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2026年高考数学模拟练习卷（三）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
8．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（　　）
A．
B．，其中
C．
D．
9．已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（　　）
A．
B．数列是等差数列
C．数列的前项和为
D．数列的前项和为
10．下列命题正确的是（　　）
A．已知不共线，，则与可以作为平面向量的一组基底
B．在中，，则这样的三角形有两个
C．若满足且与同向，则
D．已知，若与的夹角为钝角，则的取值范围为
三、填空题
11．的二项展开式中的第3项的系数为　 　．
12．已知数列满足，则　 　．
13．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是　 　．
四、单选题
14．如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
五、解答题
15．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且．
（1）求；
（2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标．
16．已知数列满足.
（1）证明：数列为等差数列，并求；
（2）令，求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若.
①求平面与平面夹角的正弦值；
②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线与交于两点，且.
（1）求的方程；
（2）过点作的切线，交准线于点，交轴于点（异于点），连接FQ，过点作，垂足为．
（i）证明：；
（ii）当时，求面积的最大值．
19．“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
（1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率.
（2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
（i）若，求；
（ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】A,C,D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】80
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】C
15．【答案】（1）解：由题意，则函数的图象经过点，
所以函数的图象经过点，
则，代入中，
得，
所以，
由，得，
所以，
解得.
（2）解：由（1）得，，
则，
令，
得，
则或，
解得或（舍去），
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数与的图象在区间内的交点横坐标为．
16．【答案】（1）证明：由，知，
所以
则数列是以为首项，-1为公差的等差数列，
所以，
则.
（2）解：因为，
所以.
17．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
为中点，，且，
又，，，且，∴四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，平面；
（2）解：①平面，且，
以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，，
因为平面，且平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
∴平面与平面所成角的正弦值为；
②存在点满足题意，
易知，，
假设存在点满足题意，设，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
点到平面的距离，
化简可得，解得或（舍去），即.
18．【答案】（1）解：由题意，则直线的方程为，
联立，
消去得，
则，解得（负值舍去），
则抛物线的方程为.
（2）（i）证明：由（1）得（取），
则，
不妨设点在第一象限，
则过点的的切线斜率为，
所以，切线方程为，
令，得，
解得，
则点，
所以，
又因为，
所以，
则，
因为，所以，则．
（ii）在切线方程中，
令，得，
则点，
当时，，，
又因为，所以，
则，
所以的面积，
则
当且仅当时，即当时取等号，
所以的面积的最大值为．
19．【答案】（1）解：设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}，
由题意，
则第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为，
所以，
又因为最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，
除了最后一次，其它抽到，
则对应概率依次为、、、，
所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，他共抽了3次的概率为：.
（2）解：（i）这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
①最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，
其它的随意在哪个位置，有种情况，
综上所述，所求概率为.
（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，
则，
由全概率公式知：，
当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时；
当时，最适合灯谜被摘到，
当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时，
所以，
令，则，
由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为
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