资源简介 (共62张PPT)第2课时 相互独立事件概率的应用目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动 关键能力提升题型一 相互独立事件乘法公式的应用【例1】 （2024·淄博月考）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设每人回答问题正确与否相互独立.（1）求乙答对这道题的概率；解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P（B）＝x，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（ 1－ ）×（1－x）＝ ，解得x＝ ，所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ .（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，设丙答对这道题的概率P（C）＝y.由（1），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P（BC）＝P（B）P（C）＝ ×y＝ ，解得y＝ .甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝（ 1－ ）×（ 1－ ）×（ 1－ ）＝ .因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率为P（M）＝1－ ＝ .通性通法用相互独立事件的乘法公式解题的步骤（1）用恰当的字母表示题中有关事件；（2）根据题设条件，分析事件间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；（4）利用乘法公式计算概率.【跟踪训练】甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2， ，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为 ，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为 .设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.（1）求p1，p2；解：由题意知P（A）＝p1，P（B）＝p2，P（C）＝ ，A，B，C为相互独立事件，所以甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率P（A C）＝P（A）P（ ）P（C）＝ p1（1－p2）＝ ，乙击中目标而丙没有击中目标的概率P（B ）＝P（B）P（ ）＝ p2＝ ，解得p1＝ ，p2＝ .（2）写出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件，并求事件A∪B∪C发生的概率.解：事件A∪B∪C包含的互斥事件有：ABC， BC，A C，AB ， C， B ，A ，P（A∪B∪C）＝1－P（ ）＝1－ × × ＝1－ ＝ .题型二 相互独立事件的综合应用【例2】 一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能答对的概率分别为p， ， ，且每道题答对与否相互独立.（1）当p＝ 时，求考生填空题得20分的概率；解：设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C.考生填空题得20分的概率P（A）＝ × × ＝ .（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值.解：P（B）＝p× ×（1－ ）＋p×（1－ ）× ＋（1－p）× × ＝ p＋ ，P（C）＝p×（1－ ）×（1－ ）＋（1－p）× ×（1－）＋（1－p）×（1－ ）× ＝ － p.由P（B）＝P（C），解得p＝ .通性通法求较复杂事件的概率的一般步骤（1）列出题中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.【跟踪训练】（2024·开封月考）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；解：设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），又打了X个球比赛结束，则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）＋P（ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.解：P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2A3A4）＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P（A3）P（A4）＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.题型三 统计与事件相互独立性的综合应用【例3】 2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长，某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5），[7.5，8.5），[8.5，9.5），[9.5，10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.（1）求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；解：由频率分布直方图，可得0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，则a＋b＝0.55， ①因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，所以0.05＋0.12＋a＋（8.1－7.5）×b＝0.6，则a＋0.6b＝0.43， ②将①与②联立，解得所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72.（2）在100位居民中随机抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率.解：根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则P（A）＝P（B）＝P（C）＝0.3.①“抽取的3人中有2人在[7.5，8.5）内”为事件AB ∪AC∪ BC，且AB 与A C与 BC两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立的定义，得P1＝P（AB ∪A C∪ BC）＝0.3×0.3×（1－0.3）＋0.3×（1－0.3）×0.3＋（1－0.3）×0.3×0.3＝0.189.②“抽取的3人中有3人在[7.5，8.5）内”为事件ABC，由相互独立的定义，得P2＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝0.3×0.3×0.3＝0.027.所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率为P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216.通性通法求统计与事件相互独立性综合问题的步骤（1）由统计图表及文字叙述厘清问题中所涉及的事件，对应该事件的数据，并用字母表示；（2）研析各事件的相互关系（互斥、对立、相互独立）以及和事件、积事件等；（3）利用事件间的关系及相应的概率公式求解.提醒 （1）注意公式的正用和逆用；（2）只有明确了两事件具有的关系后，才能使用相应的概率公式.【跟踪训练】某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理成下表.规定：总分≥60体质健康为合格.等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分优秀 [90，100] 5 91.3 2 91良好 [80，89.9] 4 83.9 4 84.1及格 [60，79.9] 8 70 11 70.2不及格 60以下 3 49.6 3 49.1总计 — 20 — 20 —（1）从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康等级是合格的概率；解：样本中体质健康等级是合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40，所以这名学生体质健康等级是合格的概率为 ＝ .（2）从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率.解：设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优秀”，则P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ .因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）[1－P（B）]＋[1－P（A）]P（B）＝ ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝ .1. 