资源简介

(共43张PPT)
第2课时　
两角和与差的正、余弦公式的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 证明恒等式
【例1】　（链接教科书第60页例4）证明： ＝
tan（α＋β）.
证明：
＝
＝ ＝ ＝tan（α＋β），所以原式得证.
通性通法
解决有关的证明问题的策略
　　对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特
征（等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向，
遵循从繁到简原则，然后利用公式证明.
【跟踪训练】
　已知3 sin β＝ sin （2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α.
证明：由已知得3 sin [（α＋β）－α]＝ sin [（α＋β）＋α]，
即3[ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α]＝ sin （α＋β）
cos α＋ cos （α＋β） sin α，
即2 sin （α＋β） cos α＝4 cos （α＋β） sin α，
所以tan（α＋β）＝2tan α.
题型二 灵活拆角求值
【例2】　（链接教科书第60页例5）求 的值.
解：原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
通性通法
拆角求值问题的思路
（1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公
式，而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个
角之间是否存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的
关系进行拆角来减少角的个数；
（2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知
的角简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的
正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.
【跟踪训练】
　求值： .
解：原式＝
＝
＝ ＝ sin 30°＝ .
题型三 两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用
【例3】　（1）（链接教科书第60页例6）若 cos （α＋β）＝ ，
cos （α－β）＝－ ，求tan αtan β的值；
解： 由已知条件得
所以
所以tan αtan β＝ ＝（－ ）÷ ＝－ .
（2）化简： sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β].
解： 原式＝ sin （α＋β） cos α－ { sin [（α＋β）＋
α]－ sin [（α＋β）－α]}
＝ sin （α＋β） cos α－ ·2 cos （α＋β） sin α
＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α
＝ sin [（α＋β）－α]
＝ sin β.
通性通法
化简三角函数式的方法技巧
（1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基
本途径；
（2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函
数式的一个切入点.
【跟踪训练】
　（2024·苏州月考）已知 sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，
则 sin （α＋β）＝ .
解析：∵ sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，∴ sin 2α＋ cos 2β
＋2 sin α cos β＝1①， cos 2α＋ sin 2β＋2 cos α sin β＝0②，①②
两式相加可得 sin 2α＋ cos 2α＋ sin 2β＋ cos 2β＋2（ sin α cos β
＋ cos α sin β）＝1，∴ sin （α＋β）＝－ .
－ 　
1. ＝（　　）
A. －1 B. －
C. 1 D.
解析： 　因为2 cos 10°＝2 sin 80°＝2 sin （60°＋20°）＝2
（ sin 60° cos 20°＋ cos 60° sin 20°）＝ cos 20°＋ sin
20°，所以 ＝ ＝－ .
故选B.
√
2. （多选）（2024·镇江月考）已知角α的顶点与原点O重合，始边
与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P ，将角α的终边
逆时针旋转 得到角β，则下列结论中正确的是（　　）
A. tan α＝ B. cos β＝－
C. sin （α－β）＝－1 D. sin ＝－
√
√
解析： 　对于A，由题意，得tan α＝ ＝ ，故A正确；对于
B，由题意，得β＝α＋ ，所以 cos β＝ cos ＝－ sin α＝
－ ＝ ，故B错误；对于C， sin β＝ sin ＝ cos α＝－
，所以 sin （α－β）＝－ × － × ＝－1，故C正
确；对于D， sin ＝－ × ＋ × ＝ ，故D错误.故选
A、C.
3. 已知2 sin ＝ cos α，则tan α＝ 　 ＋1　.
解析：因为2 sin ＝ cos α，所以2 sin α cos －2 cos α sin
＝ cos α，整理得 sin α＝（ ＋1） cos α，即tan α＝ ＋1.
＋1　
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知0＜α＜ ，0＜β＜ ，且 sin （α－β）＝－ ， sin β＝
，则 sin α＝（　　）
A. B. C. D. －
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解析： 由0＜α＜ ，0＜β＜ ，得－ ＜α－β＜ ，所以
cos （α－β）＝ ＝ ， cos β＝
＝ ，所以 sin α＝ sin [（α－β）＋β]＝ sin （α－β） cos β
＋ cos （α－β） sin β＝－ × ＋ × ＝ .故选C.
