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浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年八年级下学期5月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·杭州月考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．（2025八下·杭州月考）下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知，在反比例函数图象上的点满足其解析式，即横纵坐标的乘积为5；
∵2×4=8≠5，，，，
∴A、C、D三个选项所给的点均不在反比例函数的图象上，只有B选项所给的点在反比例函数的图象上.
故答案为：B．
【分析】反比例函数的图象上任意一点的横纵坐标的积等于比例系数k，据此逐一判断得出答案．
3．（2025八下·杭州月考）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵22出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变
∴一定不会改变的是众数，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义即可得出答案.
4．（2025八下·杭州月考）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
5．（2025八下·杭州月考）嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．有一个内角是 B．有一组邻边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是的平行四边形是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025八下·杭州月考）已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由绝对值的非负性可知：，
∴，
∴反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵-2＜-1＜0，
∴，位于第三象限，
∴，
∵3＞0，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由绝对值的非负性得出，进而得出＞0，再根据反比例函数图象的性质，当比例系数时，函数图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，即可得出答案.
7．（2025八下·杭州月考）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），应该如何调整张力？（　　）
A．增大至 B．减小至 C．增大至 D．减小至
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与之间的函数关系式为为常数，且，
将代入，得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
当时，得，解得，
∴应该将张力减小至．
故选：D．
【分析】先设出反比例函数表达式，根据已知条件求得k，进而得到反比例函数，再将目标频率代入函数求出对应的张力，最后与初始张力比较得出调整方式．
8．（2025八下·杭州月考） 关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（　　）
A．2024 B． C．－2024 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：方程可化为，而有一实数根为2024，即，对照可知，当x=时，也有，故此方程必有一实数根.
答案：D.
【分析】由题意对照两方程系数的特征，转化为系数相近的一元二次方程，即可求出其中一根.
9．（2025八下·杭州月考）如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∵在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．
10．（2025八下·杭州月考）学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题：
（1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；
（2）y的值有可能等于3；
（3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3；
（4）当y＞0时，x＞0或x＜－．
你认为真命题是 (　　)
A．（1）（3） B．（1）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵y==3+，
∴当x＞0，y随x的增大而减小，故（1）是真命题；
（2）∵3x+1≠3x，
∴y的值不可能等于3，故（2）是假命题；
（3）∵y==3+，
∴当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3，故（3）是真命题；
（4）当y＞0时，可得或
解得x＞0或x＜－，故（4）是真命题.
故答案为：C.
【分析】将y=变形为 y=3+， 即可判断（1）（3），根据3x+1≠3x，可判断（2），根据有理数除法法则列出不等式组，求解可判断（4）.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州月考）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数 ） 再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.
12．（2025八下·杭州月考）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】 ＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为： ＞
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得△＜0，据此解答即可.
13．（2025八下·杭州月考）如图，是直线上的一点，已知的面积为，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设点C到AB的矩形为h1，点E到AB的距离为h2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴h1=h2，
∵S平行四边形ABCD=AB×h1=52cm2，
S△ABE=AB×h2=×52=26cm2
故答案为：26.
【分析】设点C到AB的矩形为h1，点E到AB的距离为h2，由平行四边形的对边平行得出CD∥AB，由平行线间的距离处处相等得出h1=h2，进而根据平行四边形及三角形面积公式列式计算可得答案.
14．（2025八下·杭州月考）如图，，，是反比例函数在第一象限的图象上的点，它们的横坐标分别为2，4，6．过点，，分别作轴，轴的垂线段，构成多个矩形．若图中阴影部分的面积为12，则点的坐标为　 　．
【答案】（6，）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：∵A，B，C是反比例函数在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6．∴A（2，），B（4，），C（6，），
∴S阴影= k+2× +2×=12，
解得k=
∴
∴C（6，），
故答案为：（6，）．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得A（2，），B（4，），C（6，），根据反比例函数系数k的几何意义，得出S阴影=k+2× +2×=12，求解得出k的值，从而可得点C的坐标.
15．（2025八下·杭州月考）如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接DE、CD，如图所示：
∵D、E分别是AB、AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵CF=BC，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=，
∴EF=CD=，
故答案为：．
【分析】连接DE、CD，由D、E分别是AB、AC边上的中点，确定DE=CF，进而判断四边形DCFE为平行四边形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理计算CD的长度，从而得到EF的长度.
