ；
解： ＋ － － ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ＝ .
（2）（ ＋ ＋ ）－（ － － ）.
解：（ ＋ ＋ ）－（ － － ）
＝ ＋ － ＋
＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝0.
通性通法
1. 向量加、减的混合运算主要应用向量加、减法的运算法则、几何意
义及向量加法的结合律、交换律等求解.
2. 向量加、减法化简的两种形式
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差.
提醒　做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆
向应用.
角度2　用已知向量表示其他向量
【例4】　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形
外一点，且 ＝a， ＝b， ＝c，试用向量a，b，c表示向量
， ， .
解：由平行四边形的性质可知 ＝ ＝c，
由向量的减法可知 ＝ － ＝b－a，
由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c.
【母题探究】
（变条件）若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点
B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c 表示
向量 ， ， .
解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，
所以 ＝ ＝c， ＝ － ＝b－a， ＝ ＋ ＝b－a
＋c.
通性通法
用已知向量表示其他向量的一般步骤
（1）先观察各个向量在图形中的位置；
（2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形；
（3）运用法则找关系；
（4）化简结果.
【跟踪训练】
1. （2024·滨州月考）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且
＝ ，则化简 ＋ － － ＝（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析：　 ＋ － － ＝（ － ）＋（ － ）
＝ ＋ ＝ － ＝0.
2. 如图，已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝f，试用
a，b，c，d，f表示以下向量：
（1） ；
解： ＝ － ＝c－a.
（2） ；
解： ＝ － ＝d－a.
（3） － ；
解： － ＝ ＝ － ＝d－b.
（4） ＋ ；
解： ＋ ＝ － ＋ －
＝b－a＋f－c.
（5） － .
解： － ＝ － －（
－ ）＝f－b－d＋b＝f－d.
1. － ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　原式＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ .
2. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且
＝a， ＝b，则 可以表示为（　　）
A. a＋b B. a－b
C. b－a D. －a－b
解析：　在平行四边形ABCD中，依题意， ＝－ ＝－a，
而 ＝b，所以 ＝ － ＝－a－b.故选D.
3. （多选）设b是a的相反向量，则下列说法正确的是（　　）
A. a与b的长度相等 B. a∥b
C. a与b一定不相等 D. a是b的相反向量
解析：　方向相反、长度相等的两个向量互为相反向量，故A、B、D正确，C错误，∵0与0互为相反向量，但0与0相等.故选A、B、D.
4. 若菱形ABCD的边长为2，则｜ － ＋ ｜＝ .
解析：｜ － ＋ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜＝2.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列向量关系式中，正确的是（　　）
A. ＝ B. ＋ ＝
C. － ＝ D. ＋ ＋ ＝
解析：　根据向量的概念可得A、B错误；对于C， － ＝
，故错误；对于D， ＋ ＋ ＝ ，故正确.故选D.
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2. （2024·南平月考）如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的
中心，其中 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　）
A. a＋b B. b－a
C. c－b D. b－c
解析：　由题可得 ＝ ＝ ＝ － ＝b－c，故选D.
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3. 在平行四边形ABCD中，｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，则必有
（　　）
A. 四边形ABCD是矩形 B. ＝0或 ＝0
C. ＝0 D. 四边形ABCD是正方形
解析：　由四边形可知，B、C错误；在平行四边形ABCD中，
＋ ＝ ， － ＝ ，由题知｜ ｜＝｜ ｜，即
平行四边形的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，A正确；易
知四边形ABCD不一定是正方形，故D错误.
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4. 在边长为1的正三角形ABC中，｜ － ｜＝（　　）
A. 1 B. 2
C. D.
解析：　如图，作菱形ABCD，则｜ － ｜＝｜ － ｜
＝｜ ｜＝ .
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5. （多选）下列各式化简结果为零向量的有（　　）
A. ＋ ＋
B. － ＋ －
C. － －
D. ＋ ＋ －
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解析：　对于A， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故A符合题意；对于B， － ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故B符合题意；对于C， － － ＝ － ＝ ＋ ＝2 ，故C不符合题意；对于D， ＋ ＋ － ＝ ＋（ － ）＝ ＋ ＝0，故D符合题意.故选A、B、D.
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6. （多选）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　）
A. ＝
B. ｜ ｜＝｜ ｜
C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜
D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
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解析：　向量 与 的方向不同，但它们的模相等，所以B
正确，A错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，所以C正确；因为｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则 － ＋ －
＋ ＝ .
解析： － ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝0.
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8. （2024·丽水月考）若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝
1，则｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ .
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0，又
a＝－b，所以｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b共线，所以｜a
－b｜＝2.
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9. 已知四边形ABCD和点O，若 ＋ ＝ ＋ ，则四边形
ABCD的形状是 .
解析：∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ － ＝ － ＝
，∴BA＝CD，BA∥CD，则四边形ABCD的是平行四边形.
平行四边形
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10. 向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
（1）用a，d，e表示 ；
＝ ＋ ＋ ＝d＋e＋a.
解：由题图知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e.
（2）用b，c表示 ；
解： ＝ － ＝－ － ＝－b－c.
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（3）用a，b，e表示 ；
解： ＝ ＋ ＋ ＝e＋a＋b.
（4）用d，c表示 .
解： ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－c－d.
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11. （2024·济源月考）已知A，B，C为三个不共线的点，P为
△ABC所在平面内一点，若 ＋ ＝ ＋ ，则下列结论正
确的是（　　）
A. 点P在△ABC内部 B. 点P在直线BC上
C. 点P在直线AB上 D. 点P在直线AC上
解析：　∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ － ＝ － ，
∴ ＝ ＋ ， － ＝ ，即 ＝ .故点P在边AC
所在的直线上.
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12. （多选）已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的有（　　）
A. 若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同
B. 若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反
C. 若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的模相等
D. 若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同
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解析：　当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.当a，b同向时，有｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜.当a，b反向时，有｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.故选A、B、D.
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13. 已知菱形ABCD的边长为2，则向量 － ＋ 的模
为 ；｜ ｜的取值范围是 .
解析：易知 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，因为菱形
ABCD的边长为2，所以向量 － ＋ 的模为2.易知 ＝
＋ ，且｜ ｜－｜ ｜＜｜ ＋ ｜＜｜ ｜＋｜
｜，所以｜ ｜的取值范围为（0，4）.
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（0，4）
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14. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1， ＝a， ＝b，
＝c，求：
（1）｜a＋b＋c｜；
解：由已知得a＋b＝ ＋ ＝ ，
∵ ＝c，∴延长AC到E，使｜ ｜
＝｜ ｜，如图所示，
则a＋b＋c＝ 且｜ ｜＝2 .
∴｜a＋b＋c｜＝2 .
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（2）｜a－b＋c｜.
解：作 ＝ ，连接CF，则 ＋ ＝ ，
而 ＝ － ＝ － ＝a－b，
∴｜a－b＋c｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜且｜
｜＝2.
∴｜a－b＋c｜＝2.
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