资源简介 (共57张PPT)第2课时 向量共线定理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3 s的位移所对应的向量可用3a来表示，记b＝3a.【问题】 （1）向量b与向量a共线吗？（2）如果有一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与向量a共线吗？知识点 向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a是 向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使 .b＝λa 共线 b＝λa 提醒 （1）向量共线定理的代数形式及其推论：①代数形式：b∥a（a≠0） 存在唯一λ∈R使b＝λa；②推论：若a，b不共线，则λa＋μb＝0 λ＝μ＝0.（2）向量共线定理的几何形式及其推论：①几何形式： ∥ 存在唯一λ∈R使 ＝λ ；②推论： ∥ 存在x，y∈R使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.【想一想】向量共线定理中为什么规定a≠0？提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾.1. 若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（ ）A. b＝2a B. b＝－2aC. a＝2b D. a＝－2b√2. （多选）若非零向量e1与e2不共线，下列各组向量中，a与b一定共线的是（ ）A. a＝－3e1，b＝2e1B. a＝0，b＝－e2C. a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2D. a＝e1－e2，b＝e1＋2e2√√√3. 若e1与e2不共线，且e1与e1＋λe2共线，则λ＝ .解析：∵e1与e1＋λe2共线，∴存在实数μ，使得e1＝μ（e1＋λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0.0 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 向量共线的判定及应用角度1 判定向量共线【例1】 （1）（链接教科书第18页例3）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证： 与 共线，并将 用 线性表示；解： 因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，所以 与 共线.又DE＝ BC，且 与 同向，所以 ＝ .（2）已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－ e2，b＝5e1－e2，判断向量a，b是否共线.解： 因为b＝5a，所以a与b共线.通性通法向量共线的判定方法 向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.向量共线的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.角度2 证明或判断三点共线【例2】 （链接教科书第21页习题11题）设a，b是不共线的两个非零向量.若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B，C三点共线.证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2 ，∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.通性通法证明或判断三点共线的方法（1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可；（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.角度3 利用向量共线求参数【例3】 （链接教科书第21页习题8题）（1）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 ＝2 ， ＝ ＋λ ，则λ＝（ A ）A. B. C. － D. －解析： 由 ＝2 ，得 － ＝2（ － ），即＝ ＋ ，所以λ＝ .A（2）设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝ .解析： 由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不共线，∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－ ，k＝－4.－4 通性通法利用向量共线求参数的方法 利用向量共线求参数，就是利用向量的加法、减法及数乘运算表示出相关向量，再利用共线的条件转化为向量相等、相应向量的和相等，利用待定系数法建立方程（组），解方程（组），求得参数的值.若解析过程中出现λa＝μb（a，b不共线）的条件，则λ＝μ＝0.【跟踪训练】1. （多选）向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（ ）A. a∥b B. 向量a，b方向相反C. ｜a｜＝3｜b｜ D. b＝－3a解析： 因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D.√√√2. （2024·苏州汾湖高中月考）设a，b是不共线的两个非零向量.（1）若 ＝4a－2b， ＝6a＋2b， ＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线；解： 证明：因为 ＝ － ＝6a＋2b－（4a－2b）＝2a＋4b，＝ － ＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2（2a＋4b）＝－2 ，所以 ∥ ，又 与 有公共点B，所以A，B，C三点共线.（2）若4a＋ kb与 ka＋b共线，求实数k的值.解： 由4a＋ kb与 ka＋b共线，则存在实数λ，使得4a＋ kb＝λ（ ka＋b），即（4－ λk）a＋（ k－λ）b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量，因此解得或所以，实数k的值是±4.题型二 利用已知向量表示未知向量【例4】 在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a， ＝b，试用a和b表示 .解：∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，∴ ＝ .∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋＝ a＋ b.【母题探究】（变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？解：法一 如图①，∵ ＝ － ，且CD＝BD，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －）＝ ＋ ＝ （a＋b）.法二 如图②，以AB，AC为邻边作 ABEC，则 ＝ ＋ .∵CD＝BD，∴D是AE的中点.∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）.通性通法用已知向量表示未知向量的两种方法（1）直接法（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.