资源简介

(共58张PPT)
第1课时　平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平
行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面
平行 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气
质，展馆共分三层.
【问题】　展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么
判断的？
知识点　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，
那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
两条相交直线　
提醒　判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面β内两
条相交直线a，b，即a β，b β，a∩b＝P；②两条相交直线a，
b都与平面α平行，即a∥α，b∥α.
1. （2024·济南月考）在正方体中，相互平行的面不会是（　　）
A. 前后相对侧面 B. 上下相对底面
C. 左右相对侧面 D. 相邻的侧面
解析：　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平
行，故选D.
2. （2024·青岛月考）已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不
重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α
与β的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 以上都不对
解析：　由图①和图②可知，α与β平行或相交.
3. 六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的
面中互相平行的对数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱
的面中互相平行的有4对.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
【例1】　已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出
平面α与平面β平行的是（　　）
A. 平面α内有一条直线与平面β平行
B. 平面α内有两条直线与平面β平行
C. 平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D. 平面α与平面β不相交
解析：　选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正
确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平
行；选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平
行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行.故选D.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面；
（3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
（2024·南平月考）下列命题正确的是（　　）
A. 一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么
这两个平面平行
B. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行
C. 平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D. 如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行
解析：　对于A、C、D选项，两个平面均有可能相交，而对于B选
项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行，故A、C、D错误，B正确.
题型二 平面与平面平行的证明
【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱
DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1.
证明：连接EF，
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1，
CC1的中点，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，
ED1＝CF，
∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，
则AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面
BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1. 利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
2. 转化思想
转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直
线分别平行，则α∥β.
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，
AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：（1）B，C，H，G四点共面；
证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中
点，∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
1. 已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，命题
q：α∥β，则p是q的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平
行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β. 故p是q的必要不充分条
件.故选B.
2. （2024·周口月考）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在
B1D1上，F在A1B1上，且 ＝ ，过E作EH∥B1B交BD于
H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 以上都有可能
解析：　在平面A1B1C1D1中，因为 ＝ ，所以
EF∥A1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1，所以
EF∥B1C1，又因为EH∥B1B，EH 平面EFH，EF 平面
EFH，BB1 平面BB1C1C，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝
E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C. 故选A.
3. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点
H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为
OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成
立，则需增加的条件是（　　）
A. n是直线且n α，n∥β
B. n，m是异面直线且n∥β
C. n，m是相交直线且n α，n∥β
D. n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，
m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
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2. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　）
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
解析：　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β
使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平
面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作
出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
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3. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，不能够判定α与β平
行的为（　　）
A. 存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B. 平面α内的任意一条直线都平行于β
C. α内有不共线的三点到β的距离相等
D. 存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
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解析：　对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面
平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当
然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，
不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β
相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作
l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，
m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选C.
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4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱
A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（　　）
A. BD1∥GH
B. BD∥EF
C. 平面EFGH∥平面ABCD
D. 平面EFGH∥平面A1BCD1
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解析：　易知GH∥D1C，因为过直线外一点
有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，
GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF
∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；
因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面
ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.
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5. （2024·广州月考）在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且
AA1∥BD，点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面
BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是（　　）
A. △A1B1C1边界的一部分
B. 一个点
C. 线段的一部分
D. 圆的一部分
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解析：　如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于E，
连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，
AA1 平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C，同
理DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，
DE 平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，
所以M∈DE（M不与D重合，否则没有平面
BDM），故选C.
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6. 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行
的是（　　）
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解析：　由题意可知经过P，Q，R三点的平
面即为平面PSRHNQ，如图所示，对图B、C，
可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以
图B、C中的阴影平面与平面PRQ不平行；对
图A，MC1与QN是相交直线，所以图A中的阴
影平面与平面PRQ不平行；对图D，因为A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，又易知RH，QN也相交，A1C1，BC1 平面A1C1B，RH，QN 平面PSRHNQ，故平面A1C1B∥平面PSRHNQ，图D中的阴影平面与平面PRQ平行.