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2. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β
＝（　　）
A. 0 B. C. 0或 D. 0或±
解析： 　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， cos
（α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式相加可得2
cos α cos β＝0，即 cos α cos β＝0.
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3. 已知 ＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－
，则 sin 2α＝（　　）
A. － B. C. － D.
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解析： ∵ ＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，π＜α＋β＜ .
又∵ cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，∴ sin （α－
β）＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin 2α＝ sin [（α＋β）＋
（α－β）]＝ sin （α＋β） cos （α－β）＋ cos （α＋β）
sin （α－β）＝－ .故选A.
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4. （2024·泰州月考）已知 cos （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin （α
＋ ）＝（　　）
A. － B. － C. D.
解析： 　∵ cos （α＋ ）－ sin α＝ ，∴ cos α－ sin α
＝ ，∴ cos α－ sin α＝ ，∴ sin （α＋ ）＝ sin α cos
＋ cos α sin ＝ sin α－ cos α＝－ ，故选B.
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5. （2024·盐城质检）设α∈（0， ），β∈（0， ），且tan α＝
，则（　　）
A. 2α－β＝0 B. 2α＋β＝
C. 2α＋β＝0 D. 2α－β＝
解析： 　∵ ＝ sin α· cos β＝ cos α＋ cos α sin
β，∴ sin （α－β）＝ cos α＝ sin （ －α），∵－ ＜α－β
＜ ，0＜ －α＜ ，∴α－β＝ －α，∴2α－β＝ .
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6. （多选）已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈
（0， ），则（　　）
A. cos β＝ B. sin β＝
C. cos （α－β）＝ D. sin （α－β）＝－
√
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解析： 　对于A，因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α
＝ ＝ ＝ .又α，β∈（0， ），所以
α＋β∈（0，π），所以 sin （α＋β）＝ ＝
＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos
（α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝－ ＋ ＝ ，故A正
确；
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对于B，因为β∈（0， ），所以 sin β＝ ＝
＝ ，故B错误；对于C， cos （α－β）＝ cos α cos
β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ ，故C正确；对于D， sin
（α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × － × ＝ ，
故D错误.故选A、C.
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7. ＝ 　 　.
解析：原式＝
＝
＝ ＝tan 60°＝ .
　
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8. 已知 sin ＝－ ，则 cos x＋ cos ＝ .
解析：因为 sin ＝－ ，所以 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos
x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ sin ＝－1.
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解析：因为 sin α＋ cos β＝－ ， cos α－ sin β＝ ，所以（ sin
α＋ cos β）2＝ ，（ cos α－ sin β）2＝ .所以 sin 2α＋2 sin α
cos β＋ cos 2β＝ ， cos 2α－2 cos α sin β＋ sin 2β＝ ，两式
相加可得 sin 2α＋2 sin α cos β＋ cos 2β＋ cos 2α－2 cos α sin
β＋ sin 2β＝ ，所以2＋2 sin α cos β－2 cos α sin β＝ ，即2
＋2（ sin α cos β－ cos α sin β）＝ ，所以2＋2 sin （α－β）
＝ ，解得 sin （α－β）＝－ .
9. （2024·南京月考）已知 sin α＋ cos β＝－ ， cos α－ sin β＝
，则 sin （α－β）＝ 　－ 　.
－ 　
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10. 求证： ＝tan（α＋β）.
证明：因为左边＝
＝ ＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立.
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11. 已知0＜α＜ ， sin ＝ ，则 ＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 因为 sin ＝ ，所以 （ cos α－ sin α）＝
，所以 cos α－ sin α＝ ，所以1－2 sin α cos α＝ ，得 sin
α cos α＝ .因为0＜α＜ ，所以 cos α＋ sin α＝
＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ＝
.故选C.
