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(共68张PPT)
14.4.3　
用频率分布直方图估计总体分布
14.4.4　百分位数
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律 数据分析
2.结合实例，理解百分位数的统计含义，能用样本估
计百分位数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某大学专业课程考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.
【问题】　如何确定需要补考的分数线？
知识点　百分位数
1. 定义：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这
组数据中至少有 的数据小于或等于pk，且至少有
的数据大于或等于pk.
k百分位数也称为第k百分位数或k%分位数.
如果将样本数据 ，那么k百分位数pk所处
位置如图所示.
k%　
（100
－k）%　
从小到大排列成一行　
2. 计算一组n个数据的k百分位数的步骤
通常，我们按如下方法计算有n个数据的大样本的k百分位数：
第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列；
第2步 计算 ；
第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第 位和下
一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；
第4步　如果n· 不是整数，那么将其 （即其整数
部分加上1），在该位置上的数值即为k百分位数.
n· 　
n· 　
向上取整　
3. 四分位数
25，50，75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等
份，因此称为四分位数，其中，中位数即为50百分位数，25百分位
数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数.
【想一想】
1. 某组数据的k百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？
提示：不一定.因为按照计算k百分位数的步骤，第2步计算所得的
n· 如果是整数，则k百分位数为第n· 位和下一位数值的平均
数，若第n· 位和下一位数值不相等，则k百分位数在此组数据
中就不存在.
2. 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，
这里的“90%”是百分位数吗？
提示：不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.
1. （多选）下列表述不正确的是（　　）
A. 第p百分位数可以有单位
B. 一个总体的四分位数有4个
C. 样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
D. 对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则小
明得了95分
√
√
解析： 　易知A、C正确；一个总体的四分位数有3个，故B错
误；第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小
于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值，故D错误.
故选B、D.
2. 已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　）
A. 这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据
的平均数
D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据
的平均数
解析： 　因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数
据的平均数为75%分位数，是9.3，故C正确.故选C.
√
3. （2024·南通期中）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，
78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为 .
解析：因为8× ＝6.4，所以该组数据的第80百分位数为第七个
数92.
92　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 　用频率分布直方图估计总体分布
【例1】　某校组织了航天知识竞赛，根据该校男、女生人数比例，使用分层抽样的方法随机调查了200名学生，统计他们的成绩（单位：分），样本数据按照[40，50），[50，60），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值并估计该校学生成绩的平均数（每组数据以该组区间的
中点值为代表）和中位数；
解： 由10×（0.001＋0.002＋0.017＋0.04＋a＋
0.018）＝1，得a＝0.022.
平均数为10×（45×0.001＋55×0.002＋65×0.017＋
75×0.04＋85×0.022＋95×0.018）＝78.4（分）.
设这200名学生成绩的中位数为m，
由频率分布直方图可知m∈[70，80），
且（0.001＋0.002＋0.017）×10＋0.04×（m－70）＝0.5，
解得m＝77.5（分）.
估计该校学生成绩的平均数和中位数分别为78.4分，77.5分.
（2）已知样本中有 的男生的成绩小于80分，成绩不小于80分的男、
女生人数相等，则估计该校男生与女生的人数之比.
解： 由频率分布直方图可知样本中成绩不小于80分的人数为（0.022＋0.018）×10×200＝80.
由题意知这80人中有40人是男生，
又因为成绩小于80分的男生占样本中男生人数的 ，
故这40名男生占样本中所有男生人数的 ，
因此样本中男生人数为120，女生人数为80，
因此样本是采用分层抽样的方法得到的，
故估计该校男生与女生的人数之比为120∶80＝3∶2.
通性通法
解决与频率分布直方图有关问题的关系式
（1） ×组距＝频率；
（2） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量，样本容
量×频率＝频数.
【跟踪训练】
　某地区的经济林共有树木8万棵，为了解经济林的生长情况，随机测量其中20棵树木的底部周长，树木的底部周长数据（单位：cm）统计如下表：
分组 频数 频率 频率/组距
[180，200） 1 0.05 0.002 5
[200，220） 1 0.05 0.002 5
[220，240） 2 0.10 0.005 0
[240，260） 3 0.15 0.007 5
[260，280） 4 0.20 0.010 0
[280，300） 6 0.30 0.015 0
[300，320） 2 0.10 0.005 0
[320，340] 1 0.05 0.002 5
合计 20 1 0.050 0
（1）绘制频率分布直方图；
解： 频率分布直方图如图所示.
