资源简介

(共64张PPT)
10.3　
几个三角恒等式
新课程标准解读 核心素养
1.了解积化和差公式、和差化积公式及其
推导过程 逻辑推理
2.了解半角公式及其推导过程 逻辑推理
3.能运用积化和差公式、和差化积公式及
半角公式进行相关计算、化简和证明 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下列学过的两组公式：
（1） sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， ①
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β； ②
（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， ③
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β. ④
　　尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？
【问题】　（1）如何用 sin （α＋β）， sin （α－β）表示 sin α cos β及 cos α sin β的值？
（2）如何用 cos （α＋β）， cos （α－β）表示 cos α cos β及 sin α sin β的值？
　 积化和差
知识点一　积化和差公式、和差化积公式
和差化积
【想一想】
1. 积化和差公式与和差化积公式之间有什么联系？
提示：在积化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y，则α＝
，β＝ ，则积化和差公式相应变为和差化积公式.
2. 积化和差公式与和差化积公式在三角恒等变换中有什么作用？
提示：和积互化是三角恒等变换中的一种重要的变形手段，是化非
特殊角为特殊角的有效方法，也是在三角函数式的化简、求值和证
明中，相约或相消的常用方法.
知识点二　半角公式
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【想一想】
半角公式中的符号是如何确定的？
提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求 的范围，然后根据 的
范围确定符号；
（2）如果没有给出确定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. cos α－ cos β＝－2 sin sin
B. cos ＝
C. tan ＝
D. tan ＝ ，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）
√
√
解析： 　对于A， cos α－ cos β＝－2 sin · sin ，故A
正确；对于B， cos ＝± ，故B错误；对于C、D，当
α≠2kπ＋π时，tan ＝ ＝ ，故C错误，D正确.故选
A、D.
2. （2024·南京月考）若 cos 2α＝－ ，且α∈ ，则 sin α＝
（　　）
A. B. C. D. －
解析： 　因为α∈ ，所以 sin α≥0，由半角公式可得 sin
α＝ ＝ .故选A.
√
3. sin cos ＝ 　 ＋ 　.
解析： sin cos ＝ sin · cos （π＋ ）＝ sin cos
＝ ＝ ×（1＋ ）＝ ＋ .
＋ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 积化和差公式的应用
【例1】　（链接教科书第76页例1）求下列各式的值：
（1） sin 37.5° cos 7.5°；
解： 原式＝ [ sin （37.5°＋7.5°）＋ sin （37.5°－
7.5°）]
＝ （ sin 45°＋ sin 30°）＝ ×（ ＋ ）＝ .
（2） sin 20° cos 70°＋ sin 10° sin 50°.
解： 原式＝ （ sin 90°－ sin 50°）－ （ cos 60°－
cos 40°）
＝ － sin 50°＋ cos 40°＝ － sin 50°＋ sin 50°＝ .
通性通法
　　在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果
应为 sin （α＋β）与 sin （α－β）的和或差；如果形式为同名函
数积时，化得的结果应为 cos （α＋β）与 cos （α－β）的和或差.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1）2 cos 50° cos 70°－ cos 20°；
解： 原式＝ cos （50°＋70°）＋ cos （50°－70°）－
cos 20°
＝ cos 120°＋ cos 20°－ cos 20°＝ cos 120°＝－ .
（2） sin 80° cos 40°－ sin 40°；
解： 原式＝ [ sin （80°＋40°）＋ sin （80°－40°）]
－ sin 40°
＝ （ sin 120°＋ sin 40°）－ sin 40°＝ .
（3） sin 37.5° sin 22.5°－ cos 15°.
解： 原式＝－ [ cos （37.5°＋22.5°）－ cos （37.5°
－22.5°）]－ cos 15°
＝－ （ cos 60°－ cos 15°）－ cos 15°＝－ cos 60°＝－
.
题型二 和差化积公式的应用
【例2】　（链接教科书第77页例2）把下列各式化为积的形式：
（1） sin x＋ sin 3x；
解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin 2x· cos x.
（2） cos （15°＋α）－ cos （15°－α）.
解： 原式＝－2 sin · sin
＝－2 sin 15° sin α.
通性通法
　　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函
数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然
后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求
值则尽量求出值来.
