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广东省广州市2026年普通高中毕业班综合测试(一)数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若z(2+i)=5, 则
A. - 2+i B. 2-i C. 2+i D. - 2-i
2.集合 的子集个数为
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3.已知函数f（x）=则f(f(log 2))=
A. - 1 B. 0 C. log 2 D. 2
4.函数 的最小正周期是
A. 2π C. π D.
5. 已知向量a=(2,3), b=(0,1), 向量c满足c·(a-b)=1, 则|c|的取值范围是
A. B. C. D.
6. 函数f(x)= sinx-xcosx在区间(-3π,3π)上的极值点个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.已知抛物线 的焦点为F，圆. 与C交于A, B两点，若直线AM 与直线BM 的斜率之积为-3，则|AF|=
A. 3 B. C. 4 D. 5
8.在正三棱柱 中， 点 D 是平面ABC上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X (单位：g)服从正态分布N(μ,σ ),且 从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间[14，18]上的件数记为ξ，则
A. μ=16 B.
C. D. E(ξ)=3
10.已知x≠y，则下列命题正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 已知曲线 C 的方程为 F(x,y)=0, 集合 若对任意的 都存在 使得 成立，则称曲线C为α曲线.下列方程所表示的曲线为α曲线的是
A. B. x-y-1=0 C. y= lnx D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆 的离心率为 则m= .
13. 已知函数f(x+1)为奇函数, 当x＜1时, 若f(x)在 上单调递增，则a的取值范围是 .
14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC)，点D，E在△ABC的边上，线段DE 把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 米.
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列{an}的首项 且满足
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)若数列 的前n项和 Sn小于120，求n的最大值.
16.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，
PA⊥平面ABCD, 点E 是棱 PB的中点.
(1) 求证: AB⊥CE;
(2)若点B 到平面PCD的距离为 求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
17.(15分)
甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为乙每次射击命中目标的概率均为β(0＜β＜1)，各次射击结果互不影响.
(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α，β表示)；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.
参考公式: 若0＜q＜1, 则
18. (17分)
已知函数f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1.
(1) 若a=1, 求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值；
(3) 若存在a, 使得f(x)≤a+b对任意x＞0恒成立, 证明: a-b＜4.
19.(17分)
已知双曲线 C：（a＞b＞0）的焦点到其渐近线的距离为. 点
在C上.
(1) 求C的方程;
(2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且 线段AB的中点为M.
(i)设 求|ME|·|MF|的最大值;
(ii) 设P(-t,0), Q(t,0)(t＞1),点M 不在x轴上，若
求 的取值范围.
参考答案
1-8.
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】[1,+∞)
14.【答案】20
15.
两边同时-1，有
所以 (常数),
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
(2)设数列 的前 n 项和为 Tn,
所以 所以
所以
16.(1)取 AB 中点 F ,连接 AC,FC,EF
因为平行四边形 ABCD 是菱形， 所以 是等边三角形
又因为 F 是 AB 中点，所以
又因为 E,F 分别是 PB,AB 中点,所以.
又因为 AP⊥底面 ABCD,AB 底面 ABCD ,所以 AP⊥AB
所以 EF⊥AB
又因为 FC⊥AB,EF,FC 平面 EFC,EF∩FC=F
所以
又因为 所以 AB⊥CE
(2)连接 AC,BD 交于点 O ,以 O 为原点张云帆讲数学
分别以 OB，OC 平行于 AP 的直线为 x 轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系
设 AP=a ,所以 P(0,-1,a)
设平面 PCD 的法向量为
令 则 所以
又因为
所以点 B 到面 PCD 的距离
所以 a=3 ,所以平面 PCD 的法向量
又因为 A(0,-1,0),所以
设平面 PAB 的法向量
令 则 所以
设平面 PAB 与平面 PCD 夹角为θ,
所以
17.(1)甲先射，甲第2 次射且胜的概率为 p
第1次甲不中,1-α,
第1次乙不中,1-β,
第2次甲中，α，
所以 p=(1-α)(1-β)α.
(2)乙先,乙胜为 pz,甲胜为 p甲,
乙胜：第1次乙中，β，
第1次乙不中，第1次甲不中，第2次乙中，
第1，2均未命中，第3次乙中，
因为构成等比，首项 公比q=(1-α)(1-β),
故
同理，甲胜：
因为 所以
又α∈(0,1),所以
18.f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1
(1)当a=1时,
所以 f'(x)单调递减, 又 f'(1)=0 ,所以 f'(x)在(0,1) 为正,( 为负
所以f(x)在(0,1)为↗ ,(1,+∞)为\.
所以f'(x)单减,f'(1)=a-1
①由(1)知, a=1时, f(1)=0, (0,1)↗, (1,+∞)\, 此时仅有1个零点1, 此时(a=1符合；
②当a＞1时, 使 f(x)在
设h(x)= lnx+2x-2∴h(1)=0 ,所以 h(x)＞0
所以 又x→0,f(x)→-∞,
所以 f(x)有两个零点，舍.
③当a＜1时, 使 f(x)在(
由②知 所以f(x)＜0无零点，舍
综上,a=1
(3) f(x)≤a+b 即( 即
若对 x＞0 恒成立,即
又
且x→0 时, 时，
故 使 即 即
此时
欲证 a-b≤4,此时
所以
设
p(x) max=p(2)=3ln2-4-1+6=3ln2+1=3×0.7+1=3.1＜4
所以a-b≤4,证毕.
19. 所以 所以 所以
所以 所求
(2)渐近线: 设
因为 所以
所以
所以 即
所以 E，F是点μ 的轨迹的焦点，
所以
所以
当且仅当 时，成立
(3)P(-t,0),Q(t,0),(t＞1)点μ 不在 x 上,∠MQP=2∠μPQ
在 △μQP 中，由正弦定理 及
所以 s
所以
设 ∠μPQ=θ ,则
故 令 y＞0
又μ在 所以
又
所以
所以
又 所以 代入
即
因为 所以
综上，

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