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(共61张PPT)
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
新课程标准解读 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征 直观想象
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装
饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、
埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心
独具，为我们留下了精美绝伦的建筑
物，每当看到这些建筑物都会给人以
震撼的美.
【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数
学知识？
知识点一　空间几何体
1. 空间几何体：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其
他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
形状　
大小　
2. 多面体、旋转体
类
别 多面体 旋转体
定
义 一般地，由若干个
围成的几何体叫
做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所
在平面内的 旋转所
形成的曲面叫做 ，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体
平面
多边形　
一条定直线　
旋转面　
类别 多面体 旋转体
图形
相关 概念 面：围成多面体的各 ； 棱：两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的
定直线
多边形　
公共边　
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多
面
体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 柱 有两个面
互相
，其
余各面都
是
，并
且相邻两
个四边形
的公共边
都
，
由这些面
所围成的
多面体叫
做棱柱 记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个
互相 的
面； 侧面：除底面外，
其余各面； 侧棱：相邻侧面
的 ； 顶点：侧面与底面
的 直棱柱：侧棱垂直
于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂
直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正
多边形的直棱柱
平
行　
四边
形　
互相
平行　
平行　
公共边　
公共顶点　
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体 定义 图形及表示
棱 柱 有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面
所围成的多面体叫做棱柱
记作：棱柱
ABCDEF-
A'B'C'D'E'F'
平行
四边形
互相平行
多面体 相关概念 特殊情形
棱 柱 底面（底）：两个互相 的面； 侧面：除底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：侧面与底面的 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行　
公共边　
公共顶点　
多面
体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 锥 有一个面
是
，其余
各面都是有
一个公共顶
点的
，由这
些面所围成
的多面体叫
做棱锥 记作：棱锥 S-ABCD 底面（底）：多
边形面； 侧面：有公共顶
点的各个三角形
面； 侧棱：相邻侧面
的 ； 顶点：各侧面
的 正棱锥：底
面是正多边
形，并且顶
点与底面中
心的连线垂
直于底面的
棱锥
多边
形　
三角
形　
公共边　
公共顶点　
多面
体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱 台 用一个

的平面
去截棱锥，
底面和截面
之间那部分
多面体叫做
棱台 记作：棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公
共顶点
平
行于棱锥底
面　
截面　
底面　
提醒　（1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱锥、三棱台
为例）
（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系
1. 下列几何体不属于棱柱的是（　　）
解析：　根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱
柱，不属于棱柱的图形只有D选项，故选D.
2. 如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，沿平面A1C1B截去三棱锥
B1-A1C1B，则剩余的部分是（　　）
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 四棱柱
解析：　截去三棱锥B1-A1C1B，则剩余的部分B-ACC1A1是四棱
锥，故选B.
3. 一个多面体最少有 个面，此时这个多面体是
.
解析：根据多面体的定义可知，一个多面体最少有4个面，每个面
都是三角形，它的名称是三棱锥或四面体.
4
三棱锥（四面
体）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 棱柱的结构特征
【例1】　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解：是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底
面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平
行，符合棱柱的定义.
（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体
还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，
请说明理由.
解：是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左
下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
通性通法
棱柱结构特征的辨析方法
　　判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质
特征：
（1）有两个面互相平行；
（2）其余各面都是平行四边形；
（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
提醒　①以上三个本质特征缺一不可；②在概念辨析时，也可
用举反例法直接判断（否定）.
【跟踪训练】
（多选）下列关于棱柱的说法正确的有（　　）
A. 所有的面都是平行四边形
B. 每一个面都不会是三角形
C. 两底面平行，并且各侧棱也平行
D. 被平面截成的两部分可以都是棱柱
解析：　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱
的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可
以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
题型二 棱锥的结构特征
【例2】　（多选）下列说法中正确的有（　　）
A. 棱锥的各个侧面都是三角形
B. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C. 棱锥的侧棱平行
D. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正
确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一
个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不
平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错.
通性通法
棱锥的结构特征
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
提醒　注意棱锥的“棱”与“侧棱”的区别.
