资源简介 (共64张PPT)第1课时 古典概型新课程标准解读 核心素养1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点 数学抽象2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题 数学运算、数学建模目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.【问题】 （1）若同时抛掷两颗不同的骰子，朝上的点数有多少种不同的结果？（2）你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？知识点一 随机事件概率的性质1. 事件A的概率的取值范围： .2. 必然事件Ω的概率P（Ω）＝ .3. 不可能事件 的概率P（ ）＝ .0≤P（A）≤1 1 0 知识点二 古典概型1. 定义：如果某概率模型具有以下两个特点：（1）样本空间Ω只含有 样本点；（2）每个基本事件的发生都是 的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.有限个 等可能 2. 古典概型的概率计算公式在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}（其中，n为样本点的个数），那么每一个基本事件{ωk}（k＝1，2，…，n）发生的概率都是 .如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P（A）＝ .一般地，若用n（A）表示事件A包含的样本点个数，则P（A）＝ . 【想一想】1. “在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？提示：不属于古典概型.因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.2. 若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.1. （多选）下列是古典概型的有（ ）A. 从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B. 同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率C. 近三天中有一天降雨的概率D. 10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率√√√解析： 古典概型的特征：①试验中所有可能发生的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.显然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选A、B、D.2. 袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有15种取法，其中取到白球有6种取法，所以取到白球的概率为 ＝ .故选A.√3. 将一枚质地均匀的一元硬币抛掷2次，恰好出现一次正面朝上的概率是 .解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），（正，反），（反，正）四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率为 ＝ . 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 古典概型的判断【例1】 （多选）下列试验是古典概型的是（ ）A. 在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B. 口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球为白球的概率C. 向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D. 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率√√解析： 对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选B、D.通性通法判断一个试验是不是古典概型的步骤（1）明确试验及其结果；（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.【跟踪训练】 下列概率模型中属于古典概型的是（ ）A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环C. 某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长D. 一只使用中的灯泡寿命长短√解析： 对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.题型二 古典概型的概率计算角度1 列举法求古典概型的概率【例2】 （链接教科书第280页例1）一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中一次摸出2个球.求：（1）样本空间的样本点的总数n；（1）将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所以n＝6.解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；解：事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个样本点.（3）摸出2个黑球的概率.解：样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝ ＝ ，即摸出2个黑球的概率为 .通性通法应用列举法求古典概型概率的三个步骤此方法适用于较为简单的古典概型问题.角度2 树形图法求古典概型的概率【例3】 （2024·常州月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（ ）A. B.C. D.√解析： 画树形图如图所示，由树形图知，共有16种等可能结果，其中第4次传球后球回到甲手中的有6种结果，所以第4次传球后球回到甲手中的概率为 ＝ .通性通法树形图法的应用 先明确一次试验的步骤及顺序，使用树形图列举出一次试验的所有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间的样本点个数，然后代入古典概型的概率公式求解.树形图法便于分析样本点间的关系，适用于较复杂的问题.角度3 列表法求古典概型的概率【例4】 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.（1）求点数之和为7的概率；（1）记“点数之和为7”为事件A，从表中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），故P（A）＝ ＝ .解：抛掷两枚质地均匀的骰子，其情况如表所示：（2）求掷出两个4点的概率；解：记“掷出两个4点”为事件B，从表中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝ .（3）求点数之和能被3整除的概率.解：记“点数之和能被3整除”为事件C，从表中可以看出，事件C包含的样本点共有12个，分别为（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），故P（C）＝ ＝ .通性通法列表法的应用 利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方法直观、简洁，不易出错.角度4 图示法求古典概型的概率【例5】 市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的概率为 .解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为 ＝0.038.0.038 通性通法 从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card（A）＝k，则有P（A）＝ ，因此可建立事件与集合的关系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关系，并易确定n，k的值.【跟踪训练】1. 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为 .故选C.√2. （2024·无锡月考）每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为 . 解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为P＝ ＝ .3. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是 ，3个矩形颜色都不同的概率是 . 解析：所有可能的样本点共有3×3×3＝27（个），如图所示：记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A中的样本点有3个，故P（A）＝ ＝ .记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，故P（B）＝ ＝ .1. 下列试验是古典概型的是（ ）A. 口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球B. 在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D. 某人射击中靶或不中靶解析： 对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型.√2. （多选）下列有关古典概型的说法正确的有（ ）A. 试验的样本空间的样本点总数有限B. 每个事件出现的可能性相等C. 每个样本点出现的可能性相等D. 已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝√√√解析： 由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件不一定是一个样本点，可能包含若干个样本点，故B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D.3. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选中的概率为 .解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所求事件的概率为 . 4. （2024·盐城月考）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意选出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P（A）＝ ＝ . 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 下列结论正确的是（ ）A. 事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1B. 若P（A）＝0.999，则A为必然事件C. 灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性为99%D. 若P（A）＝0.001，则A为不可能事件解析： 由概率的性质知A、B、D错，由概率的意义知C正确.123456789101112131415√2. 若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为（ ）A. B.C. D.解析： 样本空间包含10个样本点，“随机抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为 .故选B.√1234567891011121314153. 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）A. B.√C. D.解析： 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为 .1234567891011121314154. 同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（ ）A. B.解析： 同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示：由上表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝ ＝ .C. D.√1234567891011121314155. （2024·无锡月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则它们过正六边形中心的概率等于（ ）A. B.C. D.√解析： 从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于 ＝ .故选D.1234567891011121314156. （2024·南通月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（ ）A. B.C. D.√123456789101112131415解析： 设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率P＝ .故选C.1234567891011121314157. 从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是 .解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为 ＝ . 1234567891011121314158. 小明打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功开机的概率是 .解析：∵Ω＝{（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.∵正确的开机密码只有1种，∴P＝ . 1234567891011121314159. 有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率是 .解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为 . 12345678910111213141510. 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.（1）共有多少个样本点？解： 分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表示）：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个样本点.123456789101112131415（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？解： 上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝ .故摸出2个球都是白球的概率为 .12345678910111213141511. （2024·泰州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（ ）A. B.C. D.√123456789101112131415解析： 所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝ ＝ .12345678910111213141512. （2024·宿迁月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A. B.C. D.√123456789101112131415解析： 记“｜a－b｜≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，列表如下：则事件A包含的样本点共16个，又样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝ ＝ .12345678910111213141513. （2024·镇江月考）某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A，B社团的有10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8人.随机选取1人，则他参加的社团不超过两个的概率为 .解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所示，参加的社团不超过两个的概率P＝＝ . 12345678910111213141514. 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：（1）取出的书不成套；解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2.不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.123456789101112131415（1）设事件A表示“取出的书不成套”，则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，故P（A）＝ ＝ .123456789101112131415（2）取出的书均为上册；解：设事件B表示“取出的书均为上册”，则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，故P（B）＝ ＝ .（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.解：设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P（C）＝ ＝ .12345678910111213141515. 某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D. 现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；123456789101112131415解： 从6名特级教师中选出3名教师组成评审团，树形图如图所示，故组成人员的全部样本点为（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）.123456789101112131415（2）求教师A1被选中的概率；解： 在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个，所以教师A1被选中的概率为 .（3）求评审团中没有乙校教师的概率.解： 评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，D），（A2，C，D），共2个，所以评审团中没有乙校教师的概率为 ＝ .123456789101112131415(共60张PPT)第2课时 频率与概率新课程标准解读 核心素养1.通过实例，理解概率的性质 数学建模2.结合实例，会用频率估计概率 数学建模、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是 .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 ，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在 处，即正面和反面出现的概率都为 .【问题】 你认为频率与概率之间有什么关系？知识点一 频率的稳定性 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P（A）的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性.知识点二 频率与概率的关系 在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一事件A出现了m次，则事件A出现的频数是 ，称事件A出现的次数与试验总次数的比例 为事件A出现的频率，当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率 来估计事件A的概率，即P（A）≈ .m 知识点三 概率的意义 对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性.【想一想】 频率与概率之间有什么关系？