资源简介

(共57张PPT)
13.3.2　
空间图形的体积
新课程标准解读 核心素养
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它
们求有关空间图形的体积 直观想象、
数学运算
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求
球的表面积及体积 直观想象、
数学运算
3.会求简单组合体的体积 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在小学和初中，我们已经知道长方体的体积V长方体＝abc＝Sh，
这里a，b，c表示长方体的长、宽和高，S，h分别表示长方体的底
面积和高.长方体体积公式是计算其他空间图形体积的基础，我们将
上述结论作为已知事实来运用，那么，如何推出其他简单空间图形的
体积公式呢？
【问题】　柱体、锥体、台体的体积公式是什么？
知识点一　柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 V＝ （S为底面面积，h为柱体的高）
锥体 V＝ （S为底面面积，h为锥体的高）
台体 V＝ （S'，S分别为上、下底面
面积，h为台体的高）
Sh　
Sh　
h（S＋ ＋S'）　
提醒　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：
知识点二　球的体积和表面积
若球的半径为R，则：
（1）球的体积V球＝ ；
（2）球的表面积S球面＝ .
πR3　
4πR2　
知识点三　球的截面的特点
1. 球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截
面均为圆面.
2. 利用球半径、截面圆半径，球心到截面的距离构建直角三角形是把
空间问题转化为平面问题的主要途径.
1. 正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　）
A. 48 B. 64
C. 16 D. 96
解析： 　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正
方体的体积为a3＝64.
√
2. （多选）若一个球的直径为6，则（　　）
A. 球的表面积是36π
B. 球的表面积是144π
C. 球的体积是36π
D. 球的体积是144π
解析： 由题意知，球的半径r＝3.则S球＝4πr2＝4π×32＝
36π，V球＝ πr3＝ π×33＝36π.故选A、C.
√
√
3. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC
的体积是 .
解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝ S△ADC×D1D＝ ×
×AD×DC×D1D＝ × ×1×1×1＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 柱体、锥体、台体的体积
【例1】　（1）已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则圆柱的体积为
（　D　）
A. 4π C. 12π
B. 8π D. 16π
解析： 设圆柱的底面半径为r，则2πr＝
4π，解得r＝2，则该圆柱的体积为π×22×4＝
16π.故选D.
D
（2）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是
（　B　）
A. 18＋6 B. 6＋2
C. 24 D. 18
解析： V＝ （S＋ ＋S'）h＝ ×（2＋ ＋4）×3＝6＋2 .故选B.
B
（3）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，
D，A1截下一个三棱锥.
①求剩余部分的体积；
②求三棱锥A-A1BD的体积及高.
解：① ＝ S△ABD·A1A
＝ × ·AB·AD·A1A＝ a3.
故剩余部分的体积V＝V正方体－ ＝a3
－ a3＝ a3.
② ＝ ＝ a3.
设三棱锥A-A1BD的高为h，
则 ＝ · ·h＝ × × （ a）2h＝ a2h，故
a2h＝ a3，解得h＝ a.
通性通法
求空间图形体积的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用
底面积和高都易求的形式即可；
（3）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱
柱，棱台补成棱锥等；
（4）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积.
提醒　求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面
（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出空间图形的高和底面积.
【跟踪训练】
1. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最
短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　）
A. 5π B. 6π
C. 20π D. 10π
解析： 　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成
一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故
所求几何体的体积为10π.
√
2. （2024·苏州月考）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F
分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2
的两部分，那么V1∶V2＝ .
7∶5　
解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1
＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝ S，
V1＝ h（S＋ S＋ ）＝ Sh，V2＝Sh－V1＝ Sh，所以
V1∶V2＝7∶5.
题型二 球的表面积与体积
【例2】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个
平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　）
A. 12π cm3 B. 36π cm3
C. 64 π cm3 D. 108π cm3
B
解析： 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝
＝3 cm，∴球的体积V＝ π×33＝36π cm3.故选B.