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7. 如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC
的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
平行
解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC. 同理，可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
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8. 已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线
b∥a，则α与β的位置关系是 （填“平行”或“相交”）.
解析：若α∩β＝l，则在平面α内，取与l相交的直线a，设a∩l＝
A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点
A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.
平行
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9. 如图，三条直线AA1、BB1、CC1不共面，但交于一点O，若AO＝
A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位
置关系是 .
平行
解析：由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1，因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB，A1B1 平面A1B1C1，AB 平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1，同
理可得BC∥平面A1B1C1，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1.
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10. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点
M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝
PQ∶QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
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证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC.
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11. （2024·宁波月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.
若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分
条件是（　　）
A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
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解析：　对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A错
误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，n相
交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必须满足
m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内的两条
相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D
可以推出α∥β，故D正确.
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12. （多选）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说
法正确的有（　　）
A. BM∥平面DE
B. CN∥平面AF
C. 平面BDM∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCM
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解析：展开图可以折成如图①所示的正方体.
在正方体中，连接AN，如图②所示.∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN. ∴BM∥平面DE. 同
理可证CN∥平面AF，∴选项A、B正确；如图③所示，连接
NF，BE，BD，DM，CF，易证BM∥平面AFN，BD∥平面
AFN，则平面BDM∥平面AFN，∴选项C正确；易得平面BDE与
平面NCM相交，∴D不正确.
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13. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，
△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系
为 .
平行
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解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，
AB于点M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是
△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝
PN，∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC，A'C' 平
面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面
A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个
动点，E，F分别是BC，CM的中点.
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
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证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接BM，如图.
因为E，F分别是BC，CM的中点，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面
BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
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（2）设G为棱CD的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1.
证明：因为G是CD的中点，E是BC的中点，所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1，BD 平面
BDD1B1，
从而得EG∥平面BDD1B1.
由（1）知EF∥平面BDD1B1，又
EF∩EG＝E，EF，EG 平面GEF，
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
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15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是
棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面
AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　　）
A. [2， ] B.
C. [，2 ] D. [2 ，2 ]
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解析：　如图，取B1C1的中点G，BB1的中点
H，连接GH，A1G，A1H，则A1G∥AE，又
A1G 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1G∥
平面AEF，同理GH∥EF，GH 平面AEF，
EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF，因为
A1G∩GH＝G，所以平面A1GH∥平面AEF，
因为P是侧面BCC1B1内一点，
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当P点在线段GH上时，能够满足A1P∥平面AEF，因为正方
体棱长为2，由勾股定理得：A1G＝A1H＝ ，GH＝ ，故点P落在GH中点时，A1P长度最小，此时A1P＝ ＝ ，当点P与G或H重合时，长度最大，此时A1P＝ ，综
上：线段A1P长度的取值范围是 .故选B.
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16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1
上的点，且 ＝ ＝ .
（1）在图①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕
迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；
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解：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接D1M，则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M.
证明：因为四边形ABCD为正方形，所
以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以 ＝ ＝ ，
又因为 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面
A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
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（2）如图②，若R是AB上的点，当 的值为多少时，能使平面
PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
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解：当 ＝ 时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
证明：因为 ＝ ，即 ＝ ，故 ＝ ，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，由（1）知，PQ∥平面
A1D1DA，又PQ∩PR＝P，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
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第2课时　平面与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平
行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空
间线面位置关系问题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　当平面α∥平面β时，α与β没有公共点，此时，若l α，m β，
则l∩m＝ ，这就是说，l与m的位置关系是异面或平行.
【问题】　那么在什么情况下，l与m平行呢？
知识点　两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
图形语言
平行　
a∥b　
提醒　（1）用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①
平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ
和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可.（2）在应用这个定理
时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个
平面内的一切直线”的错误.
1. 已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平
面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 不确定
解析：因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故选A.
2. 已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与
n的关系是（　　）
A. 平行 B. 异面
C. 相交 D. 平行或异面
解析：　∵α∥β，∴α与β无公共点，又m α，n β，∴m与n
无公共点，∴m与n平行或异面.
3. （2024·东莞月考）如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB
＝ .

