资源简介 (共62张PPT)第2课时 平面与平面垂直的性质新课程标准解读 核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理1. 在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直.2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.【问题】 通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？知识点 平面与平面垂直的性质定理文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面 符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β图形语言交线 垂直 a α a⊥l 提醒 （1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.【想一想】如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？提示：正确.1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）A. α∥γB. α⊥γC. α与γ相交但不垂直D. 以上都有可能解析： 在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（ ）A. ME⊥平面ABCDB. ME 平面ABCDC. ME∥平面ABCDD. 以上都有可能解析： ∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故选A.3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是 .解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.平行典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 垂直关系的相互转化【例1】 已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为（ ）A. ①② B. ③C. ②③ D. ①②③解析： 对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.通性通法垂直关系的转化 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：【跟踪训练】（多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若m β，α⊥β，则m⊥αB. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC. 若m⊥β，m∥α，则α⊥βD. 若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ解析： 由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m' α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D.题型二 平面与平面垂直的性质及应用【例2】 （2024·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.求证：（1）PE⊥平面ABCD；证明：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，所以PE⊥平面ABCD.（2）平面PBE⊥平面ABCD.证明：由（1）知PE⊥平面ABCD，又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.通性通法1. 面面垂直 线面垂直 线线垂直.由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线.2. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.【跟踪训练】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.题型三 空间垂直关系的综合应用【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.求证：（1）PA⊥平面ABCD；证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）BE∥平面PAD；证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）平面BEF⊥平面PCD.证明：由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.通性通法1. 熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.2. 垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.【跟踪训练】如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.（1）求证：AM⊥平面EBC；解：证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE. 又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.（2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值.解：取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，所以EA⊥平面ABC，因为CF 平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.在Rt△CFE中，CF＝ ，FE＝ ，tan∠CEF＝ ＝ ＝ .1. 下列命题中错误的是（ ）A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析： 如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中命题错误.2. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（ ）A. 平行 B. 共面C. 垂直 D. 不垂直解析： 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.3. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 .45°解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°.4. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC. 求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC. 又BC 平面ABC，所以PA⊥BC.因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12345678910111213141516解析： ①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.故选A.123456789101112131415162. 设α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则（ ）A. a与b可能垂直，但不可能平行B. a与b可能垂直也可能平行C. a与b不可能垂直，但可能平行D. a与b不可能垂直，也不可能平行12345678910111213141516解析： ∵α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可能平行.故选C.123456789101112131415163. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在（ ）A. 直线AB上 B. 直线BC上C. 直线AC上 D. △ABC内部解析： 连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.123456789101112131415164. 已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为（ ）12345678910111213141516解析： ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边△ABD边长为3，则S△ABD＝ AB·AD· sin 60°＝ ，又BD＝CD＝3，故V四面体ABCD＝ CD·S△ABD＝ .故选C.123456789101112131415165. （多选）已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是（ ）A. 若α⊥β，β∥γ，则α⊥γB. 若α⊥β，则存在l α，使得l∥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γD. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β12345678910111213141516解析： 对选项A，因为α⊥β，所以存在直线a α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a α，所以α⊥γ，故A正确；对选项B，如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l α，使得l∥β，故B正确；对选项C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m α，m β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；对选项D，如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误.故选A、B、C.123456789101112131415166. （多选）（2024·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）A. BC∥平面PDFB. DF⊥平面PAEC. 平面PDF⊥平面PAED. 平面PDF⊥平面ABC12345678910111213141516解析： 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE. 因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C.123456789101112131415167. 已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系是 .解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.a α或a∥α123456789101112131415168. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ .解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC. 又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝ . 123456789101112131415169. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则 ＝ .2解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.1234567891011121314151610. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD. 求证：平面PAB⊥平面PBD.12345678910111213141516证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.因为PA＝PD＝ AD，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PA⊥PD.又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.1234567891011121314151611. 如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点12345678910111213141516解析： 因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.1234567891011121314151612. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（ ）A. 平面PAB⊥平面PADB. 平面PAD⊥平面PDCC. AB⊥PDD. 平面PAD⊥平面PBC12345678910111213141516解析： ∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB. ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C.1234567891011121314151613. （2024·泉州月考）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.则M点的轨迹的长度为 .π12345678910111213141516解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为 ＝π.1234567891011121314151614. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：（1）BG⊥平面PAD；证明：因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD∩平面ABD＝AD，平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，所以BG⊥平面PAD.12345678910111213141516（2）AD⊥PB.证明：由（1）可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.1234567891011121314151615. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），则（ ）C. 对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直D. 存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直12345678910111213141516解析： 当k＝ 时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM. 又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝ BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC. 又DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 故选A.1234567891011121314151616. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.（1）求证：EF⊥平面BCG；12345678910111213141516解：证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面BGC，∴AD⊥平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.12345678910111213141516（2）求三棱锥D-BCG的体积.解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，∴AO⊥平面BCD.∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.12345678910111213141516在△AOB中，AO＝AB· sin 60°＝ ，∴h＝ .在△BCD中，BF＝BD· cos 60°＝2× ＝1，DF＝BD· sin 60°＝ ，∴DC＝2 ，故S△DCB＝ BF·DC＝ ×1×2 ＝ ，∴VD-BCG＝VG-BCD＝ S△DCB·h＝ × × ＝ .12345678910111213141516(共66张PPT)第1课时 平面与平面垂直的判定新课程标准解读 核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.【问题】 你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？知识点一 二面角1. 定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角.半平面 2. 相关概念二面角的棱 二面角的面 记法AB（l） α，β 二面角α-AB-β；二面角α-l-β；二面角P-l-Q；二面角P-AB-Q3. 