【跟踪训练】1. （2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 ＝m， ＝n，则 ＝（ ）A. 3m－2n B. －2m＋3nC. 3m＋2n D. 2m＋3n√解析： 法一 因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ －）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B.法二（作图法） 如图，利用平行四边形法则，合成出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.2. 如图，已知ABCD是一个梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜ ｜，M，N分别是DC，AB的中点，已知 ＝e1， ＝e2，分别用e1，e2表示 ， .解：因为 ∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜，所以 ＝2 ， ＝ .则 ＝ ＋ ＝e2＋ e1.因为M，N分别为DC，AB的中点，所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜，则 ＝ ＋ ＋＝－ － ＋＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2.1. 若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（ ）A. b B. － bC. b D. － b解析： ∵b与a的方向相反，∴存在实数λ＜0，使a＝λb，∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－ ，∴a＝－ b.√2. 已知a，b是不共线的非零向量， ＝a＋2b， ＝3a－b，＝2a－3b，则四边形ABCD是（ ）A. 梯形 B. 平行四边形C. 矩形 D. 菱形解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ （a＋2b）＋（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因为 ＝3a－b，a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且｜ ｜≠｜ ｜，所以四边形ABCD是梯形.故选A.√3. （2024·徐州月考）如图，在△ABC中，向量 ＝3 ，且 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），则λ＋μ＝ .解析：由题意知， ＝ ＋ ，所以 ＝3 ＝3 ＋3＝－3 ＋3 .所以 ＝ ＋ ＝ －3 ＋3 ＝－2＋3 ，则λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.1 4. 已知非零向量e1和e2不共线，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共线？解：若向量e1和e2不共线，设存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2），则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2，所以λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2），故两个向量不共线.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1234567891011121314151. （2024·无锡月考）已知 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3（a－b），则（ ）A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线解析： ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝，又∵ 与 有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.√2. 已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（ ）①a＝5e1，b＝7e1；②a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③√123456789101112131415解析： ①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6 ＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A.1234567891011121314153. 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则＝（ ）A. a－b B. a＋bC. a＋ b D. a－ b解析： 因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b.√1234567891011121314154. （2024·南京月考）已知△ABC中，D为AB的中点， ＝ ，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝（ ）A. － B. －C. D.解析： 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －）＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以λ＝－ ，μ＝ .故λ＋μ＝ .故选C.√1234567891011121314155. （多选）已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，E为线段BC的中点，则 ＝（ ）A. ＋ B. －C. ＋ D. ＋解析： 如图所示，则 ＝ ＋ ＝ ＋＝ ＋ （ ＋ ）＝ － ＋ ×＝ ＋ .故选A、C.√√1234567891011121314156. （多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（ ）A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝bD. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b√√123456789101112131415解析： 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－ e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量 ， 不是共线向量，即不能判定a，b共线.故选A、B.1234567891011121314157. 设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ＝ ，此时向量2a－λb与a＋2b的方向 .（填“相同”或“相反”）解析：因为2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数k使得2a－λb＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因为a与b不平行，所以即又因为k＞0，所以两向量方向相同.