从高中应届生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，其他综合标准合格的概率为 ，三项标准互不影响，从中任选一学生，则三项均合格的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 由题意知三项标准互不影响，∴P＝ × × ＝ .2. 某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为（ ）A. 0.7 B. 0.91C. 0.973 D. 0.981解析： 由题意知，小王最终通过面试的概率为P＝0.7＋0.3×0.7＋0.3×0.3×0.7＝0.973.3. （多选）将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一次，记事件A＝“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件 B＝“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”.则下列结论正确的是（ ）A. P（A）＝ B. P（AB）＝C. P（ABC）＝ D. P（B）＝解析： 由题意知P（A）＝ ＝ ，故A正确；∵P（B）＝＝ ，事件A与B相互独立，∴P（AB）＝ × ＝ ，故B正确，D错误；∵事件AB与事件C为互斥事件，∴P（ABC）＝0，故C错误.4. 某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽.已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 .0.492解析：记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，则P（A）＝0.5×0.6＝0.3，P（B）＝0.6×0.8＝0.48，P（ ）＝0.7，P（ ）＝0.52，故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）＋P（ ）P（B）＝0.3×0.52＋0.7×0.48＝0.492.知能演练·扣课标02课后巩固 核心素养落地1. （2024·济宁月考）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）A. 0.48 B. 0.4C. 0.32 D. 0.24解析：由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×（1－0.5）＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24.123456789101112131415162. （2024·杭州月考）甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概率是 ，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 若三人均未击中目标，则概率为 × × ＝ ，∴目标被击中的概率为P＝1－ ＝ .故选D.123456789101112131415163. （2024·舟山月考）某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为 ， ， ，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516解析： 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（C）＝ .因遇红灯停车一次即为事件 BC＋A C＋AB ，故概率P＝（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ × ×（1－ ）＝ .123456789101112131415164. （2024·南京月考）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516解析： 记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝ × ＝ ，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝ ，求得P（B）＝ ，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为 .123456789101112131415165. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516解析： 设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件 为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件 为“取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件与 相互独立，∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB∪ ）＝P（AB）＋P（ ）＝P（A）P（B）＋P（ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ .123456789101112131415166. 某校组织《最强大脑》竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516解析： 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜.所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝（ ）3＋ × × ＋ × × ＝ .故选C.123456789101112131415167. （2024·南平月考）某学校举行乒乓球比赛，采取五局三胜制，甲、乙两位同学角逐冠亚军.若甲发球甲获胜的概率为 ，乙发球甲获胜的概率为 ，要求甲先发球后交替进行，则打满3局甲一举夺冠的概率为 .解析：发球顺序是：甲、乙、甲，所以打满3局甲一举夺冠的概率为 × × ＝ . 123456789101112131415168. 小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A，B，C三道题且每个问题的回答结果相互独立.已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表：A题分值：3分 B题分值：3分 C题分值：4分答对的概率 0.6 0.5 0.4记小明所得总分为X（分），则 ＝ .解析：由已知得P（X＝3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝0.3，P（X＝10）＝0.6×0.5×0.4＝0.12，所以 ＝ . 123456789101112131415169. 国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是 ， ， ， ，且各轮考核能否通过互不影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为 . 12345678910111213141516解析：设事件Ai（i＝1，2，3，4）表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ，P（A4）＝ ，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P（C）＝P（ ＋A1 ＋A1A2 ）＝P（ ）＋P（A1 ）＋P（A1A2 ）＝ ＋ × ＋ × × ＝ .1234567891011121314151610. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是 ，三人都做对的概率是 ，三人都做错的概率是 .（1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；12345678910111213141516解：设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A，B，C，则P（A）＝ ，由题意得解得或所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 和 或 和 .12345678910111213141516（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率.解：设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D，则P（D）＝P（A）P（ ）P（ ）＋P（ ）P（B）P（ ）＋P（ ）P（ ）P（ C ）＝ ＋ ＋ ＝ .所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 .1234567891011121314151611. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独立互不交流），至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1）（ ）A. 15 B. 16C. 17 D. 1812345678910111213141516解析： 设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率为99%，则 ≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家.1234567891011121314151612. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ ××（1－ × ）＝ ，所以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C.1234567891011121314151613. （2024·湛江月考）在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片荷叶上的概率是 . 12345678910111213141516解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率为 ，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝ × × ＝ ；第二条：A→C→B→A，P2＝ × × ＝ ，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ .1234567891011121314151614. 为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：200元 300元 400元 500元老年 0.4 0.3 0.2 0.1中年 0.3 0.4 0.2 0.1青年 0.3 0.3 0.2 0.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.12345678910111213141516（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；解：设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.12345678910111213141516（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.解：消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01，消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033，0.002＋0.01＋0.033＝0.045，所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.1234567891011121314151615. （2024·宁波质检）某单位举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为 ， ， ， ，则该选手进入第二轮答题的概率为 ；该选手最终获得奖金的概率为 . 12345678910111213141516解析：选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为× × × ＝ ，第二轮通过的概率为 ＋ × × × ＋× × × ＋ × × × ＋ × × × ＝ ＋ ＋ ＋ ＋＝ ，该选手最终获得奖金的概率为 × ＝ .1234567891011121314151616. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.12345678910111213141516（1）D＝A1BC＋A2B＋A2 C，P（B）＝0.6，P（C）＝0.4，P（A1）＝2×0.5×0.5＝0.5，P（A2）＝0.5×0.5＝0.25，所以P（D）＝P（A1BC＋A2B＋A2 C）＝P（A1BC）＋P（A2B）＋P（A2 C）＝P（A1）P（B）·P（C）＋P（A2）P（B）＋P（A2）P（ ）P（C）＝0.31.12345678910111213141516（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.解： 由（1）知，若k＝2，则P（F）＝0.31＞0.1.又E＝BCA2，所以P（E）＝P（BCA2）＝P（B）P（C）P（A2）＝0.06.若k＝3，则P（F）＝0.06＜0.1.所以k的最小值为3.12345678910111213141516(共38张PPT)拓 视 野 互斥与独立事件关系的判断1. 互斥事件与独立事件的区别与联系从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容.2. 互斥事件与独立事件的运算性质已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）A，B中至少有一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（ ）P（ ）或P（A）＋P（B）－P（AB）A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P（B）事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）A，B都不发生 P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（ ）P（ ）A，B恰有一个发生 P（A ∪ B） P（A）＋P（B） P（A）P（ ）＋P（ ）P（B）A，B中至多有一个发生 P（ ∪A∪ B） 1 1－P（A）P（B）【例1】 （2024·南阳月考）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P（A）＝ ，且有即所以P（B）＝ ，P（C）＝ .（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解：有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝ × × ＝ ，有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A ＋ B ＋ C）＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－ － ＝ .【例2】 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？解：设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得：P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，记为 ，根据对立事件的概率公式，得P（ ）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.知能演练·扣课标课后巩固 核心素养落地1. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则两粒种子都发芽的概率是（ ）A. 0.26 B. 0.08C. 0.18 D. 0.72解析： 由题设，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D.123456789101112131415162. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（ ）A. A与B相互独立 B. A与C互斥C. B与C互斥 D. 与 相互独立解析： 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确.123456789101112131415163. 下列各对事件中，是相互独立事件的为（ ）A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”12345678910111213141516解析： 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故事件A，B不相互独立.123456789101112131415164. （2024·徐州月考）端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是 ， ， ，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516解析： 由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ × × ＝ ，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为1－ ＝ .123456789101112131415165. （多选）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝，则（ ）A. P（ ）＝ B. P（A ）＝C. P（A＋B）＝ D. P（A ＋ B）＝12345678910111213141516解析： 根据事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝ ，可得P（ ）＝1－P（A）＝1－ ＝ ，故A正确；而P（ ）＝1－P（B）＝1－ ＝ ，所以P（A ）＝P（A）P（ ）＝ × ＝ ，故B错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝× ＝ ，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋ － ＝ ，故C正确；由概率加法公式可得P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ ，故D错误.123456789101112131415166. （多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为 ，乙成功的概率为 ，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为 .