二面角的平面角（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上 ，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；（2）范围： ；任取一点O 垂直 0°≤∠AOB≤180° （3）直二面角：平面角是直角的二面角.【想一想】二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.知识点二 平面与平面垂直1. 平面与平面垂直的定义（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直；（2）画法：（3）记作： .直二面角 α⊥β 2. 平面与平面垂直的判定定理文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直符号语言 a α，a⊥β α⊥β图形语言提醒 判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.垂线 【想一想】“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.1. 如图所示的二面角可记为（ ）A. α-β-l B. M-l-NC. l-M-N D. l-β-α解析： 根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.2. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（ ）A. AO⊥BO，AO α，BO βB. AO⊥l，BO⊥lC. AB⊥l，AO α，BO βD. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面ABC1D1的平面有 .平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面ADD1A1解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平面A1B1CD.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 二面角的计算【例1】 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.（1）求二面角A-PD-C的大小；解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的大小为90°.（2）求二面角B-PA-C的大小.解：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B-PA-C的大小为45°.通性通法求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”.提醒 作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.【跟踪训练】（2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（ ）解析： 由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故选B.题型二 平面与平面垂直的证明【例2】 如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC.证明：法一（定义法） 因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.在Rt△ABD中，AD＝ a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二（判定定理法） 因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.通性通法证明面面垂直常用的方法（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.【跟踪训练】1. 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3 ，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面ABC，则AA1⊥BN.因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC.因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面AA1C1C，BN⊥ME.又AB＝4，AA1＝3 ，A1E＝2EA，所以EA＝ ，A1E＝2 ，因为 ＝ ＝ ，∠NAE＝∠EA1M＝90°，所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故EN⊥ME.因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN.1. 下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（ ）A. 0 B. 1C. 2 D. 3解析： 根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②③都不正确.故选A.2. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（ ）A. 相等 B. 互补C. 相等或互补 D. 关系无法确定解析： 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.3. （2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为 .45°解析：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.4. 如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.又AD 平面ABD，AD 平面ACD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角.其中可能为钝角的有（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解析： 异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.123456789101112131415162. 下列命题中正确的是（ ）A. 平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β解析： 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.123456789101112131415163. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（ ）A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°解析： 三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.123456789101112131415164. 如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该几何体的表面中相互垂直的面有（ ）A. 2对 B. 3对C. 4对 D. 5对12345678910111213141516解析： 由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；因为PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，则平面PAB⊥平面PAD；因为PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，则平面PBC⊥平面PAB；因为PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD. 所以题图中相互垂直的面共有5对，选D.123456789101112131415165. （多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. 若α∥β，l∥β，则l∥αB. 若l⊥α，l⊥β，则α∥βC. 若l⊥α，l∥β，则α⊥βD. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α12345678910111213141516解析： 对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C.123456789101112131415166. （多选）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝ ，构成三棱锥A'-BCD，则（ ）A. 平面A'BD⊥平面BDCB. 平面A'BD⊥平面A'BCC. 平面A'DC⊥平面BDCD. 平面A'DC⊥平面A'BC12345678910111213141516解析： 在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝ ，易知DC＝ ，又A'C＝ ，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.123456789101112131415167. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是 .（填“垂直”或“不垂直”）解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD. 又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.垂直123456789101112131415168. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝ .1解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝＝1.123456789101112131415169. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为 .30°12345678910111213141516解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2，所以CO⊥BD，CO＝ .因为CD＝BC，所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD. 所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.因为tan∠C1OC＝ ＝ ＝ ，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°.1234567891011121314151610. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2 ，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小.解：如图，取AB的中点E，连接VE，CE.因为VA＝VB＝AC＝BC＝2，所以由等腰三角形的性质，可得VE⊥AB，CE⊥AB，所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.由AB＝2 ，可知EB＝ AB＝ .12345678910111213141516又VB＝2，所以在Rt△VEB中，VE＝ ＝1，同理EC＝1，所以VE＝EC＝VC＝1，所以△VEC为正三角形，所以∠VEC＝60°.1234567891011121314151611. （2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝ ，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为（ ）12345678910111213141516解析： 由题意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝ 且∠ABD＝ ，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝ ，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝ ＝ ，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝ .1234567891011121314151612. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）A. 平面EFG∥平面PBCB. 平面EFG⊥平面ABCC. ∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D. ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角12345678910111213141516解析： 对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC. 同理，EG∥平面PBC. 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.1234567891011121314151613. （2024·珠海月考）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.解析：易证△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易证△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.BM⊥PC（或DM⊥PC）1234567891011121314151614. 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：（1）DE＝DA；12345678910111213141516证明：设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC.因为EF＝a，BC＝2a，所以DE＝ ＝ a.又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝ ＝ a，所以DE＝DA.12345678910111213141516（2）平面BDM⊥平面ECA；证明：如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB，所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.12345678910111213141516由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.（3）平面DEA⊥平面ECA.证明：由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.1234567891011121314151615. 在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是 .解析：如图所示，P为二面角α-l-β的一个面α内一点，PO是它到另一个面β的距离，PH是它到棱的距离为10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO为二面角α-l-β的平面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH· sin60°＝10× ＝5 .51234567891011121314151616. （2024·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形.（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；解：证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.因为AA1 平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.12345678910111213141516（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.解：过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）.由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，又BH∩BB1＝B，所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.12345678910111213141516由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，所以B1H＝ ＝ ，故 cos ∠BHB1＝ ＝ .12345678910111213141516 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第1课时 平面与平面垂直的判定.pptx 第2课时 平面与平面垂直的性质.pptx
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