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2026年高考数学模拟练习卷（一）-全国甲卷
一、选择题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．已知数列中，，则数列的前10项和为（　　）
A．9 B．10 C．100 D．99
5．已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于A，B两点，且．若直线恒过轴上定点（非椭圆长轴端点），当四边形的面积最大时，设的内切圆半径为的内切圆半径为，则（　　）
A． B． C． D．
8．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列命题中的真命题是（　　）
A．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，11的分位数是10
B．已知，命题“，使平行”的否定是“，平行”
C．设，则“”是“”成立的必要不充分条件
D．奇函数在定义域上单调递增
10．已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．点为中点时，平面
B．点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为
C．与交于，则四面体的外接球的表面积为
D．当在线段上运动时，四面体体积的最大值为
11．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调
D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
三、填空题
12．已知幂函数的图象过点，则　 　．
13．某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则　 　．
14．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点位于第二象限），为的中点，直线为双曲线的一条渐近线，且，则双曲线的离心率为　 　.
四、解答题
15．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知．
（1）求角C；
（2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值．
16．已知数列满足，且．
（1）求的值；
（2）证明数列为等比数列；
（3）求数列的前项和．
17．已知函数．
（1）当时，
（i）求的图象在点处的切线方程；
（ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程；
（2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围．
18．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面，且.
（1）求证：平面；
（2）与平面所成角的正弦值.
19．某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表：
性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计
男 55 5 60
女 20 10 30
合计 75 15 90
（1）根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关；
（2）在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值；
（3）从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差．
附：，其中．
常用的小概率值和相应的临界值：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】16
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
又因为，
所以，
则，
因为，所以，
则，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）知，，
因为CD为的平分线，
所以，其中，
由三角形面积公式，
得，
，
又因为，
所以，
则，
解得.
16．【答案】（1）解：因为，
由，可得；
同理.
（2）证明：证法一：因为，所以；
由可得，
故数列是首项为3、公比为2的等比数列，且.
证法二：易得，
故，
以此类推，，
即，则，
数列是首项为3、公比为2的等比数列.
（3）解：由（2）得，
两式相减可得，
17．【答案】（1）解：当时，．
（i），故点（0，1）处的切线方程为.
（ii）设切点为，则，则切线方程为，代入，
可得，得，则切线方程是.
（2）解：当时，，则.
由题意得有两个变号零点，即有两个实根，
方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点.
由，解得，且是的递增区间，是的递减区间；
注意到，且时，，画出其图象如图，
当且仅当时函数有两个极值点，且
又因为，所以.令，则．
又，则，即，
两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值，
对于分子对应的函数，在时恒成立，
所以单调递减，所以，也就是在时恒成立，
所以也单调递减，所以，从而.
又在上单调递增，
所以当时，取得最大值，且，
因此实数的取值范围是.
18．【答案】（1）证明：因为四边形是正方形，所以，
又平面 ，平面，
所以平面，
因为四边形是梯形，所以，
又平面 ，平面，
所以平面，
又，平面，
故平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：因为，平面，平面，
所以，即两两垂直，
故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有，，，
所以 ，，
设平面的一个法向量，则有：
令，则，所以，
设与平面所成角为，则
所以与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关.
根据列联表中的数据，得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关.
（2）解：由题意得，，，，
故.
（3）解：因为，
所以，
所以，
故，
即.
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