【跟踪训练】
1. 求值： sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝（　　）
A. B. C. D. 1
解析： 　 sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝2 sin 30°
cos 10°＋ sin 60°－ sin 80°＝2× × sin 80°＋ － sin 80°＝
.故选C.
√
2. 计算： ＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ .
故选B.
√
题型三 应用半角公式求值
【例3】　（链接教科书第78页例3）已知 sin α＝－ ， ＜α＜
2π，求 sin ， cos ，tan 的值.
解：∵ ＜α＜2π， sin α＝－ ，
∴ cos α＝ 且 ＜ ＜π，
∴ sin ＝ ＝ ，
cos ＝－ ＝－ ，
tan ＝ ＝－ .
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两
倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围.
提醒　已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，求值时要
注意确定其符号.
【跟踪训练】
1. （2024·常州第一中学月考） sin 的值是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　 sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
故选B.
√
2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值.
解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝ ，
cos θ＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan ＝ ＝ ＝ .
题型四 三角函数式的化简与证明
【例4】　化简：
（π＜α＜2π）.
解：原式＝
＝
＝ .又∵π＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos ＜0，∴原式
＝ ＝ cos α.
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过
拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统
一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升
幂、降幂、配方、开方、和积互化等.
【跟踪训练】
1. 化简：（1） cos －tan （1＋ cos α）；
解： 原式＝－ sin α－ ·（1＋ cos α）＝－2
sin α.
（2） .
解： 原式＝ ＝ ＝
＝tan 2α.
2. 求证：tan －tan ＝ .
证明：左边＝ －
＝
＝
＝
＝ ＝右边.
所以原等式成立.
1. 利用积化和差公式化简 sin α sin ＝（　　）
A. － [ cos （α＋β）－ cos （α－β）]
B. [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]
C. [ sin （α＋β）－ sin （α－β）]
D. [ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]
解析： 　 sin α sin ＝ sin α cos β＝ [ sin （α＋β）＋
sin （α－β）].故选D.
√
2. sin 75°－ sin 15°＝（　　）
A. B.
C. D. －
解析： 　 sin 75°－ sin 15°＝2 cos sin ＝2
cos 45°· sin 30°＝ .故选B.
√
3. （2024·扬州月考）若 cos α＝－ ，α是第三象限角，则tan
＝ .
解析：∵ cos α＝－ ，α是第三象限角，∴ sin α＝－
＝－ ，∴tan ＝ ＝－3.
－3　
4. 把下列各式化为积的形式：
（1） sin 122°＋ sin 36°；
解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin
79°· cos 43°.
（2） cos 75°－ cos 23°.
解： 原式＝－2 sin sin ＝－2 sin
49°· sin 26°.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 设5π＜θ＜6π， cos ＝a，则 sin ＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　∵ ∈ ，∴ sin ＝－ ＝－ .故
选D.
√
2. cos 72°－ cos 36°＝（　　）
A. 3－2 B.
C. － D. 3＋2
解析： 　原式＝－2 sin sin ＝－2 sin 54° sin
18°＝－2 cos 36° cos 72°＝ ＝－ .
故选C.
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3. 化简 ＝（　　）
A. tan α B. tan 2α
C. D.
解析： 　原式＝ ＝ ＝tan 2α.故选B.
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4. 下列四个关系式中正确的是（　　）
A. sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 4θ cos θ
B. cos 3θ－ cos 5θ＝－2 sin 4θ sin θ
C. sin 3θ－ sin 5θ＝－ cos 4θ cos θ
D. sin 5θ＋ cos 3θ＝2 sin 4θ cos θ
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解析： 　A正确，利用和差化积公式得 sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin
4θ cos θ；B错误，右边应是2 sin 4θ sin θ；C错误，右边应是－
2 cos 4θ sin θ；D错误，由 sin 5θ与 cos 3θ两式相加不能得出右
边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积
应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即 sin 5θ＋ cos 3θ
＝ sin 5θ＋ sin （ －3θ）＝2 sin （θ＋ ） cos （4θ－ ）.故
选A.
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5. （2024·徐州月考）若 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ， sin 2x＋ sin 2y
＝ ，则 sin （x＋y）＝（　　）
A. B. －
C. D. －
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解析： 　因为 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ，所以 cos （x－y）＝
，因为 sin 2x＋ sin 2y＝ ，所以2 sin （x＋y） cos （x－y）＝
，所以2 sin （x＋y）· ＝ ，所以 sin （x＋y）＝ .故选A.