【跟踪训练】
在①有一个面是正方形，其余各面都是具有公共顶点且全等的四个等
腰三角形的几何体是正四棱锥；②正棱锥的侧面是等边三角形；③底
面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，中说法
正确的是 （填序号）.
①
解析：①中说法正确，由棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面
都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
由定义知，该几何体为四棱锥，又因底面为正方形，侧面是四个全等
的等腰三角形，则各侧棱长相等，顶点在底面上的投影为正方形的中
心，故该棱锥为正四棱锥；②中说法错误，正棱锥的侧面都是等腰三
角形，不一定是等边三角形；③中说法错误，此三棱锥的三个侧面未
必全等，所以不一定是正三棱锥.
题型三 棱台的结构特征
【例3】　下列说法中正确的是（　　）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
解析：　A中的平面不一定平行于底面，故A错；由棱台的定义知，
D正确；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一
点，故B、C错.
通性通法
判断棱台形状的两个方法
（1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征
的某些说法不正确；
（2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两多边形
相似）；②看侧棱，延长后相交于一点.
【跟踪训练】
下面四个几何体中为棱台的是（　　）
解析：　A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几
何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几
何体的棱AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几
何体不是棱台.
1. 有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几
何体为（　　）
A. 四棱柱 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 三棱锥
解析：　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
2. 下列几何体中，棱的条数最少的是（　　）
A. 四面体 B. 四棱锥
C. 四棱柱 D. 四棱台
解析：　四面体有6条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱和四棱台都有
12条棱.故选A.
3. 下列命题中正确的是（　　）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
解析：　A项，如图，满足有两个面互相平行，其余
各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；
B项，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面
为底面，故B不正确；C项，长方体、正方体的底面都
是平行四边形，故C不正确；由棱柱的定义知D正确.
4. 下列几何体中， 是棱柱， 是棱锥， 是棱台
（仅填相应序号）.
①③④
⑥
⑤
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下面图形中为棱锥的是（　　）
A. ①③ B. ①③④
C. ①②④ D. ①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，
③不是棱锥.故选C.
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2. 下列说法正确的是（　　）
A. 棱台的两个底面相似
B. 棱台的侧棱长都相等
C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
解析：　由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相
等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不
正确.
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3. 一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为
（　　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析：　因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又
正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为
12.
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4. 设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝
{正方体}，则这四个集合之间的关系是（　　）
A. P N M Q B. Q M N P
C. P M N Q D. Q N M P
解析：　根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特
殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱
柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.
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5. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 正三棱锥就是正四面体
B. 底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为
六棱锥
D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
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解析：　正四面体是正三棱锥，但正三棱锥不一定就是正四面
体，故A错误；根据正棱锥的概念知，B正确；六棱锥的各个侧面
的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥
不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱
与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
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6. （多选）关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是（　　 ）
A. 任何棱柱的两个底面都全等
B. 棱锥的侧棱长都相等
C. 三棱台的上底面和下底面是相似三角形
D. 有的棱台的侧棱长都相等
解析：　根据棱柱的几何性质可得，棱柱的两个底面都全等，故选项A正确；根据棱锥的定义可知，只有正棱锥的侧棱长都相等，故选项B错误；根据棱台的定义可知，棱台的上底面和下底面是相似多边形，有的棱台的侧棱长都相等，故选项C、D正确.故选A、C、D.
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7. 若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比
是 .
解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积
之比为对应边之比的平方.
1∶4
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①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱
截去一个三棱柱得到.
8. 如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.
①③④⑤
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解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的
延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个
梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图（1）（2）.
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9. （2024·舟山月考）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为
上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪
开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的
方位是 .
北
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10. 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
解：这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是
平行四边形的四棱柱.
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都
是有一个公共顶点的三角形；
解：这是一个六棱锥.
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.
解：这是一个三棱台.
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11. 如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（　　）
A. A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝
2，AC＝3
C. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝
2，AC＝4
D. AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
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解析：　选项A中 ≠ ，故A不符合题意；选项B中
≠ ，故B不符合题意；选项C中 ＝ ＝ ，故C符合
题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三
棱台.