解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝
AB，∴CD∥AB，则 ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两平面平行性质定理的应用
【例1】　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，
PC的中点，M是AB上一点，连接MP，MC，N是PM与DE的交
点，连接FN，求证：FN∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以
FN∥CM.
通性通法
应用面面平行性质定理的基本步骤
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，
E，D1的平面与棱CC1交于点F.
（1）求证：四边形BFD1E为平行四边形；
解：证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面
DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面
DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
（2）试确定点F的位置.
解：取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，∴ME C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM C1F，∴F为棱CC1的中点.
题型二 与两平面平行的性质定理有关的计算
【例2】　如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与
α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，
且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝ ，故BD的长
为 .
【母题探究】
（变条件）将本例改为：若点P位于平面 α，β之间（如图），其他条
件不变，试求BD的长.
解：与本例同理，可证得AB∥CD.
所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝24，
故BD长为24.
通性通法
与平行的性质有关的计算的三个关键点
（1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定
理推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面
ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ 　 　.

解析：由题意得平面MNE∥平面ACB1，因为平面BB1C1C∩平面
MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，则由面面平行的性质
定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因为E为BB1的中点，
所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝ AC，即 ＝ .
题型三 线线、线面、面面平行的转化
【例3】　如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，
M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.
（1）求证：MN∥平面PAD；
证明：如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
在△PCD中，N，Q分别是PC，DC的中点，
所以NQ∥PD，
又NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
所以MQ∥AD，又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
（2）求证：MN∥PE.
证明：由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面
MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
通性通法
空间中各种平行关系相互转化的示意图
提醒　判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用
高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
【跟踪训练】
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1的中点.
（1）求证：AC∥平面B1DE；
证明：因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，
因为DE 平面B1DE，AC 平面B1DE，
所以AC∥平面B1DE.
（2）求证：AF∥平面B1DE.
证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC B1C1，
因为E，F分别为BC，B1C1的中点，
所以CE FB1，
所以四边形B1ECF是平行四边形，所以FC∥B1E，
因为FC 平面B1DE，B1E 平面B1DE，
所以FC∥平面B1DE，
由（1）知AC∥平面B1DE，又AC∩FC＝C，AC，FC 平面
ACF，所以平面ACF∥平面B1DE，
又AF 平面ACF，所以AF∥平面B1DE.
1. 两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是
（　　）
A. 两两相互平行
B. 两两相交于同一点
C. 两两相交但不一定交于同一点
D. 两两相互平行或交于同一点
解析：　根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两
相互平行.故选A.
2. 平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的
充要条件是（　　）
A. AB∥CD B. AD∥CB
C. AB与CD相交 D. A，B，C，D四点共面
解析：　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行
的性质知AC∥BD. 必要性显然成立.故选D.
3. （2024·珠海月考）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四
边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状
为（　　）
A. 梯形
B. 平行四边形
C. 可能是梯形也可能是平行四边形
D. 不确定
解析：　由长方体的性质：各对面平行，易知HG∥EF，
EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形.故选B.
4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥
平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点.
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面ACC1A1∩平面BC1N＝C1N，
所以C1N∥AM. 又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN＝C1M＝ A1C1＝ AC，
所以N为AC的中点.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的
位置关系可能是（　　）
A. 平行或相交 B. 相交或异面
C. 平行或异面 D. 平行、相交或异面
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解析：　当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件.故选D.
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2. 若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有
直线中（　　）
A. 不一定存在与a平行的直线
B. 只有两条与a平行的直线
C. 存在无数条与a平行的直线
D. 存在唯一一条与a平行的直线
解析：　因为直线a与点B可确定一个平面，该平面与平面β的交
线即为在平面β内过点B且与直线a平行的直线，所以只有唯一一
条.故选D.
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3. 在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交
于直线DE，则DE与AB的位置关系是（　　）
A. 异面 B. 平行
C. 相交 D. 以上均有可能
解析：　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面
A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.
又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
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4. 设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，B分别
在α，β内运动时，所有的动点C（　　）
A. 不共面
B. 当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C. 当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D. 不论A，B如何移动都共面
解析：　根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点
C均在过点C且与α，β都平行的平面上.