－4 相同 1234567891011121314158. （2024·镇江月考）已知四边形ABCD为正方形， ＝3 ，AP与CD交于点E，若 ＝m ＋n ，则m－n＝ .解析：由题作图如图所示，∵ ＝3 ，∴BP＝3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴ ＝ ＋ ＝＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，∴m－n＝ － ＝ . 1234567891011121314159. 如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且 ＝ ＝ ，则 ＝ .解析：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝.又 与 同向，∴ ＝ . 12345678910111213141510. 设不共线向量e1，e2，若 ＝e1＋2e2， ＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2.（1）计算2 ＋ － ；解： 2 ＋ －＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2＝－6e1－10e2.123456789101112131415（2）判断A，B，D三点是否共线，并说明理由.解： 因为 ＝－2e1－3e2， ＝6e1＋11e2，所以 ＝ ＋ ＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，又 ＝e1＋2e2，所以 ＝ ，所以 和 共线，又 和 有公共点B，所以A，B，D三点共线.12345678910111213141511. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 ＝a， ＝b， ＝3 ，则 ＝（ ）A. a＋ b B. a＋ bC. a＋ b D. a＋ b√123456789101112131415解析： 由题得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋）＝ ＋ （－ ＋ ）.解得 ＝ ＋ ，即＝ a＋ b.故选B.12345678910111213141512. （多选）数学家欧拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（ ）A. ＋ ＋ ＝0B. ＋ ＝2 －4C. ＝3D. ｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜√√√123456789101112131415解析： 如图，因为O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以 ＝ .对于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以 ＝2 .又 ＋ ＝2 ，所以 ＋ ＝ ，即 ＋ ＋ ＝0，故A正确；对于B，由A可得 ＝3 ，故 ＋ ＝2 ＝6＝2 ＋4 ＝2（ － ）＋4（ － ）＝2 －4 ＋4 －2 ＝2 －4 ，即 ＋ ＝2 －4 ，故B正确；对于C， ＝ － ＝2 －2 ＝2 ，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点O到三个顶点的距离相等，即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，故D正确.故选A、B、D.12345678910111213141513. （2024·常州质检）已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋ ＋ ＝ ，则△PBC与△ABC的面积之比是 .解析：因为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＝ － － ＝＋ ＋ ＝2 ，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.2∶3 123456789101112131415解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接DM交AC于点N. 在 ABCD中，E是AD的中点，M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD.在△AND中，E为AD的中点，所以F为AN的中点，所以AF＝FN.14. 在 ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m ＋n （m，n∈R），求 的值.123456789101112131415同理可得FN＝CN.所以AF＝FN＝CN，所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋（ ＋ ）＝ － .又因为 ＝m ＋n （m，n∈R），所以m＝ ，n＝－ ，所以 ＝－2.12345678910111213141515. 设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满足 ＋ ＝1时，连接p ，q 两个向量终点的直线是否通过一个定点？证明你的结论.123456789101112131415解：设 ＝ ＋ ，则C为定点.证明如下：设p ＝ ，q ＝ ，C'为直线A'B'上任意一点.∵O，A，B不共线，∴存在实数m，n使 ＝m ＋n ＝mp ＋nq ，且m＋n＝1.∵ ＋ ＝1，∴可设m＝ ，n＝ ，∴ ＝ ＋ .又∵ ＋ ＝ ，∴C与C'重合.故连接p ，q 两个向量终点的直线通过一个定点C.123456789101112131415(共47张PPT)9.2.2 向量的数乘新课程标准解读 核心素养1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义 数学抽象2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 数学运算3.理解两个向量共线的含义 逻辑推理第1课时 向量的线性运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？【问题】 （1）在相反方向上经过4 s的位移所对应的向量应该怎样表示呢？（2）类比实数的运算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想实例中a＋a＋a＋a的结果吗？知识点一 向量的数乘1. 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，实数λ与向量a相乘的运算叫作向量的数乘.规定：（1）当 ，且a≠0时，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；（2）若a≠0，则①当 时，λa与a方向相同；②当 时，λa与a方向相反；③当 时，0a＝0；λ≠0 λ＞0 λ＜0 λ＝0 （3）当a＝0时，λ0＝0.2. 向量数乘λa的几何意义当λ＞0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小.3. 向量的线性运算向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.