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12. （多选）（2024·苏州质检）已知在△ABC中， sin A＋ cos A＝
m，则下列说法中正确的是（　　）
A. m的取值范围是[－ ， ]
B. 若0＜m＜1，则△ABC为钝角三角形
C. 若m＝ ，则tan A＝－
D. 若m＝1，则△ABC为直角三角形
√
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解析： m＝ sin A＋ cos A＝ sin .对于A，因为A
为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋ ∈ ，所
以 sin ∈（－ ，1］，则m∈（－1， ]，故A不正
确；对于B，若0＜m＜1，则0＜ sin ＜1，0＜ sin
＜ .由A可知， ＜A＋ ＜π，所以 ＜A＜ ，故A为钝
角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确；
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对于C，若m＝ ，则 sin A＋ cos A＝ ①，（ sin A＋ cos A）2＝ ，
所以2 sin A cos A＝－ ，所以A为钝角，且 sin A－ cos A＞0，（ sin
A－ cos A）2＝1－2 sin A cos A＝ ，所以 sin A－ cos A＝ ②.由①②
解得 sin A＝ ， cos A＝－ ，所以tan A＝ ＝－ ，故C正确；对
于D，当m＝1时， sin A＋ cos A＝1，所以（ sin A＋ cos A）2＝1＋2
sin A cos A＝1，所以 sin A cos A＝0.在△ABC中， sin A≠0，所以 cos
A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D.
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13. （2024·连云港月考）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是
α，β，则 cos α cos β－ sin α cos β－ cos α sin β－ sin
α sin β＝ .
解析：由题意知α＋β＝－ ，所以 cos α cos β－ sin α cos
β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ cos （α＋β）－ sin
（α＋β）＝2［ cos （α＋β）－ sin （α＋β）］＝2 sin
＝2 sin ＝2 sin ＝ .
　
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14. 若 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，且0＜α＜ ＜β＜
，求 cos （α＋β）的值.
解：∵0＜α＜ ＜β＜ ，∴ ＜ ＋α＜π，－ ＜ －β
＜0.
又 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，∴ cos （ ＋
α）＝－ ， sin （ －β）＝－ .
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∴ cos （α＋β）＝ sin ［ ＋（α＋β）］＝ sin ［（ ＋α）
－（ －β）］＝ sin （ ＋α） cos （ －β）－ cos （ ＋
α）· sin （ －β）＝ × －（－ ）×（－ ）＝－ .
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15. 已知 ＜β＜α＜ ，且 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ ， sin
2β cos ＋ cos 2β sin ＝ ，求 sin （2α－2β）的值.
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解：由题意，得 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ sin 2α cos ＋ cos
2α sin ＝ sin ＝ ， sin 2β cos ＋ cos 2β sin ＝ sin
＝ .
因为 ＜β＜α＜ ，
所以 ＜2β＋ ＜2α＋ ＜ ，
则 cos ＝－ ， cos ＝－ ，
所以 sin （2α－2β）＝ sin ［ － ］＝ sin
cos － cos sin （2β＋ ）＝ .
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15(共62张PPT)
10.1.2　
两角和与差的正弦
新课程标准解读 核心素养
1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余
弦间的关系 逻辑推理
2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式
的特征 逻辑推理
3.能够运用两角和与差的正弦公式解决有关
求值、化简等问题 数学运算
第1课时　
两角和与差的正弦公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下面两组公式：
　　（1） cos （－α＋ ）＝ sin α， sin （－α＋ ）＝ cos α；
　　（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β（C（α＋
β））， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β（C（α－β））.
　　前面一节课我们学习了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱
导公式可以实现正弦与余弦的互化.
【问题】　你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出用任
意角α，β的正弦、余弦表示 sin （α＋β）， sin （α－β）的公
式吗？
知识点一　两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的 正弦公式 sin （α＋β）＝
S（α＋β） α，
β∈R
两角差的 正弦公式 sin （α－β）＝
S（α－β） sin α cos
β＋ cos α sin β　
sin α cos
β－ cos α sin β　
提醒　两角和与差的正、余弦公式的联系：
知识点二　辅助角公式
1. 构造含特殊角的三角函数式
sin x± cos x＝ 　 　 sin （x± 　 　）；
sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）；
sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）.
　
　
2　
　
2　
　
2. 构造含辅助角的三角函数式
f（x）＝a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ）（其中tan φ
＝ 　 　）＝ cos （x－φ）（其中tan φ＝ 　 　）.