提示：（1）频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小；（2）概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小；（3）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率.在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值.1. 某地气象局预报：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）A. 明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B. 明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C. 明天本地降水的可能性是80%D. 以上说法均不正确解析： 选项A、B显然不正确，明天本地降水的概率为80%而不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.√2. 下列说法正确的是 .（填序号）①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P（A）＝ ；③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.①④⑤ 解析：根据频率与概率的定义，可知①正确；频率不是概率，②中求出的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确.3. 设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为 .解析：8 000×（1－2%）＝7 840（件）.7 840 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 频率与概率的关系【例1】 （1）（多选）下列关于概率和频率的叙述正确的有（ BD ）A. 随机事件的频率就是概率B. 随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个固定的数值C. 频率是随机的，与试验次数无关D. 概率是客观存在的，与试验次数无关BD解析： 对于A，随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故A错误；对于B，随机事件的频率不是一个固定的数值，而概率是一个确定的数值，故B正确；对于C，频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，故C错误；对于D，概率是确定的值，与试验次数无关，故D正确.故选B、D.（2）某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（ B ）A. 正面朝上的概率为0.7B. 正面朝上的频率为0.7C. 正面朝上的概率为7D. 正面朝上的概率接近于0.7B解析：正面朝上的频率是 ＝0.7，正面朝上的概率是0.5，故选B.通性通法对频率与概率的理解（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；（2）频率本身是随机的，在试验前不能确定；（3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.【跟踪训练】1. 试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的.某同学说：“每个选项正确的概率是 ，若每题都选择第一个选项，则一定有2道题的选择结果正确”.这句话（ ）A. 正确 B. 错误C. 有一定道理 D. 无法解释√解析： 从四个选项中正确选择选项是一个随机事件， 是指这个事件发生的概率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确.因此该同学的说法是错误的，故选B.2. 某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为 （填序号）.①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.解析：能代表教练的观点的为该射击运动员射一次，中靶的机会是90%.② 题型二 利用频率估计概率【例2】 （链接教科书第284页例5）下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数 45 92 194 470 954 1 902优等品频率（1）计算各组优等品频率，填入上表；解： 根据优等品频率＝ ，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.（2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.解： 由（1）可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.通性通法1. 用频率估计概率如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率 作为事件A的概率的近似值.2. 用频率估计概率的步骤（1）确定随机事件A的频数nA；（2）由fn（A）＝ 计算频率fn（A）（n为试验的总次数）；（3）由频率fn（A）估计概率P（A）.【跟踪训练】 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果如图所示：（1）估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；解： 甲品牌产品寿命小于200 h的频率为 ＝ ，用频率估计概率，所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为 .（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.解： 根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145（个），其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是 ＝ ，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品估计是甲品牌的概率为 .题型三 概率的应用【例3】 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一条件下的试验结果，10 000个鱼卵能孵化出8 520尾鱼苗.（1）求这种鱼卵孵化的频率；解： 由题意可知，这种鱼卵孵化的频率为 ＝0.852.（2）估计30 000个这种鱼卵能孵化出多少尾鱼苗？解： 由（1）可知，这种鱼卵孵化的频率为0.852，所以估计30 000个这种鱼卵能孵化出0.852×30 000＝25 560尾鱼苗.（3）若要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？解： 设要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备x个鱼卵.由0.852x＝5 000，可得x＝ ≈5 869.故要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备5 869个鱼卵.通性通法 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情做出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.【跟踪训练】 （2024·徐州月考）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；解： 记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况，其中x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为 ＝ .（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由.解： 不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况，故甲获胜的概率为 ＝ ，乙获胜的概率为 ＝ ，故不公平.1. 在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时，事件A发生的概率P（A）与 的关系是（ ）A. P（A）≈ B. P（A）＜C. P（A）＞ D. P（A）＝解析： 在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时， 越来越接近于P（A），所以可以用 近似的代替P（A），即P（A）≈ ，故选A.√2. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设“反面向上”为事件A，则事件A出现的频数为 ，事件A出现的频率为 .解析：频数为52，频率为 ＝0.52.52 0.52 3. 一个盒子中有若干白色棋子，为了估计其中棋子的数目，小明将100颗黑色的棋子放入其中，充分搅拌后随机取出了20颗，数得其中有5颗黑色的棋子，则估计白色棋子的数目为 .解析：设白色棋子的数目为 n，则由已知可得 ＝ ，解得n＝300，即白色棋子的数目大约有300颗.300 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地123456789101112131. 下列说法中正确的有（ ）A. 任何事件发生的概率总是在（0，1）之间B. 概率是随机的，在试验前不能确定C. 频率是客观存在的，与试验次数无关D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值√解析： 概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，故B、C错误；D显然正确.123456789101112132. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的（ ）A. 概率为 B. 频率为C. 频率为8 D. 概率接近0.8解析： 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为 ＝ .√123456789101112133. 