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第五章
一元函数的导数及应用
人教A版2019选择性必修第二册·高二
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
（第2课时）
新知导入
上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念吗？
若函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，且f ′(a) = 0；同时在点x=a附近的左侧f ′(x) < 0,右侧f ′(x) > 0,就把a叫做函数y=f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极小值.
若函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，且f ′(b) = 0；同时在点x=b附近的左侧f ′(x) > 0,右侧f ′(x) < 0,就把b叫做函数y=f (x)的极大值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极大值.
新知导入
在必修一中我们还学习了函数的最大值和最小值，它们又是如何定义的？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m
那么，称m是函数y=f(x)的最小值 .
新知导入
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？
新知探究
问题1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
极大值：
f(x2), f(x4), f(x6)
极小值：
f(x1), f(x3), f(x5)
追问 进一步,你能找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？
最大值：f(a)
最小值：f(x3)
新知探究
问题2 观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
新知探究
追问1 以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值呢？
不是!
新知探究
追问2 什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？
O
x
y
a
b
y=f(x)
y=f(x)
O
x
y
a
b
O
x
y
a
b
y=f(x)
O
x
y
a
b
y=f(x)
有最大无最小
无最大无最小
有最大有最小
无最大有最小
结论1:在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
结论2:若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得.
新知探究
结论: 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
追问3 那闭区间呢？
最大值：f(a)
最小值：f(x3)
追问4 如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢？
求最值的方法：只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.
新知探究
追问4 函数最值与极值有什么关系？
1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.
2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.
3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.
典例分析
例6
解：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
f′(x)
f(x)
x
y
O
4
2
3
新知探究
问题3 能否根据例题总结一下求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤？
① 求函数f(x)在(a, b)内的极值；
② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)；
③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
新知探究
回顾例4中的图，我们发现，当时，
除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方.
怎么证明这个结论呢？
我们将不等式转化为：
（恒成立问题）
新知探究
例
所以,当x=1时, s(x)取得最小值.
x (0, 1) 1 ( 1, +∞)
s '(x) 0
s (x)
–
+
单调递减
单调递增
所以, s(x) ≥ s(1)=0, 即
故当x>0时, .
解：
课后练习
课本练习
课本P94
解：
x 0 (0, ) (, 2) 2
f′(x)
f(x)
课后练习
课本练习
课本P94
解：
x －4 （－4，－3） －3 （－3，3） 3 （3，4） 4
f′(x)
f(x)
课后练习
课本练习
课本P94
解：
x － (－, 2) 2 (2, 3) 3
f′(x)
f(x)
课后练习
课本练习
课本P94
解：
课后练习
课本练习
课本P94
所以,当x=1时, f(x)取得最小值.
x (0, 1) 1 ( 1, +∞)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0
解：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0
令f '(x)=0，解得x=1
故当x>0时, lnx≤ x－1.
x
y
O
y=x-1
y=lnx
除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1
在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方.(共17张PPT)
第五章
一元函数的导数及应用
人教A版2019选择性必修第二册·高二
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
（第1课时）
新知探究
问题1 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.函数h(t)在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地, 导数的符号有什么变化规律
x
y
O
a
b
(1)
放大t=a附近的图象, 如图(2)所示.
单调递增
单调递减
新知探究
由图可以看出,
(1) h′(a)=0;
(2)在t=a的附近,
当t0;
当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.
这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
思考 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢
新知探究
问题2.1 如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
以x=a, b两点为例
函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.
函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.
新知探究
问题2.2 y=f (x)在这些点处的导数值是多少？
f ′(a)=0
f ′(b)=0
新知探究
问题2.3 在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
在x=a附近
左侧f ′(x)<0,
右侧f ′(x)>0
在x=b附近
左侧f ′(x)>0,
右侧f ′(x)<0
定义新知
极值点与极值的定义：
若函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，且f ′(a) = 0；同时在点x=a附近的左侧f ′(x) < 0,右侧f ′(x) > 0,就把a叫做函数y=f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极小值.
若函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都小，且f ′(b) = 0；同时在点x=b附近的左侧f ′(x) > 0,右侧f ′(x) < 0,就把b叫做函数y=f (x)的极大值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极大值.
新知辨析
辨析1 一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？
不一定
辨析2 一个函数的极小值一定小于极大值吗？
不一定
辨析3 任何一个函数一定有极大值或极小值吗？
不一定
极值反映了函数在某点附近的大小，
刻画了函数的局部性质.
(1) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
(2) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
新知辨析
问题3 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点
不一定
x
y
O
y＝x3
例如：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2
当x=0时， f ′(0)=0
当x≠0时， f ′(x)>0
又因为函数 f(x)= x3是增函数
所以0不是函数 f(x)= x3的极值点.
新知辨析
追问2 函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？
x0左右侧导数异号
f ′(x0)=0
x0为极值点


追问1 f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？
f ′(x0)=0
x0是函数 f (x) 的极值点
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
f ′(x0)=0


结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
结论：对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
典例分析
例5
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f ′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
新知探究
问题4 如何求函数的极大值或是极小值？
求可导函数f (x)极值的步骤：
（1）确定函数的定义域
（2） 求导数f ′(x)；
（3）求方程f ′(x)=0的根
（4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f (x)在这个根处取极值的情况：
①如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
x0
f ′(x)<0
f ′(x)>0
②如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
x0
f ′(x)<0
f ′(x)>0
课后练习
课本练习
课本P92
1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
课后练习
课本练习
课本P92
解：
x
f′(x)
f(x)
课后练习
课本练习
课本P92
解：
x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课后练习
课本练习
课本P92
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
课后练习
课本练习
课本P92
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞)
f′(x)
f(x)

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