资源简介 (共60张PPT)第2课时 正弦定理的应用目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.【问题】 你能借助这三个量，求出AB的长度吗？知识点一 仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.知识点二 三角形面积公式1. S△ABC＝ ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S△ABC＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ca sin B.3. S△ABC＝ r（a＋b＋c）＝ rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.1. （2024·南通如东期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝ ，则△ABC的面积为（ ）A. 3 B. C. D.解析： 由题意可得△ABC的面积为S＝ ab sin C＝×2×3× ＝ .故选B.√2. 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝＝ ，则△ABC是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 有一个内角是30°的直角三角形√解析： 已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A，cos B＝ sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.3. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为 m.解析：由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得， ＝ ，即AB＝ ＝ ＝4 （m）.4 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 正弦定理在实际问题中的应用【例1】 （链接教科书第99页例3）要测量河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为（参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97）（ ）A. 170 m B. 98 mC. 95 m D. 86 m√解析： 在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝ ×120＝40（m）.设△ABC中AB边上的高为h，则h＝BC× sin ∠CBA＝40× sin 75°≈95（m），即河宽约为95 m.故选C.通性通法 在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.【跟踪训练】 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20 n mile处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔S在货轮的北偏东45°方向上，求货轮的航行速度.解：设货轮的航行速度为v n mile/h，如图，在△MNS中，MS＝20 nmile，MN＝ v，∠NMS＝30°＋15°＝45°，∠MNS＝180°－30°－45°＝105°，从而∠MSN＝30°.由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，所以v＝20（ － ）（n mile/h）.题型二 判断三角形形状【例2】 （链接教科书第101页练习5题）在△ABC中，已知2a＝b＋c， sin 2A＝ sin B· sin C，则△ABC的形状为 三角形.解析：由正弦定理可知 ＝ ＝ ，由 sin 2A＝ sin B sin C，可得a2＝bc，又2a＝b＋c，将此式两边平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形为等边三角形.等边 通性通法利用正弦定理判断三角形形状的常用方法（1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角（若 sin2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ ），再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；（2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），进而确定三角形的形状.【跟踪训练】1. （2024·南京月考）在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形解析： 在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理可知， sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin 2B，即 sin （A＋C）＝ sin B＝ sin 2B，∵0＜B＜π，∴ sin B≠0，∴ sin B＝1，B＝ ，∴三角形为直角三角形.故选C.√2. 在△ABC中， sin A＝2 sin B cos C，且 sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，试判断△ABC的形状.解：法一 根据正弦定理 ＝ ＝ ，∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2 sin B cos C＝2 sin B cos （90°－B）＝2 sin 2B＝ sin A＝1，∴ sin B＝ .∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.法二 根据正弦定理 ＝ ＝ ，∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－（B＋C）， sin A＝2 sin B cos C，∴ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝2 sin B cos C，∴ sin （B－C）＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.题型三 三角形面积公式及其应用【例3】 （1）（多选）在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2 ，AC＝2，则△ABC的面积可能为（ AC ）A. B. 2C. 2 D. 4AC解析： 由正弦定理，得 sin C＝ ＝ ，又AB· sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝ AB·AC＝2 ；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝ AB·AC· sin A＝ .所以△ABC的面积为2 或 .故选A、C.（2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ ，则 sin B∶ sin C＝ .解析： 因为S△ABC＝ bc sin A，所以c＝ ＝ ＝4，由正弦定理 ＝ ，得 sin B∶ sin C＝b∶c＝1∶4.1∶4 通性通法 对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半.求三角形面积时，一般已知哪个角就使用哪个公式.反之，给出了三角形的面积，也可求相应边或角.【跟踪训练】1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝2，B＝ ，C＝ ，则c＝ 2 ，△ABC的面积为 ＋1 .解析：由正弦定理得，c＝ ＝2 .又 sin A＝ sin （π－B－C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ ，所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝ ＋1.2 ＋1 2. （2024·常州月考）在△ABC中，若a＝3 ， cos C＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝ 2 .解析：∵ cos C＝ ，∴0°＜C＜90°，∴ sin C＝ ＝，又S△ABC＝ ab sin C＝ ×3 b× ＝4 ，∴b＝2 .2 题型四 求解平面几何问题【例4】 （链接教科书第100页例5）如图，已知四边形ABCD为平行四边形.求证：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.证明：在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC.因为∠ABC＋∠BAD＝180°，所以 cos ∠ABC＋ cos ∠BAD＝0，所以BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.通性通法 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.【跟踪训练】 （2024·淮安月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝ ，BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD.（1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA；解： 在△ABC中，由正弦定理得＝ ，即 ＝ ，解得 sin ∠BCA＝ .（2）若AD＝3AC，求AC.解： 设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝ ＝2 x，sin ∠CAD＝ ＝ .