提醒　通过特殊角或辅助角三角函数构造和差角正弦、余弦公式形
式，把三角函数的和差化成和差角的一个三角函数，有利于研究三
角函数的图象和性质.
　
　
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的
B. α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立
C. sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β
D. sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β 一定不成立
√
√
解析： 　对于A，两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β
是任意的，故A正确；对于B，当α＝β＝0时， sin （α－β）＝
sin α－ sin β成立，故B正确；对于C， sin （α－β）＝ sin α
cos β－ cos α sin β，故C错误；对于D，当α＝β＝0时， sin
（α＋β）＝ sin α＋ sin β成立，故D错误.故选A、B.
2. sin 15°＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　 sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin 45° cos 30°－
cos 45° sin 30°＝ × － × ＝ .故选B.
√
3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，则 sin C＝ 　 　.
解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A，由A＝
，得 sin A＝ ， cos A＝ ，由B为△ABC内角， cos B＝ ，
则 sin B＝ .则 sin C＝ × ＋ × ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值
【例1】　（1）（链接教科书第59页练习2题） sin 18° cos 12°＋
cos 18° sin 12°＝（　D　）
A. － B. － C. D.
D
解析： sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝ sin （18°
＋12°）＝ sin 30°＝ .
（2） － ＝（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
解析： － ＝ － ＝
＝ ＝ ＝
＝4.
通性通法
解决给角化简与求值问题的策略
（1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充
分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待
求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切
化弦；
（2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几
种形式：①将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如 sin 15°＝
sin （45°－30°）＝ sin （60°－45°）；②逆用公式凑成特
殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin （13°
＋17°）＝ sin 30°；③进行拆角、拼角，整体代换求值，这一
点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋
β）－β＝（α－β）＋β.
【跟踪训练】
1. （2024·泗阳实验高中月考）计算 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin
10°＝（　　）
A. － B. C. － D.
解析： 　 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin 10°＝ sin 50° cos 10°
＋ cos 50° sin 10°＝ sin （50°＋10°）＝ sin 60°＝ .故选B.
√
2. 化简： －2 cos （α＋β）.
解：原式＝
＝
＝ ＝ .
题型二 给值求值
【例2】　（链接教科书第57页例1）（1）已知 sin α＝ ，α∈
（ ，π）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 sin （α－β）的
值；
解： 由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得 cos α＝－
＝－ ＝－ .
又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－
＝－ ＝－ .
∴ sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）
－（－ ）×（－ ）＝－ .
（2）（2024·镇江中学月考）若 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0，
），求 sin α的值.
解： ∵α∈（0， ），∴ ＜α＋ ＜ ， sin （α＋ ）
＝ ＝ ＝ ，则 sin α＝
sin （α＋ － ）＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin
＝ × －（－ ）× ＝ .
通性通法
解给值求值问题的思路及常用变换
（1）解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪
些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角
函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限
确定符号；
② ＝ － ， ＝（ α＋ ）－ ；
③ ＋ ＝ ＋（α＋β）， ＋ ＝
＋（α－β）.
另外，还要特别注意题干中的隐含条件.
（2）解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算
及函数名的差异，常见角的变换有：
①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；
【跟踪训练】
　已知α，β都是锐角，且 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，求
sin β的值.
解：∵α为锐角，且 sin α＝ ，∴ cos α＝ ＝ ，
∵α，β都是锐角，∴－ ＜α－β＜ ，
又 sin （α－β）＝ ，∴ cos （α－β）＝ ＝
，
∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin
（α－β）＝ × － × ＝ .
题型三 给值求角
【例3】　已知 sin （α＋β）＝ ， cos α＝ ，α，β均为锐角，
求角β的值.
解：因为α为锐角，则0＜α＜ ，又 cos α＝ ，所以 sin α＝ .
又因为β为锐角，则0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π.
因为 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ，
所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos
（α＋β） sin α＝ × －（－ ）× ＝ .
又因为0＜β＜ ，所以β＝ .
通性通法
解决给值求角问题的方法
　　解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函
数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是（0，
π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是 或
时，选取求正弦值.
【跟踪训练】
　已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，求α－β
的值.