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6. （多选）tan 75°＝（　　）
A. 2＋ B.
C. D. tan 25°tan 35°tan 85°
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解析： 　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝
＝2＋ ，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝
，故B错误；tan 75°＝ ＝ ＝
，故C正确；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）tan α
＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故
D正确.故选A、C、D.
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7. （2024·无锡月考）已知 sin α＝ ，且α为钝角，则 cos
＝ .
解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜ ＜90°，
∴ cos α＜0， cos ＞0，∴ cos α＝－ ＝－ ，∴ cos
＝ ＝ ＝ .
　
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8. ＋ ＝ 　 　.
解析： ＋ ＝ ＋ ＝
＝ ＝ ＝ ＝2
cos 30°＝ .
　
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解析：∵ ≤θ≤π，∴ sin θ≥0， cos θ≤0，且 ≤ ≤ .又 sinθ＋ cos θ＝ 　①，∴（ sin θ＋ cos θ）2＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ，∴（ cos θ－ sin θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，∴ cos θ－ sin θ＝－ 　②，联立①②，得∴ sin ＝ sin ＝ ＝ ＝ .
9. 已知 sin θ＋ cos θ＝ ，且 ≤θ≤π，则 cos θ＝ 　－ 　， sin
＝ 　 　.
－ 　
　
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10. （1）设 cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝ ，且y是第
四象限角，求tan 的值；
解： ∵ cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝
，∴ sin y＝ sin [（x＋y）－x]＝ sin （x＋y） cos x－
cos （x＋y） sin x＝－ ，
∵y是第四象限角，
∴ cos y＝ ＝ ＝ ，
由半角公式得tan ＝ ＝ ＝－ × ＝－ .
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（2）已知θ∈ ，且 sin θ＝ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解： ∵θ∈ ，且 sin θ＝ ，
∴ cos θ＝－ ＝－ ，又∵ ∈ ，
∴ sin ＝－ ＝－ ＝－ ，
cos ＝－ ＝－ ＝－ ，
tan ＝ ＝ ＝2.
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11. （2024·南通月考）已知 cos α＝－ 且α为第三象限角，则
＝（　　）
A. － B. C. 2 D. －2
解析： 　∵ cos α＝－ ，α为第三象限角，∴ sin α＝－ ，
∴tan ＝ ＝ ＝－3，∴ ＝ ＝－ .故选A.
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12. 若 sin α＋ sin β＝ （ cos β－ cos α），且α∈（0，π），
β∈（0，π），则α－β＝（　　）
A. － B. － C. D.
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解析： 　∵α，β∈（0，π），∴ sin α＋ sin β＞0，∴ cos β
－ cos α＞0，∴ cos β＞ cos α，又y＝ cos x在（0，π）上单调
递减，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2 sin cos
＝ （－2 sin · sin ），∴tan ＝ ，∴ ＝ ，
∴α－β＝ .故选D.
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13. （2024·镇江月考）函数y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）
（x∈R）的最大值是 .
解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝ sin α＋
cos （α＋30°）＝ sin α＋ cos α cos 30°－ sin α sin 30°＝
sin α＋ cos α＝ sin （α＋60°）.∴ymax＝1.
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解： ∵ ＜α＜3π，∴ ＜ ＜ ，
∴ cos α＜0， sin ＜0.
故原式＝ ＝ ＝ ＝－ sin .
14. （1）（2024·淮安质检）已知 ＜α＜3π，试化简：
；
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（2）已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求证：△ABC是
直角三角形.
解： 证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B.
又∵ cos A＋ cos B＝2 cos cos ，
∴2 sin cos ＝2 cos cos ，
显然 cos ≠0，故 sin ＝ cos ，
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两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ，
即 ＝ ，
∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0，
∴2 cos A cos B＝0，即 cos A＝0或 cos B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形.
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15. 已知函数f（x）＝ sin cos .
（1）求f（x）的值域；
解： 由积化和差公式可知f（x）＝
＝
＝ sin － ，
∵ sin ∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
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（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点.
解： 令f（x）＝0，∴ sin ＝1，
∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴x＝ ＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝ 或x＝ ，∴f（x）的零点为 ， .
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