（2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如
果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　）
A. 100 B. 400
C. 100π D. 400π
D
解析：设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3 r＝
10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D.
通性通法
　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问
题时，设法求出球的半径是解题的关键.
【跟踪训练】
1. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之
差的绝对值为 .
解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得
即整理，得
解得故两球的体积之差的绝对值为 π×43－
π×23＝ π（43－23）＝ π.
π　
2. （2024·徐州月考）长、宽、高分别为2， ， 的长方体的外接
球的表面积为 .
解析：该长方体的体对角线长为 ＝
2 ，设外接球的半径为R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝
4πR2＝12π.
12π　
题型三 简单组合体的体积
【例3】　如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，
高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中
间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积.
解：依题意，该空间图形是由一个正六棱柱和一个圆柱组合后再挖去
一个小圆柱而成的.
正六棱柱底面边长为4 cm，即由6个边长为4 cm的等边三角形组成，
故底面积为6× ×42＝24 （cm2），
又高为2 cm，故正六棱柱的体积V1＝24 ×2＝48 （cm3），
大圆柱底面直径为6 cm，高为3 cm，故体积V2＝π× ×3＝27π
（cm3），
小圆柱直径为2 cm，高为2＋3＝5（cm），故体积为V3＝π× ×5
＝5π（cm3），
故该空间图形的体积为V＝V1＋V2－V3＝48 ＋27π－5π＝（48
＋22π）（cm3）.
通性通法
求空间组合体体积的思路与方法
　　针对此类问题的关键是将该组合体分解为若干个柱、锥、台、球
的基本空间图形，然后借助柱、锥、台、球的体积公式分别求解.
【跟踪训练】
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝
5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所
得的空间图形的体积.
解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个
圆锥所得的组合体，故该空间图形的体积V＝V圆台－V圆锥＝ π（
＋r1r2＋ ）·h－ π h'＝ π（25＋10＋4）×4－ π×4×2＝ π.
1. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 12
解析： 　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为 ×4×3＝4.
√
2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的
（　　）
A. 2倍 B. 倍
C. 2 倍 D. 倍
解析： 　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可
知 ＝2，所以R＝ r.所以 ＝ ＝ ＝2 .即球
的体积扩大到原来的2 倍，故C正确.故选C.
√
3. （2024·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为
2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　　）
A. B. 2
C. D. 3
解析： 　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积
为 S，故二者的体积之比为 ＝ ＝ ＝2.
√
4. （2024·江苏海安中学期中）已知圆台下底面的半径为4 cm，高为4
cm，母线长为2 cm，则圆台的体积为 　 π　cm3.
解析：设圆台上底面半径为r（r＜4），轴截面如
图所示，过B作BE⊥DC，垂足为E，则有AB＝
r，DC＝4，AD＝BE＝4，BC＝2 ，因为BC2
＝BE2＋CE2，所以有（2 ）2＝42＋（4－r）2 r＝2或r＝6（舍去），所以圆台的体积为 ·（π·22＋π·2·4＋π·42）·4＝ π （cm3）.
π　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于
（　　）
A. π B. 2π
C. 4π D. 8π
解析： 　设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴πa2＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π（ ）2×a＝π×2＝
2π.故选B.
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√
2. （2024·无锡锡南实验中学期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1
中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱
锥A1-ABC的体积是（　　）
A. B.
C. 4 D. 8
√
解析： 　∵A1A⊥底面ABC，∴A1A为三棱锥A1-ABC的高，故h
＝2，∵△ABC为底面，AB⊥AC，∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2×2
＝2，∴ ＝ S△ABC·h＝ ×2×2＝ .故选A.
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3. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球
（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球
（水面恰为圆柱的上底面），则球的半径为（　　）
A. 4 cm B. 3 cm
C. 2 cm D. 1 cm
解析： 　设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之
和等于高度为6r cm的圆柱体的体积，∴3× πr3＋πr2×6＝
πr2×6r，解得r＝3.故选B.