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，今年的宣传主题是“关注普遍的眼健康”.调查数据显示，江苏中小学生近视率超50%.若某学校的高一在校学生近视率约为37.4%，某眼镜厂家要到该中学给高一学生配镜，若已知该校高一学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为（ ）A. 374副 B. 224.4副C. 不少于225副 D. 不多于225副解析： 根据概率相关知识，该校近视学生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副.故选C.√123456789101112134. （2024·徐州月考）随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如下表：满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意人数 200 n 2 100 1 000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）A. B.√C. D.12345678910111213解析： 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为 ＝ .由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为 .故选C.123456789101112135. （多选）给出下列4个说法，其中错误的是（ ）A. 现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品B. 做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是C. 抛掷一颗骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是D. 随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率√√√12345678910111213解析： 次品率为0.05，即出现次品的概率（可能性）是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故A不正确；正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故B不正确；C显然正确；由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故D不正确.故选A、B、D.123456789101112136. 容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6，10）内的频数为 ，估计数据落在[2，10）内的概率约为 .64 0.4 解析：数据落在[6，10）内的频数为200×0.08×4＝64，落在[2，10）内的频率为（0.02＋0.08）×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4.123456789101112137. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为 .解析：该同学这两场投篮的命中率为 ＝74%.74% 123456789101112138. 对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下：抽查件数 50 100 200 300 500合格品件数 47 92 192 285 478根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查 件产品.解析：抽查的产品总件数为1 150，合格品件数为1 094，合格率为≈0.95，950÷0.95＝1 000，故大约需抽查1 000件产品.1 000 123456789101112139. 一地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892（1）计算男婴的出生频率（保留4位小数）；解： 计算得男婴出生的频率依次约为0.520 0，0.5173，0.517 3，0.517 3.12345678910111213（2）这一地区男婴出生的概率约为多少？解： 因为这些频率非常接近0.517 3，所以这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.1234567891011121310. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A. 抛一枚硬币，出现正面朝上B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D. 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球√12345678910111213解析： 由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为 ，不符合，故B错误；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为 ，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确.故选D.1234567891011121311. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：A. 猜“是奇数”或“是偶数”；B. 猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；C. 猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.12345678910111213（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？解： 如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为 ＝0.5；方案B中“不是4的整数倍数”的概率为 ＝0.8，“是4的整数倍数”的概率为 ＝0.2；方案C中“是大于4的数”的概率为 ＝0.6，“不是大于4的数”的概率为 ＝0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案B，猜“不是4的整数倍数”.请回答下列问题：12345678910111213（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选择哪种猜数方案？为什么？解： 为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.解： 可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方案也可以保证游戏的公平性.1234567891011121312. （2024·苏州月考）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（1）摇号的初始中签率为0.19；（2）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请 位好友参与“好友助力”活动.15 12345678910111213解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且 ＝14.2，所以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动.1234567891011121313. （2024·扬州质检）某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，该商店统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：到会人 数/人 （8 000， 9 000] （9 000， 10 000] （10 000， 11 000] （11 000， 12 000] （12 000，13 000]需求 量/箱 400 450 500 550 600天数 5 6 8 7 4以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.12345678910111213（1）估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；解： 由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19，所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为 .12345678910111213解： 当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间（8 000，9 000]内，则Y＝400×100×（1－0.6）＋150×100×（0.3－0.6）＝11 500（元）；若到会人数位于区间（9 000，10 000]内，则Y＝450×100×（1－0.6）＋100×100×（0.3－0.6）＝15 000（元）；若到会人数位于区间（10 000，11 000]内，则Y＝500×100×（1－0.6）＋50×100×（0.3－0.6）＝18 500（元）；（2）设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.12345678910111213若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×（1－0.6）＝22 000（元），即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000，Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人数不超过10 000的频率为 ＝ ，所以估计Y不超过15 000元的概率为 .12345678910111213 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第1课时 古典概型.pptx 第2课时 频率与概率.pptx
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