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12. （多选）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是（　　）
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 不可能为四边形
解析：AB　按如图①所示用一个平面
去截三棱锥，截面是三角形；按如图
②所示用一个平面去截三棱锥，截面
是四边形.故选A、B.
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13. 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，
AA1＝5，则BD1的长为 .
解析：依题意得，B ＝AB2＋AD2＋A ＝32＋42＋52＝50，
∴BD1＝5 .
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14. 试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构
成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
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（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解：如图①所示，三棱锥A1-AB1D1（答案不唯一）.
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（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
解：如图②所示，三棱锥B1-ACD1（答案不唯一）.
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（3）三棱柱.
解：如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD（答案不唯一）.
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15. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC
＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值
为 .
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解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝
4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为4 .
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16. 如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部
的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的
平行四边形，对吗？
解：不对.水面的形状就是用一个与
棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行
的平面截长方体时截面的形状，因而可以
是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.
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（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱
锥，对吗？
解：不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
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（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个
顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？
解：用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.
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16(共58张PPT)
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
新课程标准解读 核心素养
利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 直观想象、数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，观察下列实物图.
【问题】　（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
（2）上述实物图抽象出的几何体中能否由某些平面图形旋转而成？
（3）如何形成上述几何体的曲面？
知识点一　圆柱的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形
成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图示
及 相关
概念 轴： 叫做圆柱的轴；
底面： 的边旋转而成的圆面；
侧面： 的边旋转而成的曲面；
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，
；
柱体：
矩形的一边　
旋转轴　
垂直于轴　
平行于轴　
平行
于轴的边　
圆柱和棱柱统称为柱体　
提醒　对圆柱的再理解：①圆柱的底面是两个半径相等的圆面，两圆
面所在平面互相平行；②通过轴的各个截面叫做轴截面，轴截面是全
等的矩形；③母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆
柱的高.
知识点二　圆锥的结构特征
定
义 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示
及相
关概
念 轴： 叫做圆锥的轴；
底面： 的边旋转而成的圆面；
侧面： 旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，
；
锥体：
直角三角形的一条直角边　
旋转轴　
垂直于轴　
直角三角形的斜边　
不垂直于轴的
边　
棱锥和圆锥统称为锥体　
提醒　圆锥具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是
全等的等腰三角形；②过顶点和底面相交的截面是等腰三角形；③母
线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等.
【想一想】
　以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的
面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？
提示：不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴，形
成的几何体是同底面的两个圆锥的组合体.
知识点三　圆台的结构特征
定
义 用 的平面去截圆锥， 之间
的部分叫做圆台 图示
及相
关概
念 轴：圆锥的 ；
底面：圆锥的底面和 ；
侧面：圆锥的侧面在 之间的部分；
母线：圆锥的母线在 之间的部分；
台体：
平行于圆锥底面　
底面与截面　
轴　
截面　
底面与截面　
底面与截面　
棱台和圆台统称为台体　
提醒　圆台具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是
全等的等腰梯形；②任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等
腰梯形；③母线长都相等，各母线延长后都相交于一点.
知识点四　球的结构特征
定
义 以 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图示 及相
关概
念 球心：半圆的 叫做球的球心；
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的
半径；
直径：连接球面上两点并且 的线段叫
做球的直径
半圆的直径　
圆心　
经过球心　
【想一想】
球能否由圆面旋转而成？
提示：能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体
即为球.
知识点五　简单组合体
1. 定义：由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
2. 简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体 而成；另一
种是由简单几何体 一部分而成.
简单几何体　
拼接　
截去或挖去　
1. 下列几何体是旋转体的是（　　）
A. 五棱柱 B. 六棱锥
C. 八棱台 D. 球
解析：　根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周
形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体；一个几何体围成它的
各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱
柱、八棱台都是多面体，故选D.