则（ ）A. 甲、乙都研发成功的概率为B. 疫苗A研发成功的概率为C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为12345678910111213141516解析： 用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A. 根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝ ；B. 由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（ ）＝ ；C. 两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝ ；D. 所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝ .故选A、C、D.123456789101112131415167. 设P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，且A与B相互独立，则P（AB）＝ ，P（A∪B）＝ .解析：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56.P（A∪B）＝1－P（ ）P（ ）＝1－0.3×0.2＝0.94.0.560.94123456789101112131415168. 甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是 ，则这道数学题被解出的概率是 .解析：由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝ ×＝ ，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝ . 123456789101112131415169. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：购买A种医用外科口罩 购买B种医用外科口罩 购买C种医用外科口罩甲 0.1 0.4乙 0.3 0.2则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 .解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.0.281234567891011121314151610. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 ，乙投篮命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.（1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；12345678910111213141516解：记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝ ，P（B）＝ ，因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立，那么恰好有1人命中的概率P＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ .12345678910111213141516（2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.解：由（1）知，两人都没有命中的概率为P（ ）＝ × ＝ ，所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（ ）＝ .1234567891011121314151611. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A. 0.960 B. 0.864C. 0.720 D. 0.57612345678910111213141516解析： 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P（ ）P（ ）＝1－（1－0.8）×（1－0.8）＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.1234567891011121314151612. 已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为（ ）A. B. C. D.12345678910111213141516解析： 因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是 ，， ，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概率为 × × ＝ ，仅甲和丙被录取的概率为 ×× ＝ ，仅乙和丙被录取的概率为 × × ＝ ，则他们三人中恰有两人被录取的概率为 ＋ ＋ ＝ .1234567891011121314151613. 设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）＝ . 解析：由题意知，P（ ）·P（ ）＝ ，P（ ）·P（B）＝P（A）·P（ ）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，1），则即∴x2－2x＋1＝ ，解得x＝ 或x＝ （舍去），故P（A）＝ .1234567891011121314151614. 某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是 ，， ， ，且每个环节是否通过互不影响.求：（1）此人进入第四环节才被淘汰的概率；解：由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率为 × × ×（1－ ）＝ .12345678910111213141516（2）此人至多进入第三环节的概率.解：法一 此人进入第一环节被淘汰的概率为1－ ＝ ；此人进入第二环节被淘汰的概率为×（1－ ）＝ ；此人进入第三环节被淘汰的概率为× ×（1－ ）＝ ，所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋ ＋ ＝ .法二 此人进入第四环节的概率为 × × ＝ ，所以此人至多进入第三环节的概率为1－ ＝ .1234567891011121314151615. 甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则甲队获得冠军的概率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516解析： 由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率为 ＋ ＝ ，故选D.1234567891011121314151616. 某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？12345678910111213141516解：设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝ × ＝ ，P（B1B2）＝P（B1）P（B2）＝ × ＝ ，∵ ＞ ，∴派甲参赛获胜的概率更大.12345678910111213141516（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.解：由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，∵P（ ）＝1－P（A1A2）＝1－ ＝ ，P（ ）＝1－P（B1B2）＝1－ ＝ .设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”.∴P（E）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）＝1－ × ＝ .12345678910111213141516(共33张PPT)10.2 事件的相互独立性新课程标准解读 核心素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？知识点 事件的相互独立性1. 相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.P（A）P（B） 2. 相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件与事件B ，事件 与事件 .提醒 两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.相互独立 相互独立 相互独立 3. 