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2025-2026学年下学期九年级数学人教版3月阶段学情自测试卷
一、单选题
1．某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ）
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州
气温
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．杭州
2．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将用科学记数法应表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
5．如图，在平面直角坐标系中， ABC与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
6．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
7．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
8．如图，是 ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图1，在 ABC中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ）

A． B．时，为直角三角形
C． D．时，面积最大
二、填空题
11．因式分解：________．
12．不等式组的解集为________．
13．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°．
14．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______．
15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
16．如图，在平行四边形中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形的面积之比为___________．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．解方程：
(1)； (2)．
19．如图，在 ABC中，，点O为中点，点D在边上，连接．
(1)如图1，若，于点E，求证：；
(2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长．
20．某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知测试综合得分大于70分的学生劳动素养为优良．
(1)补全频数分布直方图．
(2)该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数．
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
(1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
(2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
22．如图，在矩形中，点E在边上（不与点A，D重合），连接，．
(1)若点E是边的中点．求证：．
(2)设，，．
①求证：．
②若，，求k的值．
23．在平面直角坐标系中，抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 ．
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式．
(3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围．
24．如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求与的长度；
(3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1-10 DCDBD CADDC
11．
12．
13．43
14．
15．10
16．
17．（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
18．（1）解：，
因式分解得，
∴或，
解得：．
（2）解：，
方程两边同时乘，得，
整理得，
解得，
检验：当时，，分式的分母为0，故是原方程的增根，
∴原方程无解．
19．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点O为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H，
则，
∵，点O为中点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
分两种情况：
①点F在线段上时，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②点F在线段上时，
同理可证：，
∴，
∴；
综上所述，的长为1或3．
20．（1）解：的频数为，
补全频数分布直方图如下：
（2）（人），
答：估计劳动素养为优良的人数为980人．
21．（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
22．（1）证明：∵矩形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：①∵矩形中，点在边上，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴；
②过作于，如图，
∵，
∴，
设，则，
中，，
∵，，
∴，，
中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
23．（1）解：由题意得 ，
解得，
∴；
（2）解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点．
设 ，
将代入，得
，
解得,
该抛物线的函数表达式为；
（3）解：由（1），得，
∴．
由，得，记作 ，
抛物线的对称轴为直线 .
当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大．
当时，，则 成立，
即 ，
解得，
所以．
当时，如图2，当时，随的增大而减小，
当时，，则成立，
即 恒成立．
所以或时，始终成立．

24．（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；
（3）过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
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