相同 相反 知识点二 向量数乘的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，那么：（1）λ（μ a）＝ ；（2）（λ＋μ）a＝ ；（3）λ（a＋b）＝ .提醒 当a≠0时，向量 是与向量a同向的单位向量.（λμ）a λa＋μ a λa＋λb 1. （多选）下列说法中正确的是 （ ）A. 4a与－4a的模相等B. a与－λa的方向相反C. λ（a－b）＝λa－λbD. 若λa＝0，则a＝0√√解析： A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜4｜｜a｜＝4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正确；B中，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；C中，由数乘运算的分配律得C正确；D中，若λa＝0，则a＝0或λ＝0，故D错误.故选A、C.2. 在△ABC中，D是BC的中点，则 ＋ ＝（ ）A. 2 B. 2 C. 2 D. 2解析： 由题意 ＝－ ， ＋ ＝（ ＋ ）＋（＋ ）＝2 ，故选A.3. （2024·盐城月考）化简：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝ .解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.14a－9b √典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 向量的数乘及其几何意义【例1】 （多选）已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是（ ）A. λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反B. λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同C. λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同D. λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同√√√解析： 对于A、B，由向量数乘的定义知，当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，故A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误.故选A、B、C.通性通法 λ的正负决定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小决定λa的模.【跟踪训练】 已知a，b为非零向量，则下列命题正确的序号是 .①2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；②要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍；③－2a与2a是一对相反向量；④a－b与－（b－a）是一对相反向量.①②③ 解析：对于①，2a＝a＋a与a方向相同，且｜2a｜＝｜a＋a｜＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故①正确；对于②，根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍，故②正确；对于③，∵－2a＋2a＝（－2＋2）a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故③正确；对于④，∵－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－（b－a）与a－b是相等向量，故④错误.题型二 向量的线性运算的几何作图【例2】 （链接教科书第17页例1）如图，已知向量a，b，求作向量3a－2b.解：法一 如图①，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝2b，连接BA，则 ＝ － ＝3a－2b.法二 如图②，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝－2b，连接OB，则 ＝ ＋ ＝3a＋（－2b）＝3a－2b.法三 如图③，在平面内任取一点O，作＝3a， ＝－2b，分别以OA，OC为邻边作 OABC， OABC的对角线记作OB，则向量 为所求作的向量.通性通法 向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算，不仅要掌握其运算法则，更要理解其几何意义.在作向量的差时，可以把“差”转换成“和”来作.【跟踪训练】 已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋ c.解：法一 如图①，由向量的加法可知，向量 ＝3a－2b＋ c.法二 如图②，作 ＝3a， ＝－2b， ＝ c，分别以AB，AC为邻边作 ABDC，以 ABDC的对角线AD及AE为邻边作 AEFD，则向量 ＝3a－2b＋ c.题型三 向量的线性运算【例3】 （1）（链接教科书第17页例2）计算：①3（a＋b）－2（a－2b）；②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）.解： ①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b.②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c.（2）（链接教科书第18页练习第5题）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－5j，求5a－3b（用i，j表示）.解： 5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j）＝5i＋10j－9i＋15j＝－4i＋25j.通性通法向量线性运算的基本方法技巧（1）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量或向量前的实数，实数可看成是向量的系数；（2）向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解.【跟踪训练】1. （2024·淮安月考）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），则x＝ .解析：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.2. 已知向量e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1－e2，求 a－2b（用e1，e2表示）.解： a－2b＝ （3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋ e2.－8a＋9b－3c 1. 已知λ∈R，则下列结论中正确的是（ ）A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜aC. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0解析： 当λ＞0时，λa方向与a方向相同，大小等于λ｜a｜；当λ＜0时，λa方向与a方向相反，大小等于｜λ｜｜a｜，所以｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B错误，C正确；｜λa｜≥0，故D错误.