（2）估计这8万棵树木中底部周长不低于280 cm的有多少棵；
解： 由题意得8×（0.30＋0.10＋0.05）＝3.6（万棵），
所以估计8万棵树木中底部周长不低于280 cm有3.6万棵.
（3）假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万棵树
木底部周长的平均周长是多少？
解： 由频率直方图得 ＝190×0.05＋210×0.05＋
230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋
330×0.05＝269（cm）.
故估计这8万棵树木底部周长的平均周长是269 cm.
题型二 百分位数的计算
【例2】　（链接教科书第261页例11）从某珍珠加工公司生产的产品
中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
（1）求这组数据的下四分位数和上四分位数；
解： 下四分位数为25百分位数，上四分位数为75百
分位数，
将所有数据从小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，
8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12× ＝3，
又这组数据的第3和第4位数分别是8.0和8.3，
所以这组数据的下四分位数是 ＝8.15；
又12× ＝9，这组数据的第9和第10位数分别是8.6和8.9，
所以这组数据的上四分位数是 ＝8.75.
（2）求这组数据的95百分位数；
解： 因为共有12个数据，所以12× ＝11.4，
将11.4向上取整得整数12，由（1）得，从小到大排序后的数据的
第12位数是9.9.
所以95百分位数是第12个数据为9.9.
（3）若用25、75、95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合
格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司
珍珠等级的划分标准.
解： 由（1）可知样本数据的25百分位数是8.15，75百分位数
为8.75，95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.75 g的珍珠为合格品，质量大于8.75 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品.
通性通法
计算一组n个数据的k百分位数的步骤
（1）排序：将所有数值按照从小到大的顺序排列；
（2）计算i：计算i＝n×k%；
（3）定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则k百分位数为第
j项数据；若i是整数，则k百分位数为第i项与第（i＋1）项数
据的平均数.
【跟踪训练】
1. 如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80百分位数是（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
√
解析： 　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序
排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个
数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的80百分位
数是 ＝2.
2. 数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65百分位数是
4.5，则实数x的取值范围是（　　）
A. [4.5，＋∞） B. [4.5，6.6）
C. （4.5，＋∞） D. [4.5，6.6]
解析： 　因为8× ＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6项
数据4.5，则x≥4.5，故选A.
√
题型三 百分位数的综合应用
【例3】　某市为了鼓励市民节约用
电，实行“阶梯式”电价，将该市
每户居民的月用电量划分为三档，
月用电量不超过200千瓦时的部
分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按
0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千
瓦时）的函数解析式；
解： 当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×（x－200）＝0.8x－
60；
当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×（x－400）＝x
－140.
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居
民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.
若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，
求a，b的值；
解： 由（1）可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超
过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知

解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
（3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75百分位数.
解： 设75百分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的频率为（0.001＋0.002＋0.003）
×100＝0.6，
用电量不超过400千瓦时的频率为0.8，
所以75百分位数m在[300，400）内，
所以0.6＋（m－300）×0.002＝0.75，
解得m＝375千瓦时，即用电量的75百分位数为375千瓦时.
【母题探究】
　（变设问）根据（2）中求得的数据计算用电量的15百分位数.
解：设15百分位数为n，因为用电量低于100千瓦时的频率为
0.001×100＝0.1，用电量不超过200千瓦时的频率为0.3，
所以15百分位数n在[100，200）内，
所以0.1＋（n－100）×0.002＝0.15，
解得n＝125千瓦时，即用电量的15百分位数为125千瓦时.
通性通法
　　频率分布直方图中p百分位数的求解方法
（1）确定p百分位数所在的区间[a，b）；
（2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则p
百分位数为a＋ ×（b－a）.