解：因为α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，
所以 cos α＝ ， sin β＝ .
所以 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × －
× ＝－ .
又因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ .
故α－β＝－ .
题型四 辅助角公式及应用
【例4】　（链接教科书第58页例3）已知f（x）＝ sin x－ cos x.
（1）将f（x）化成y＝A sin （x＋φ）的形式；
解： f（x）＝ sin x cos － cos x sin ＝ sin （x－ ）.
（2）求f（x）的最小正周期及最大值.
解： 由（1）知T＝ ＝ ＝2π，
当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f
（x）取得最大值1.
【母题探究】
　（变条件）若本例条件改为：已知f（x）＝ sin x－ cos x，如何
求解？
解：（1）f（x）＝ （ sin x－ cos x）＝ （ cos sin x－ sin
cos x）＝ sin （x－ ）.
（2）由（1）知T＝ ＝ ＝2π，
当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x）
取得最大值 .
通性通法
将a sin x＋b cos x化为A sin （ωx＋φ）的方法技巧
（1）对形如 sin x± cos x， sin x± cos x的三角函数式均可利用特
殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三
角函数式的形式，即y＝A sin （x＋φ）的形式；
（2）对于不能构造含特殊角的三角函数式也可通过辅助角公式进行
化简.
【跟踪训练】
　求函数y＝ cos x＋ cos （x＋ ）的最大值.
解：y＝ cos x＋ cos x－ sin x
＝ cos x－ sin x
＝ （ cos x－ sin x）
＝ （ sin cos x－ cos sin x）
＝ sin （ －x）＝－ sin （x－ ），
故当x－ ＝－ ＋2kπ（k∈Z），即x＝－ ＋2kπ（k∈Z）时，函
数y取得最大值 .
1. （2024·徐州月考） sin 7° cos 37°－ sin 83° sin 37°＝（　　）
A. － B. － C. D.
解析： 　原式＝ sin 7° cos 37°－ cos 7° sin 37°＝ sin （7°－
37°）＝ sin （－30°）＝－ .故选B.
√
2. 设α∈ ，若 sin α＝ ，则2 sin （α＋ ）＝ 　 　.
解析：∵ sin α＝ ，α∈ ，∴ cos α＝ ，∴原式＝
2 ＝2×（ × ＋ × ）＝ .
　
3. （2024·常州月考）函数f（x）＝ sin x－ cos （x＋ ）的值域
为 .
解析：f（x）＝ sin x－ cos x＋ sin x＝ · sin x－ cos x＝
（ sin x－ cos x）＝ sin （x－ ），所以f（x）的值域为[－
， ].
[－ ， ]　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 sin ＋ sin ＝（　　）
A. － sin x B. sin x
C. － cos x D. cos x
解析： 　 sin ＋ sin ＝ sin x＋ cos x＋ sin x－
cos x＝ sin x.
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√
2. （2024·南通月考）在△ABC中，已知 sin C＝2 sin （B＋C） cos
B，则△ABC一定是（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
解析： 　由 sin C＝2 sin （B＋C） cos B得 sin （A＋B）＝2 sin
A cos B，所以 sin A cos B－ cos A sin B＝0，所以 sin （A－B）＝
0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B.
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3. 已知 cos （α－β）＝ ， sin β＝－ ，且α∈ ，
β∈ ，则 sin α＝（　　）
A. B.
C. － D. －
√
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解析： 　∵α∈ ，β∈ ，∴ cos β＝ ，∴0＜
α－β＜π，∴ sin （α－β）＝ ，∴ sin α＝ sin [（α－β）＋
β]＝ × ＋ × ＝ ＝ .故选A.
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4. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，则β
＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： ∵0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，由 cos α＝ 得
sin α＝ ，由 cos （α－β）＝ 得 sin （α－β）＝ ，∴ sin
β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin
（α－β）＝ × － × ＝ ＝ ，∴β＝ .故选C.
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5. （多选）已知θ是锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ不能取
得的值是（　　）
A. B.
C. D.
解析： sin θ＋ cos θ＝ （ sin θ＋ cos θ）＝ sin
.∵0＜θ＜ ，∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin
≤1，∴1＜ sin ≤ .故选B、C、D.