2. 如图所示的简单组合体的组成是（　　）
A. 棱柱、棱台 B. 棱柱、棱锥
C. 棱锥、棱台 D. 棱柱、棱柱
3. （多选）用一个平面去截一个圆台，得到的图形可能是（　　）
A. 矩形 B. 圆形 C. 梯形 D. 三角形
解析：　用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为
圆形，B正确；截面与圆台的轴平行时，得到梯形，C正确；图形
不可能是矩形与三角形，则A、D错误.故选B、C.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 旋转体的结构特征
【例1】　下列说法正确的是 （填序号）.
①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的
母线；
②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体
是圆台；
③
③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，
圆台的轴截面是等腰梯形；
④到定点的距离等于定长的点的集合是球.
解析：①错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；②错，
直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一
个圆锥组成的简单组合体，如图所示；③正确；④错，应为球面.
通性通法
判断简单旋转体结构特征问题的解题策略
（1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解
决此类概念问题的关键；
（2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②
明确旋转轴是哪条直线.
【跟踪训练】
有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母
线；②圆台的母线有无数条，且延长后交于一点；③球面上任意一点
到球心的距离都相等.其中正确的有（　　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
解析：　①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，
正确；②由圆台的定义可知，正确；③由球的几何特征可知，正确.
故选D.
题型二 简单组合体的结构特征
解析：　该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A.
【例2】　（1）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形
成的（　　）
（2）请描述如图所示的几何体是如何形成的：
解：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一
个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖
去一个三棱锥后得到的几何体.
【母题探究】
将本例（1）中的组合体变为如图所示的几何体，则可由下列哪个三
角形绕轴旋转而成（　　）
解析：　该组合体为一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，是由D中
的图形绕轴旋转而成的.
通性通法
判断组合体构成的方法
（1）判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌
握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分
割”为几个简单的几何体；
（2）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的.要仔细
观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分
割，后验证.
【跟踪训练】
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何
体包括（　　）
A. 一个圆台、两个圆锥 B. 两个圆柱、一个圆锥
C. 两个圆台、一个圆柱 D. 一个圆柱、两个圆锥
解析：　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直
线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆
柱、两个圆锥.
题型三 旋转体中与截面有关的计算问题
【例3】　两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，
则这两个平面间的距离是 .
1或7
解析：由已知得两个截面圆半径分别为3和4，如图①所示，两个平行平面在球心同侧，则CD＝ － ＝4－3＝1；如图②所示，两个平行截面在球心两侧，则CD＝ ＋ ＝4＋3＝7.
通性通法
旋转体截面问题的解题策略
（1）画出旋转体的轴截面或相关截面；
（2）在截面中借助直角三角形或三角形相似关系建立高、母线长、
底面圆或截面圆的半径长的等量关系即可求解.
【跟踪训练】
1. 若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面
的平面所截，则截得的截面圆的面积为（　　 ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
解析：　由题意，底面半径为2且底面水平放置的
圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，如图所
示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知
△SA1O1∽△SAO，故 ＝ ＝ ＝ ，可得r＝
R＝1，所以截得的截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A.
2. （2024·济南月考）从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一
个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的
几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l（l＜R）并且平行于
底面的平面去截它，求所得截面的面积.
解：轴截面如图，
被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半
径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.
∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形.
又CD∥OA，则CD＝BC. ∴x＝l.
∴截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）（l＜R）.
1. 下面几何体的轴截面（过旋转轴的截面）是圆面的是（　　）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台
解析：　圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，球的轴
截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形.故选C.
2. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
B. 圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的
连线都可以构成直角三角形
C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台
的母线
D. 圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
解析：　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正
确，A、C错误.
3. 关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体挖去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是 .
①②
4. 轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积
为 .
解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高
为r，所以S＝ ×2r2＝r2.
r2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列几何体中不是旋转体的是（　　）
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2. 下列说法中正确的是（　　）
A. 将正方形旋转不可能形成圆柱
B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A
错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截
面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；
通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.
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3. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状
为（　　）
A. 一个球体
B. 一个球体中间挖去一个圆柱
C. 一个圆柱
D. 一个球体中间挖去一个长方体
解析：　圆面绕着直径所在的轴旋转形成球，矩形绕着轴旋转形
成圆柱.故选B.