【跟踪训练】
　从某校随机抽取100名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单
位：小时）的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下：
排号 分组 频数 频率
1 [0，2） 6 0.06
2 [2，4） 8 0.08
3 [4，6） 17 b
4 [6，8） 22 0.22
5 [8，10） 25 0.25
排号 分组 频数 频率
6 [10，12） 12 0.12
7 [12，14） a 0.06
8 [14，16） 2 0.02
9 [16，18] 2 0.02
合计 100 1
（1）求频率分布表中a，b的值；
解： a＝0.06×100＝6，b＝ ＝0.17.
（2）计算这组数据的50%分位数，并估计是否有50%的学生的阅读时
间达到7.68小时.
解： 阅读时间小于6小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17
＝0.31，
阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝
0.53，
所以50%分位数在[6，8）内，
所以50%分位数约为6＋2× ≈7.73.
因为7.73＞7.68，
所以估计有50%的学生的阅读时间达到7.68小时.
1. 有统计部门记录了某城市轨道交通1号线中的10个车站在某个时间
点上车的人数，统计数据如下：70，60，60，50，60，40，40，
30，30，10.则这组数据的60百分位数是（　　）
A. 50 B. 55
C. 60 D. 40
解析： 　将数据从小到大排序为10，30，30，40，40，50，60，
60，60，70.因为数据个数为10，且10× ＝6，所以这组数据的
60百分位数为 ＝55.故选B.
√
2. （多选）某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，
14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50
百分位数为b，则有（　　）
A. a＝14.7 B. a＝14
C. b＝15.5 D. b＝15
√
√
解析： 　把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，
14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝ ×（10＋12＋14＋
14＋15＋15＋16＋17＋17＋17）＝14.7，50百分位数为b＝
＝15.故选A、D.
3. 为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生
的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.
根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数
为 .
360　
解析：由题中频率分布直方图，得这100名高中男生体重不小于
70.5 kg的频率是（0.04＋0.035＋0.015）×2＝0.18，所以估计该
校2 000名高中男生
中体重不小于70.5 kg的频率是0.18，则估计该校2 000名高中男生
中体重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18＝360.
4. 求下列数据的四分位数.
13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
解：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12，13，15，18，
19，20，22，24，27，28，30，31，
计算12× ＝3，12× ＝6，12× ＝9，
所以数据的25百分位数为 ＝16.5，
50百分位数为 ＝21，
75百分位数为 ＝27.5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计
该组数据的第75百分位数为（　　）
A. 9 B. 12
C. 17.5 D. 21
解析： 　8×0.75＝6，故该组数据的第75百分位数为第6个数和
第7个数的平均数 ＝17.5.故选C.
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2. 高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩（单
位：分）的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生
数至少有（　　）
A. 200 B. 220
C. 240 D. 260
解析： 　由1 000× ＝800，所以小于75分的学生最多有800
人，所以大于或等于75分的学生至少有200人.故选A.
√
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3. 某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视
力数据的30%分位数是（　　）
视力 0.6及 以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0及
以上
占全班人数 的百分比 2% 5% 3% 20% 65% 5%
A. 0.9 B. 1.0
解析： 　从表中看出，视力为0.9及以下的人数占的百分比为2%
＋5%＋3%＋20%＝30%，所以全班视力数据的30%分位数为0.9.
故选A.
C. 0.7 D. 0.6及以下
√
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4. 某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统
计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万
元，则11时到12时的销售额为（　　）
A. 6万元 B. 8万元
C. 10万元 D. 12万元
√
解析： 　因为9时至10时的销售额为2.5万元，又9时至10时的频率为0.1，11时至12时的频率为0.4，故11时至12时的销售额为 ×0.4＝10（万元）.故选C.
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5. 某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95
分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得
75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分
位数是（　　）
A. 82.5 B. 85
C. 90 D. 92.5
√
解析： 　根据题意，20× ＝14，这个学习小组成员该次数学
测试成绩的第14项为90，第15项为95，故第70百分位数为 ＝
92.5.
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6. （多选）（2024·苏州质检）某校高一（1）班某次测试数学成绩累
积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 没有人的成绩在30～40分这组内
B. 第50百分位数位于60～70分这组内
C. 第25百分位数位于40～50分这组内
D. 第75百分位数位于70～80分这组内
√
√
√
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解析： 　由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正
确；由40× ＝20，取第20、21项数据的平均数，所以第50百分
位数位于60～70分这组内，故B正确；由40× ＝10，取第10、
11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内，故C
正确；由40× ＝30，取第30、31项数据的平均数，所以第75百
分位数位于60～70分这组内，故D不正确.故选A、B、C.