在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC＝ ＝ .又∠BAC＋∠CAD＝ ，所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ，整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3.1. 在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC一定是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰三角形解析： 由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.故选B.√2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（ ）A. B.C. D.解析： 因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝ .故选C.√3. 已知锐角△ABC的面积为3 ，AB＝2，BC＝6，则角B的大小为 .解析：∵S＝ BC·AB· sin B＝ ×6×2× sin B＝3 ，∴ sin B＝，∵△ABC为锐角三角形.∴B＝45°.45° 4. 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为 m.5（ ＋1） 解析：法一 ∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得AC＝ · sin ∠ADC＝ · sin 30°＝ ＝5 （ ＋1）m.∴AB＝AC sin 45°＝5（ ＋1）m.∴A点离地面的高AB为5（ ＋1）m.法二 设AB＝x（m），则BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）m.∴tan∠ADB＝ ＝ ＝ .解得x＝5（ ＋1）.∴A点离地面的高AB为5（ ＋1）m.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（ ）A. 3 B. 3C. 6 D. 6解析： S＝ ab sin C＝ ×4×3× ＝3 .故选B.123456789101112131415√2. （2024·扬州月考）在△ABC中，已知3b＝2 a sin B，且 cos B＝cos C，A是锐角，则△ABC是（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形解析： 由3b＝2 a sin B，得 ＝ ，根据正弦定理，得＝ ，所以 ＝ ，即 sin A＝ .又A是锐角，所以A＝60°.又 cos B＝ cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，故△ABC为等边三角形.√1234567891011121314153. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（ ）A. 5 海里/时 B. 5海里/时C. 10 海里/时 D. 10海里/时解析： 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.√1234567891011121314154. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD＝（ ）A. 2 B. 2或4C. 1或2 D. 5解析： 设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴ ×3×6× ＝ ×3x× ＋ ×6x× ，解得x＝2.故选A.√1234567891011121314155. （多选）（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）A. 若A＜B，则 sin A＜ sin BB. 若 sin A＜ sin B，则A＜BC. 若A＞B，则 ＞D. 若A＜B，则 cos 2A＞ cos 2B√√√123456789101112131415解析： 由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得2R sin A＜2R sin B，所以 sin A＜ sin B，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B＝30°时， ＜0， ＞0，故C错误；若A＜B，则 sin A＜ sin B， sin 2 A＜ sin 2 B，即1－ cos 2A＜1－ cos2B，所以 cos 2A＞ cos 2B，故D正确.故选A、B、D.1234567891011121314156. （多选）若a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知bsin A＝（3b－c） sin B，且 cos A＝ ，则下列说法正确的是（ ）A. a＋c＝3bB. tan A＝2C. △ABC的周长为4cD. △ABC的面积为 c2√√√123456789101112131415解析： 对于A，由b sin A＝（3b－c） sin B角化边可得ba＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为 cos A＝ ，所以 sin A＝ ＝ .所以tan A＝ ＝2 ，故B正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2＋c2－ bc，将a＝3b－c代入上式可得b＝ c，所以△ABC的面积为 bc sin A＝ c2，故D正确.故选A、B、D.1234567891011121314157. 如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于 .5 解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 .1234567891011121314158. （2024·镇江月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔高度为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为 km.（精确到0.1 km，参考数据：≈1.732）6.6 123456789101112131415解析：因为AB＝1 000× ＝ （km），所以BC＝ · sin30°＝ （km），航线离山顶的高度h＝ × sin 75°＝ ×sin （45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6（km）.1234567891011121314159. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（ sin B－ sinC）2＝ sin 2A－ sin B sin C，则角A的大小为 .解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.60° 123456789101112131415证明：在△ABD中利用正弦定理得 ＝ ，在△CBD中利用正弦定理得 ＝ .因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD，又因为∠ADB＋∠CDB＝180°，所以 sin ∠ADB＝ sin ∠CDB，所以 ＝ ，即 ＝ 成立.10. 在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D. 求证： ＝ .12345678910111213141511. （2024·宿迁月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝4 sin C，则△ABC外接圆的面积为（ ）A. 16π B. 8π解析： 因为a cos B＋b cos A＝4 sin C，所以由正弦定理可得，sin A cos B＋ sin B cos A＝ ，化简得， sin （A＋B）＝ ，在△ABC中， sin （A＋B）＝ sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D.C. 2π D. 4π√12345678910111213141512. （多选）下列命题中，正确的是（ ）A. 在△ABC中，若A＞B，则 sin A＞ sin BB. 在锐角△ABC中，不等式 sin A＞ cos B恒成立C. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形√√√123456789101112131415解析： 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得 ＝，所以A＞B a＞b sin A＞ sin B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈ ，且A＋B＞ ，则 ＞A＞ －B＞0，所以 sin A＞ sin ＝ cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得 sin 2A＝ sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝ －B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D.12345678910111213141513. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin A＋ sin B＝ sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3 sinC，则c＝ ， cos C＝ .4 － 123456789101112131415解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin A＋ sin B＝ sin C，则a＋b＝ ，且△ABC的周长为9，则c＋ ＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3 sin C，则 ab sin C＝3 sin C，整理得ab＝6，由于a＋b＝ ＝5，故解得或所以 cos C＝ ＝－ .12345678910111213141514. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－ a sin C＝b sin B.（1）求B的大小；解： 由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.123456789101112131415（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋cos 30° sin 45°＝ .故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ .由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，故c＝b· ＝2× ＝ .12345678910111213141515. （2024·苏州月考）如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3， cos B＝ .（1）求△ACD的面积；解： 因为D＝2B， cos B＝ ，所以 cos D＝ cos 2B＝2 cos 2B－1＝－ .因为D∈（0，π），所以 sin D＝ ＝ .因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝ AD·CD· sin D＝ ×1×3× ＝ .123456789101112131415（2）若BC＝2 ，求AB的长.解： 在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC· cos D＝12，所以AC＝2 .在△ABC中，因为BC＝2 ， ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，所以AB＝4.123456789101112131415(共55张PPT)11.2 正弦定理新课程标准解读 核心素养1.掌握正弦定理及正弦定理的变形 逻辑推理2.会利用正弦定理解决简单的实际问题 数学运算第1课时 正弦定理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理根据锐角三角函数，如图，在Rt△ACB中，有 sin A＝ ， sin B＝ ，显然，上述两个关系式在斜三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得 ＝ ＝c. 又因为 sin C＝ sin 90°＝1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即 ＝ ＝ .【问题】 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？知识点一 正弦定理条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 ＝ ＝文字 叙述 三角形的各边与它所对角的 的比相等正弦 提醒 正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；② sin A＝ ， sin B＝ ， sinC＝ ；③ ＝2R；④ sin A∶ sin B∶ sin C＝a∶b∶c.知识点二 三角形解的个数的判断1. 代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A，一解；③ sin B＜1，即b sin A＜a＜b，两解.2. 几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：分类 图形 关系式 解的个数A为 锐角 a＜b sin A 无解a＝b sin A 一解b sin A＜ a＜b 两解a≥b 一解分类 图形 关系式 解的个数A为 钝角 或直角 a＞b 一解a≤b 无解1. 在△ABC中，下列等式总能成立的是（ ）A. a cos C＝c cos A B. b sin C＝c sin AC. ab sin C＝bc sin B D. a sin C＝c sin A解析： 由正弦定理易知，选项D正确.√2. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2 ，则b＝（ ）A. B. C. D. 2解析： ＝ b＝ ＝ ＝2 .故选D.√3. 在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，求△ABC的外接圆半径.解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝8，解得R＝4.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 已知两角及一边解三角形【例1】 （链接教科书第97页例1）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.由 ＝ 得，c＝ ＝＝ ＝4（ ＋1）.所以A＝45°，c＝4（ ＋1）.通性通法已知两角及一边解三角形的一般步骤【跟踪训练】 （2024·南京月考）在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为（ ）A. 5 B. 4C. 5 D. 4解析： 根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理 ＝ ，得b＝ ＝ ＝5 .故选C.√题型二 已知两边及一边的对角解三角形【例2】 （链接教科书第98页例2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形.解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ，∵b＜a，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝ ＝ ＝ ；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝ ＝ ＝ .故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ；当A＝120°时，C＝15°，c＝ .【母题探究】 （变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形.解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ，∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，∴c＝ ＝ ＝ .通性通法已知两边及一边的对角解三角形的步骤【跟踪训练】1. （2024·常州月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3， sin A＝ ，则B＝（ ）A. B.C. 或 D. 或解析： 由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ .因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A.√2. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（ ）A. 60° B. 60°或120°C. 60°或150° D. 120°解析： a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知 ＝，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故选B.√题型三 已知两边及一边对角判断三角形解的个数【例3】 不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）：（1）a＝5，b＝4，A＝120°；解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解.（2）a＝9，b＝10，A＝60°；解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，而 ＜ ＜1.所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜B＜90°，满足A＋B＜180°；当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.（3）b＝72，c＝50，C＝135°.解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ .所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.通性通法1. 在△ABC中，0＜ sin B≤1，故 ≥1.∵ ＝ ，∴a＝，∴a≥b sin A. 这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形解的个数（1或2）的前提.2. 解三角形时，可以先求出 sin B的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数.【跟踪训练】1. 在△ABC中，已知a＝30，b＝50，A＝30°，则满足条件的三角形有（ ）A. 1个 B. 2个C. 0个 D. 无法确定解析： ∵b sin A＝50× ＝25，∴b sin A＜a＜b.∴满足条件的三角形有2个.故选B.√2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（ ）A. x＞2 B. x＜2C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2解析： 由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1，可得x＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C.