推广两个事件的相互独立性可以推广到n（n＞2，n∈N*）个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等同的.1. 掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（ ）A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥解析： 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ × ，即P（AB）＝P（A）P（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.2. 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为（ ）A. 0.8 B. 0.7C. 0.56 D. 0.1解析： 由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.3. 甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，求这两个人中恰有一人获得一等奖的概率.解：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是 × ＋ × ＝ .典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 相互独立事件的判断【例1】 （2024·威海月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立解析： 事件甲发生的概率P（甲）＝ ，事件乙发生的概率P（乙）＝ ，事件丙发生的概率P（丙）＝ ，事件丁发生的概率P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.通性通法两个事件是否相互独立的判断（1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利用P（AB）＝P（A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立；（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件.【跟踪训练】甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥解析： 同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.题型二 相互独立事件的性质及应用【例2】 （多选）设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确的命题为（ ）A. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则 ， 为相互独立事件B. 若P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则M，N为相互独立事件C. 若P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则 ，N为相互独立事件D. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则M，N为相互独立事件解析： P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知 ， 为相互独立事件，故A正确；P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（M）＝1－P（ ）＝ ，P（MN）＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则P（N）＝1－P（ ）＝ ，P（M）P（N）＝ × ＝ ≠P（MN），故由相互独立事件的性质知 ，N不相互独立，故C错误；P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则P（MN）＝1－P（ ）＝ ＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确，故选A、B、D.通性通法相互独立事件的性质（1）如果事件A和事件B相互独立，那么它们中的任何一个事件也相互独立，也就是说，如果事件A和事件B可以同时发生，但它们发生的概率互不影响，那么事件A和事件B相互独立；（2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.提醒 概率为0的事件与任何事件相互独立.【跟踪训练】（2024·青岛月考）对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A ）＝（ ）A. 0.42 B. 0.28C. 0.12 D. 0.18解析： 由相互独立事件的性质知A与 也相互独立，所以P（A ）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.题型三 相互独立事件的概率【例3】 （2024·阳江月考）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：（1）两人都能破译的概率；解：由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，所以两人都能破译的概率为 × ＝ .（2）恰有一人能破译的概率；解：恰有一人能破译的概率为 ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝.（3）至多有一人能破译的概率.解：事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件，所以至多有一人能破译的概率为1－ × ＝1－ ＝ .通性通法1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的；（2）求出每个事件的概率，再求积.2. 使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.【跟踪训练】1. 甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P（M）＝ ＝ ，P（N）＝ ＝ ，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝ × ＝ .2. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 ， ， ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 .解析：加工出来的零件的正品率是（1－ ）×（1－ ）×（1－）＝ ，因此加工出来的零件的次品率为1－ ＝ . 1. 若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关系是（ ）A. 互斥 B. 相互独立C. 互为对立 D. 无法判断解析： 因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝ ，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选B.2. （2024·莆田月考）甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（ ）A. 0.3 B. 0.63C. 0.7 D. 0.9解析： 设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B.3. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是 .解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）＝ ，所以淋雨的可能性为P（A）P（ ）＝ × ＝ . 4. 一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.（1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”；解：有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影响，它们是相互独立事件.解：无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，2，3，则样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2）}，共包含6个样本点，A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}.因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ，所以P（AB）≠P（A）P（ B ），所以事件A，B不是相互独立事件.（2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”.试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 拓 视 野 互斥与独立事件关系的判断.pptx 第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率.pptx 第2课时 相互独立事件概率的应用.pptx
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