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7. 按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，
65，70，若这组数据的下四分位数与上四分位数的和是73，则m
＝ .
解析：对于按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，
39，43，m，65，70，因为9× ＝2.25，所以下四分位数为25.
因为9× ＝6.75，所以上四分位数为m，所以25＋m＝73，解得
m＝48.
48　
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8. 在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，
小李的成绩是75百分位数，则他们两人中成绩较好的是 .
解析：因为小李的成绩是75百分位数，所以约有75名学生的成绩比
小李低，即小李的排名大约为第25名，因为小张的成绩排名是第75
名，所以小李成绩较好.
小李　
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9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之
间，将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），
[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从
左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70
百分位数约为 秒.
16.5　
解析：设成绩的第70百分位数为x，因为 ＝0.55， ＝0.85，所以x∈[16，17），所以0.55＋（x－16）
× ＝0.70，解得x＝16.5.
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10. （2024·盐城月考）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根
据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名
学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，
40），…，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；
解： 根据频率分布直方
图可知，样本中分数不小于
70的频率为（0.02＋0.04）
×10＝0.6，所以样本中分数
小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160.
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（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在
区间[40，50）内的人数；
解： 根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9，分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400× ＝20.
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（3）根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用（2）
中的数据，确定本次测试的及格分数线.
解： 由（2）可知，分数小于50的频率为 ＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，60）内，由50＋10× ＝55，则本次考试的及格分数线为55分.
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11. 某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息
如下：
分位数 50% 分位数 70% 分位数 80% 分位数 90%
分位数
用电量/ （kW·h） 160 176 215 230
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在
第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（　　）
A. （160，176] B. （176，215]
C. （176，230] D. （230，＋∞）
√
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解析： 　∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电
在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围
为（176，230].故选C.
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12. （多选）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条
形统计图如图所示，则（　　）
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C. 甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D. 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
√
√
√
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解析： 由题图可得， ＝ ＝6， ＝ ＝
6，A项错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是 ＝7.5，
乙的成绩的第80百分位数是 ＝7.5，所以二者相等，C项正
确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.
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13. 小明班上有15名女生，其身高（单位：cm）的第25百分位数为
155，后来转走了一位身高为165 cm的女生，则班上女生身高的第
25百分位数 .（填“变大”“变小”或“不变”）
解析：当班上有15名女生时，由15× ＝3.75，可知女生身高的
第25百分位数是第4项数据，当转走1人，剩下14名女生时，由
14× ＝3.5，可知女生身高的第25百分位数是第4项数据，易知转走女生的身高数据不在前4项，所以班上女生身高的第25百分位数不变.
不变　
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14. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励
居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），
用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.现
通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单
位：t），并将数据按照[0，4），[4，8），…，[16，20]分成5
组，制成了如图所示的频率分布直方图.
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（1）设该市共有20万居民用户，试估计全市居民用户月均用水量
不高于12 t的用户数；
解： 由频率分布直方图可得（a＋0.06＋0.11＋a＋
0.02）×4＝1，解得a＝0.03.
居民用户月均用水量不超过12 t的频率为（0.03＋0.06＋
0.11）×4＝0.80，
所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12 t的用户
数为20×0.80＝16（万）.
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（2）若该市政府希望使85%的居民用户月均用水量不超过标准x
t，试估计x的值（精确到0.01）；
解： 由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超
过12 t 的频率为0.80.
月均用水量不超过16 t的频率为0.92.则85%的居民用户月均
用水量不超过的标准x∈[12，16），故0.80＋0.03（x－
12）＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67.
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（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下：
级差 水量基数x（单位：t） 水费价格（元/t）
第一阶梯 x≤14 1.4
第二阶梯 14＜x≤20 2.1
第三阶梯 x＞20 2.8
小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量.
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解： 因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋（20－14）
×2.1＝32.2.所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收
费，未达到第三阶梯收费.
设小明家上个月的用水量为m t，由28＝14×1.4＋（m－
14）×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18 t.
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