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6. （多选）下列计算正确的是（　　）
A. sin 15°－ cos 15°＝
B. sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝
C. sin － cos ＝
D. sin 105°＝
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解析： 　对于A， sin 15°－ cos 15°＝ sin 15° cos 60°－
sin 60° cos 15°＝ sin （15°－60°）＝ sin （－45°）＝－ ，
故A错误；对于B， sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin
20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋10°）＝ sin 30°
＝ ，故B正确；对于C， sin － cos ＝2（ sin cos － sin
cos ）＝2 sin ＝2 sin ＝－ ，故C错误；
对于D， sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos
60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故D正确.故选B、D.
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7. （2024·宿迁如东中学期中） ＝ 　 　.
解析： ＝ ＝
＝
＝ .
　
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8. （2024·泗阳实验高中月考）化简3 sin x－3 cos x＝ 　6 sin
.
解析：3 sin x－3 cos x＝6 ·（ sin x－ cos x）＝6 sin
（x－ ）.
6 sin
（x－ ）　
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解析：∵ sin α＝－ ，α∈ ，∴ cos α＝－
＝－ ，∵ cos β＝－ ，β∈ ，∴ sin β＝ ，∴ cos
（α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × －
× ＝ ＋ ＝ ， sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos
α sin β＝ × ＋ × ＝ － ＝ .
9. 已知 sin α＝－ ，α∈ ， cos β＝－ ，β∈ ，
则 cos （α＋β）＝ 　 　， sin （α＋β）＝ 　 　.
　
　
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10. 化简下列各式：
（1） sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）；
解： sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）＝ sin α
cos 30°－ cos α sin 30°＋ sin α cos 30°＋ cos α sin
30°＝2 sin α cos 30°＝ sin α.
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（2） sin ＋2 sin － cos .
解： 法一　原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x cos
－2 cos x sin － cos cos x－ sin sin x＝
sin x＋（ sin －2 sin － cos ）· cos
x＝（ ＋1－ × ） sin x＋［ －2× －
× ］ cos x＝0.
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法二　原式＝ sin ＋ cos ＋2 sin ＝2［ sin
· ＋ cos （x＋ ）· ］＋2 sin ＝2 sin ＋2
sin （x－ ）＝2 sin ＋2 sin （x－ ）＝2 sin ＋2
sin ＝0.
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11. （2024·淮安月考）已知 sin θ＋ sin ＝1，则 sin ＝
（　　）
A. B.
解析： 　∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin
＝1，∴ sin ＝ ，故选B.
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C. D.
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12. （多选）已知α，β均为锐角，则下列不等式一定成立的是
（　　）
A. sin （α＋β）＞ sin α＋ sin β
B. sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β
C. cos （α＋β）＞ cos α＋ cos β
D. cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β
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解析： 　对于A，当α＝β＝ 时， sin （α＋β）＜ sin α＋
sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以 sin α，
cos α， sin β， cos β的范围均为（0，1），所以 sin （α＋
β）＝ sin α cos β＋ sin β cos α＜ sin α＋ sin β，故B正确；
对于C，当α＝β＝ 时， cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β，故
C错误；对于D， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＜
cos α cos β＜ cos α＜ cos α＋ cos β，故D正确.故选B、D.
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13. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接
EC，ED，则 sin ∠CED＝ .
　
解析：由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝
－∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin · cos ∠BEC－ cos sin
∠BEC＝ × － × ＝ .
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14. 已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝ .
（1）求 sin β的值；
解： ∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π），
又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，
则 sin α＝ ＝ ，
sin （α＋β）＝ ＝ ，
∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－
cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ .
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（2）求2α＋β的值.
解： cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]＝
cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）＝ × －
× ＝0.
由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ），
∴2α＋β＝ .
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15. （2024·扬州月考）已知函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ .
（1）求函数f（x）的最小正周期；
解： 函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝
2 ＋ ＝2 sin （2x＋ ）＋ ，
故它的最小正周期为 ＝π.
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（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心.
解： 令2x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，
k∈Z，
故函数f（x）的对称轴为x＝ ＋ ，k∈Z.
令2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z.
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