√1. 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则 ＝（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 4解析： ＝ ＝ ＝4.√2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4 ，c＝2，C＝30°，那么此三角形（ ）A. 有一解 B. 有两解C. 无解 D. 解的个数不确定解析： 法一 由正弦定理和已知条件，得 ＝ ，∴ sinB＝ .∵ ＞1，∴此三角形无解.√法二 ∵c＝2，b sin C＝2 ，∴c＜b sin C，故此三角形无解.法三 作∠ACD＝30°，AC＝b＝4 ，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解.3. （2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4 ，那么120°角所对的边长等于 .解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得 ＝，得x＝ ＝ ＝12.12 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2 ，则c＝（ ）A. 1 B. 2C. D.解析： ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝ ＝ ＝2.故选B.123456789101112131415√2. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 sin B＝（ ）A. B.C. D.解析： 由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B＝ .故选A.√1234567891011121314153. （2024·扬州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2， sin （A＋B）＝ ， sin A＝ ，则c＝（ ）A. 4 B. 3C. D.解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ .由正弦定理得c＝ · sin C＝ × ＝ .故选C.√1234567891011121314154. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）A. 1∶2∶3 B. 3∶2∶1C. 2∶ ∶1 D. 1∶ ∶2解析： 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C＝ sin 30°∶ sin60°∶ sin 90°＝1∶ ∶2.故选D.√1234567891011121314155. （多选）（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝2 ，c＝2 ，A＝ ，则C的值可以是（ ）A. B.C. D.解析： 由正弦定理，有 ＝ ，得 sin C＝ ＝＝ ，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝ 或C＝ .故选B、D.√√1234567891011121314156. （多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解√√√123456789101112131415解析： A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解.1234567891011121314157. （2024·无锡锡南实验中学期中）在△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝ .解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理 ＝ ，即 ＝ ，解得BC＝ . 1234567891011121314158. 在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为 .解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝ ＝ ＝ . 123456789101112131415解析：∵ cos A＝ ， cos C＝ ，∴ sin A＝ ＝ ， sinC＝ ＝ ，∴ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cosA sin C＝ × ＋ × ＝ .在△ABC中由正弦定理得 ＝＝ ＝ ＝ ，∴b＝ sin B＝ × ＝ ，c＝ sin C＝ × ＝.9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A＝ ，cos C＝ ，a＝1，则b＝ ，c＝ . 12345678910111213141510. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；解： ∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－（A＋C）＝45°.∵ ＝ ＝ ，∴b＝ ＝ ＝2 ，c＝ ＝ ＝ ＋ .∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ .123456789101112131415（2）b＝3，c＝3 ，B＝30°.解： 由正弦定理，得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin C＝ .∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝ ＝6.②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.12345678910111213141511. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取值范围为（ ）A. （ ， ） B. （ ，2）C. （0，2） D. （ ，2）解析： 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B＜ ，余弦函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈（ ， ）.√12345678910111213141512. （多选）下列说法中正确的是（ ）A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin CB. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝BC. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin BD. 在△ABC中， ＝√√√123456789101112131415解析： 对于A，由 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ ，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得， sin A＞ sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由＝ ＝ ＝2R，可得 ＝ ＝2R＝ ，故D正确.12345678910111213141513. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ，得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即 ＜b＜2.（ ，2） 12345678910111213141514. （2023·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝ ，b＝2，A＝120°.（1）求 sin B的值；解： 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝ ，则 sinB＝ ＝ ＝ .123456789101112131415（2）求c的值；解： 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即（ ）2＝22＋c2－2×2×c× cos 120°，解得c＝－7或c＝5.又∵c＞0，∴c＝5.123456789101112131415（3）求 sin （B－C）的值.解： 由（1）（2）知 sin B＝ ， cos B＝ ， sinC＝ .∵A为钝角，∴C为锐角，∴ cos C＝ .∴ sin （B－C）＝ sin B cos C－ cos B sin C＝ × －× ＝－ .12345678910111213141515. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2， sin ∠ACF＝，试求边AC的长.123456789101112131415解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝t，则CF＝2＋t，由正弦定理可知， ＝ ，即 ＝ ，则AC＝ t，在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF cos ∠AFC，即 t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－ ），又t＞0，则t＝3，故AC＝ t＝7.123456789101112131415 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第1课时 正弦定理.pptx 第2课时 正弦定理的应用.pptx
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