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4. 图①②中的图形折叠后的图形分别是（　　）
A. 圆锥、棱柱 B. 圆锥、棱锥
C. 球、棱锥 D. 圆锥、圆柱
解析：　易知①为圆锥，②为三棱锥.
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5. 用一个平面截半径为25 cm的球，截面的面积是225π cm2，则球心
到截面的距离为（　　）
A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm
解析：由题意知，球的半径R＝25 cm，易知截面的半径r＝15 cm，则球心到截面的距离d＝ ＝20（cm）.
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6. （多选）（2024·舟山质检）下列命题中正确的是（　　）
A. 过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆
B. 球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径
C. 用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面
D. 球是与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合
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解析：　对于A中，当过球的直径的两个端点，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，所以B正确；对于C中，根据球的截面圆的性质，可得用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特
征是 .
解析：如图，正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥形成的组合体.
两个同底的圆锥组合体
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8. 用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能
是下面哪几种： （填序号）.
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球.
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.
①②③⑤
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9. 两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转
所成的圆柱中轴截面的面积为 cm2.
解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底
面半径为4 cm，其轴截面的面积为3×8＝24 cm2；当以4 cm长的一
边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm，其轴截
面的面积为4×6＝24 cm2.
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10. 指出图中的两个几何体分别是由哪些简单几何体组成的.
解：（1）几何体是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成.
（2）几何体是由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底
面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成.
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11. 如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截
面是（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形
C. 顶角为30°的等腰三角形 D. 其他等腰三角形
解析：　因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥
的底面圆的直径为 ，母线长也为 ，所以此圆锥的轴截面是等边
三角形.
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12. （2024·宁波月考）被誉为“中国天眼”的500 m口径球面射电望
远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的
射电望远镜（简称FAST）（如图）.FAST的反射面的形状为球
冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆面为球冠的底，
垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高.某科技馆制作了一个
FAST模型，其口径为5 m，反射面总面积为8π m2，若模型的厚度
忽略不计，则该球冠模型的高为（　　）
（注：球冠表面积S＝2πRh，其中R是球的半径，h是球冠的高）
A. m B. m
C. m D. m
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解析：　如图所示为球的轴截面图形，ACD部分为
该球冠的轴截面，AD是弦，OC是球的半径，点B为
AD的中点，OC⊥AD于点B，由题意可得，｜OC｜
＝｜OA｜＝R，｜BC｜＝h，｜AD｜＝5，所以｜
OB｜＝R－h，｜AB｜＝ .在Rt△OAB中，由勾股
定理可得R2＝（R－h）2＋（ ）2　①，又由球冠的
表面积及题意可得，2πRh＝8π　②，由①②可得，h
＝ ，所以该球冠模型的高为 m.
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13. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台
的高为 .
解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长
为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则
CE为圆台的高，所以高｜CE｜＝ ＝4.
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14. 一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长
及圆锥的轴截面的面积.
解：如图圆锥SO的轴截面为SAB，底面直径为AB，SO为高，
SA为母线，则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝ （cm）.
SA＝ ＝ ＝ （cm）.
所以S△ASB＝ SO·2AO＝ （cm2）.
所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.
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15. 如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15
个棱长为1的小正方体构成.
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（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一
个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中
选出的模块可以是 （答案不唯一）；
解析：由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.
（2）若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱
长为3的大正方体，则选出的3个模块是
（答案不唯一）.
解析：以①②⑤为例，中间层用⑤补齐，最上层用①②.（答案不唯一）
①（或②或⑤）
①②⑤（或①④⑤
或②③④）
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16. 某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12
cm，高为8 cm.该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得
球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的半径.
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解：根据题意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC，
所以CE＝ BC＝6 cm，所以AB＝AC＝ ＝
＝10 cm.
设内切球的半径为R，根据等面积法得 ×12×8＝ ×（10＋10
＋12）×R，解得R＝3，故此球的半径为3 cm.
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