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5. （2024·绍兴质检）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点
E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面
AA1B1B＝A1F，则AF的长为（　　）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
解析：　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四边形A1FBE为平行四边形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.
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6. （多选）α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的
直线，则下列命题中正确的是（　　）
A. a∥b B. a∥b
C. α∥β D. a∥b
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解析：　对于A，由基本事实4可知，A正确；对于B，两条直线
都与同一个平面平行，则这两条直线可能平行，可能相交，也可能
异面，故B不正确；对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这
两个平面可能平行，也可能相交，故C不正确；对于D，由面面平
行的性质定理可知，D正确.
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7. 如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形
ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边
形ABCD的形状一定是 .
解析：由夹在两平行平面间的平行线段相等可得.
平行四边形
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8. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别
交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则
S△A'B'C'∶S△ABC＝ .

解析：∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）2＝（ ）2＝ .
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9. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，
n α，m，n β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③
m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成的
命题中，一个正确的推理应是
（答案不唯一）.
①②③→④（或①②④→③）
解析：若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n β，有④n∥β成立，
正确；若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或
异面，错误；若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m α，所以有③
m∥α成立，正确；若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可
能相交、平行.
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10. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，
AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D.
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证明：易知BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以
BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
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11. 如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中
点，点N在线段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，则此
棱台上下底面边长的比值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　设E为CD的中点，G为EC的中点，
连接MG，NG，C'E，则NG∥AD，则平面
MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平
面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则
MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中
点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG. 所以DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为 .
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12. （多选）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在
A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是
AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的
是（　　）
A. EF∥GH
B. GH∥平面A1EF
C. ＝
D. 平面A1EF∥平面BCC1B1
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解析：　由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，
＝ .在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个
平面平行的性质可得GH∥BC，而GH经过△A1B1C1的重心，所
以 ＝ ，所以 ＝ ，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平
面A1EF，所以GH∥平面A1EF. 因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，
所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交.
故A、B、C正确，D错误.
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13. （2024·青岛月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上一
点，且DE＝2EC，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点
H，则 ＝ 　 　.
解析：如图，连接FH，EH，因为ABCD-
A1B1C1D1是正方体，所以平面A1B1BA∥平面
D1C1CD，因为平面BEHF∩平面A1B1BA＝
BF，平面BEHF∩平面D1C1CD＝EH，所以
BF∥EH， ＝ ＝ DH＝ DE＝ ×
DC＝ DC＝ DD1，所以 ＝ .

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14. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
证明：由题设知BB1 DD1，所以
四边形BB1D1D是平行四边形，所以
BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1 B1C1 BC，
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所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
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（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明：由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形
BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
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15. 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，N
分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中点，点M在四边形
EFGH及其内部运动，则M只需满足条件
时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：请填上你认为
正确的一个条件即可）
点M在线段FH上（答
案不唯一）
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解析：取B1C1的中点Q，连接QN，QF，连
接FH，NH，如图，由已知得QN，FH与
CC1，BB1都平行且相等，因此FH与QN平行
且相等，从而FQNH是平行四边形，
FQ∥HN，由H，N分别是CD，CB的中
点，则HN∥BD，又HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，又HN∩NQ＝N，HN，NQ 平面FQNH，所以平面FQNH∥平面BB1D1D，因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1.
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16. 如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩
形ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面
FAD；
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解：证明：在平面图形中，
设MN与AB交于点G.
由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有
AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AE∥DB.
又∵AM＝DN，
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴MN∥AD.
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折叠之后，
MG∥AF，
NG∥AD，
MG∩NG＝G，
AD∩AF＝A，示
意图如图①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD.
∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
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（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这
个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能
否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.
解：这个结论不正确.
要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当F，A，D共线时，由平面图形，易证得
FD∥MN.
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折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可.
若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.
由平面图形知，若要DN和FM共面，则DN与FM相交于点B（M，N分别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它们确定一个平面，
即F，D，N，M四点共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
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