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4. 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该
正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的空间图形的
体积是（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点
的平面截该正方体，截去的三棱锥的体积是 × × ＝
，于是8个三棱锥的体积是 ，故剩下的空间图形的体积是1－
＝ .
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5. 如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个
侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为（　　）
A. m3 B. m3
C. 1 m3 D. m3
解析： 　设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，
a＝1，解得a＝ ，h＝ .所以六棱柱的体积V＝ ×（ ）
2×6× ＝ （m3）.
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6. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这
个圆台的圆锥的体积是（　　）
A. 54 B. 54π
C. 58 D. 58π
解析： 　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设
圆台高为h1，则52＝ πh1（r2＋9r2＋3r·r），∴πr2h1＝12.令原
圆锥的高为h，由相似知识得 ＝ ，∴h＝ h1，∴V原圆锥＝
π（3r）2×h＝3πr2× h1＝ ×12＝54.
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7. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段
AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
解析： ＝ DD1×1＝ ，又点F到平面DD1E的距离为1，
所以 ＝ ＝ ×1＝ .
　
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8. 如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图
中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积
为 .
110　
解析：设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m
＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝
110.
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9. 把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆
锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动
了2.5周，则圆锥的母线长为 ，表面积等于
.
解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，
SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧
＝πrl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆
锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20
（cm）.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋
π×82＝224π（cm2）.
20 cm　
224π
cm2　
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10. 若E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝
CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积.
解：如图所示，连接 AB1，AC1，
因为B1E＝CF，
所以梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面
积.
又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的
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高相等，所以VA-BEFC＝ ＝ .又 ＝ ·h， ＝ ·h＝m，所以
＝ ，所以 ＝ － ＝ m.所以 VA-BEFC＝ × m＝ ，即四棱锥A-BEFC 的体积是 .
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11. （2024·无锡辅仁高中期中）如图，实心正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为Q，R. 若从该正方体
中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为顶点，以正方形
A1B1C1D1的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正方形
ABCD的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（　　）
A. 8－ B. 8－
C. 8－ D. 8－
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解析： 两圆锥的体积都为V1＝ πr2h＝ ×π×12×2＝ π，则
其公共部分为V2＝2× ×π×（ ）2×1＝ ，故该正方体剩余部
分的体积为V＝23－2×V1＋V2＝8－ ＋ ＝8－ .故选D.
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12. （多选）已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，
下列说法正确的是（　　）
A. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
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解析： 　由已知得AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，△ABC
是以角C为直角的直角三角形，以BC所在直线为轴旋转时，所得
旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为
π×3×5＝15π，体积为 ×π×32×4＝12π，A正确，B错误；以
AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为
5，高为3的圆锥，∴侧面积为π×4×5＝20π，体积为 ×π×42×3
＝16π，C错误，D正确.故选A、D.
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13. 将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱
（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则
截得棱柱的体积的最大值为 .
2　
解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为
，则截得的棱柱的体积V＝x ×1＝ ＝
（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝ 时，Vmax
＝2，即截得棱柱体积的最大值为2.
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14. 某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，
由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗
漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m
的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝
上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少.
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解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，
则V＝aS，
当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是
最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则
＝ aS＝ V，
∵ ＝ ＝ ，且 ＋ ＝ V，∴ ＝ V，
∴ ＋ ＝ V＋ V＝ V，
∴罐内液体车油最多还能剩 V L.
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15. 某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12
m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建
一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是
新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m
（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
解： 方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体
积V1＝ Sh＝ ×π×（ ）2×4＝ π（m3）.
方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝ Sh＝
×π×（ ）2×8＝ π＝96π（m3）.
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（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
解： 方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8m，
则圆锥的母线长l1＝ ＝4 （m），
则仓库的表面积S1＝π×8×4 ＋π×82＝（32 π＋
64π）m2.
方案二：仓库的高变成8 m，
则圆锥的母线长l2＝ ＝10（m），
则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π
（m2）.
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（3）选用哪个方案建造仓库更经济些？
解： 由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种
方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库
的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造
仓库更经济些.
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