故选C.√2. （多选）下列运算正确的是（ ）A. （－3）·2a＝－6aB. 2（a＋b）－（2b－a）＝3aC. a－2b＋2（a＋b）＝3aD. （a＋2b）－（2b＋a）＝0解析： 根据向量数乘运算和加减运算规律知A、B、C正确；D中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，故D错误.故选A、B、C.√√√3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋ ＝λ ，则λ＝ .解析：在平行四边形ABCD中， ＝ ＋ ＝2 ，所以λ＝2.2 4. 已知在任意四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点.求证： ＝ （ ＋ ）.证明：因为E是AD的中点，F是BC的中点，所以 ＝－ ， ＝－ ，所以 2 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋＝ ＋ ，所以 ＝ （ ＋ ）.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 3（a＋b）－2（a－b）－a＝（ ）A. 5a B. －5aC. 5b D. －5b解析： 根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故选C.√1234567891011121314152. 点C在直线AB上，且 ＝3 ，则 ＝（ ）A. 2 B.C. － D. －2解析： 如图， ＝3 ，所以 ＝2 .故选A.√1234567891011121314153. （2024·泰州中学期中）如图，向量a－b＝（ ）A. e1－3e2 B. －4e1－2e2C. －2e1－3e2 D. －e1＋3e2解析： 如图，设a＝ ，b＝ ，所以a－b＝a＋（－b）＝ ＋ ＝ ＝－e1＋3e2.故选D.√1234567891011121314154. 在△ABC中， ＝3 ，则3 ＝（ ）A. ＋4 B. －4C. 4 － D. －4解析： 3 ＝3（ ＋ ）＝3（ ＋ ）＝3 ＋4＝3 ＋4（ － ）＝4 － .故选C.√1234567891011121314155. （多选）已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是（ ）A. m（a－b）＝ma－mbB. （m－n）a＝ma－naC. 若ma＝mb，则a＝bD. 若ma＝na，则m＝n解析： m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误.故选A、B.√√1234567891011121314156. （多选）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则－ ＝（ ）A. B.C. D.解析： 如图， － ＝ － ＝＝ ＝ .故选A、C.√√1234567891011121314157. 计算： （a－b）－ （2a＋4b）＋ （2a＋13b）＝ .解析：原式＝ a－ b－ a－ b＋ a＋ b＝（ － ＋ ）a＋（－ － ＋ ）b＝0.0 1234567891011121314158. 已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ的值是 .解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝ ，即λ＝± .± 1234567891011121314159. （2024·苏州吴江中学月考）在△ABC中， ＝c， ＝b，点M满足 ＝λ （0＜λ＜1），若 ＝ b＋ c，则λ的值为 .解析：由题意得， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（－ ）＝λ ＋（1－λ） ＝λb＋（1－λ）c＝ b＋ c.所以λ＝ . 12345678910111213141510. 计算：（1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）；解： 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.（2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）.解： 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c）＝6a＋2b.12345678910111213141511. （2024·江苏海门中学月考）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点， ＝a， ＝b， ＝c，则b＋c－a＝（ ）A. B.C. 0 D.解析： b＋c－a＝－ ＋ － ＝－（ ＋ ）＋ ＝－ ＋ ＝－ ＝ .故选A.√12345678910111213141512. （多选）设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＋ ＝0成立的条件是（ ）A. a＝－2b B. a＝2bC. a＝b D. a＝－b解析： 因为与a同向的单位向量为 ，与b同向的单位向量为 ，若 ＋ ＝0，则a，b方向相反.故选A、D.√√12345678910111213141513. 若2（y－ a）－ （c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝ .解析：将原等式变形为2y－ a－ c－ b＋ y＋b＝0，即 y－a－ c＋ b＝0， y＝ a－ b＋ c，∴y＝ （ a－ b＋ c）＝ a－ b＋ c.a－ b＋ c 12345678910111213141514. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 ＝e＋2f， ＝－4e－f， ＝－5e－3f.（1）用e，f表示 ；解： 由题意，有 ＝ ＋ ＋ ＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f.123456789101112131415（2）证明四边形ABCD为梯形.解： 证明：由（1）知 ＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2 ，即 ＝2 .根据向量数乘的定义， 与 同方向，且 的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.12345678910111213141515. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边的中点，O在线段DE上，且满足 ＋2 ＋3 ＝0，DO＝2，求AB的长.解：如图，因为 ＋2 ＋3 ＝（ ＋）＋2（ ＋ ）＝2 ＋4 ＝0，所以 ＝2 ，所以DE＝3DO.又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12.123456789101112131415 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第1课时 向量的线性运算.pptx 第2课时 向量共线定理.pptx
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