16．（2025八下·杭州月考）如图，正方形边长为4，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
点在的角平分线上运动，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】 过E作EH⊥AB，交AB的延长线于H，延长DC，BE交于E'， 由平行四边形性质得QC=PE，QC∥PE，由正方形性质得AD=CD=AB，∠DAB=∠CDA=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠ADP=∠DCQ，由“ASA”证△ADP≌△DCQ，由全等三角形对应边相等得CQ=DP；结合平行四边形对边相等得出PD=PE，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠ADP=∠EPH，由“AAS”证△ADP≌△HPE，由全等三角形对应边相等得AP=EH，PH=AD，则可推出AB=PH，进而推出BH=AP=EH，由等边对等角得出∠EBH=45°，故点在的角平分线上运动，根据垂线段最短即可求解.
三、解答题（共72分）
17．（2025八下·杭州月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可.
18．（2025八下·杭州月考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根；
（2）把x-1看成一个整体，此题常数项为0，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
19．（2025八下·杭州月考）某厂生产两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表，并求得了产品三次单价的平均数和方差．产品单价变化统计表如下：
　 第一次 第二次 第三次
产品单价（元/件） 6
产品单价（元/件） 4 3
（1）产品第三次的单价比上一次的单价降低了________．
（2）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动较小．
【答案】（1）25
（2）解：，
，
∵产品的方差小，
∴产品的单价波动小．
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：25；
【分析】（1）此题中的“上一次”是指第二次，用B产品第二次的单价第三次单价的差除以第二次单价即可求出B产品第三次的单价比上一次的单价降低的百分比；
（2）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，故求出B产品单价的方差，进而根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，可得答案.
（1）解：，
故答案为25；
（2），
，
∵产品的方差小，
∴产品的单价波动小．
20．（2025八下·杭州月考）如图，四边形是菱形，，求：
（1）的度数．
（2）若，求线段和的长．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，∠ACD=30°
∴，
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，AC=2OC，BC=CD
∵，
∴BC=CD=2OD=6，
∴，
∴；
∵
∴S菱形ABCD，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形对角相等，且每条对角线平分一组对角可得答案；
（2）由菱形性质得，，AC=2OC，BC=CD，由含30°角直角三角形的性质得BC=CD=2OD=6，由勾股定理算出CO的长，从而可得AC的长，然后根据菱形面积公式，由等面积法可求出DH.
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴；
∵，
∴菱形的面积，
∵，且，
∴菱形的面积，
∴，
∴．
21．（2025八下·杭州月考）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中关于的函数解析式是______；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到）
【答案】（1）
（2）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，
解得：，
∴施工结束后关于的函数解析式为，
当时，，
解得：，
答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；
（3）解：当时，，当时，，
设这个降低的百分率为，
根据题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴这个降低的百分率为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（1）解：当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，
解得：，
∴施工过程中关于的函数解析式是，
故答案为：.
【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0.08代入解析式求出x的值即可；
（3）设这个降低的百分率为，根据题意列方程，再求出a的值即可.
（1）当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以施工过程中关于的函数解析式是，
（2）当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以施工结束后关于的函数解析式为，
当时，，解得，
答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；
（3）当时，，
当时，，
设这个降低的百分率为，根据题意得，
，
解得或（不合题意，舍去）
∴这个降低的百分率为．
22．（2025八下·杭州月考）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________．
（2）如图1，在方格纸中，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使是对角线，点在格点上．
（3）如图2，在正方形中，点分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形．
【答案】（1）正方形（答案不唯一）
（2）解：如图1中，四边形即为所求．
（3）证明：∵四边形是正方形，
∴，，AD∥BC
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即EF⊥FG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是垂等四边形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形；
故答案为：正方形（答案不唯一）；
【分析】（1）邻边垂直的特殊平行四边形有正方形和矩形，对角线相等的特殊四边形有正方形和矩形，据此可得答案；
（2）根据方格纸的特点、垂等四边形定义及全等三角形的对应边相等，坐蓐即可；
（3）由正方形性质得AB=BC=AD，∠B=A=∠C=90°，AD∥BC，由等量减去等量差相等得出BF=BG，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，由平角得出∠EFG=90°，即EF⊥FG；由“SAS”判断出△ADF≌△CDG，由全等三角形的对应边相等得DF=DG，由二直线平行，内错角相等推出∠EDG=∠DGC，结合已知得出∠GDE=∠GED，由等角对等边得出DG=EG，故DF=EG，从而根据垂等四边形定义可得结论.
（1）解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形；
（2）解：如图1中，四边形即为所求．
（3）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是垂等四边形．
23．（2025八下·杭州月考）已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点，求的值．
（2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小．
（3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴的值为；
（2）解：∵中，
∴反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，，，
∴；
（3）证明：∵反比例函数，
∴该图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，
∴，，
∴，
②－①，得：，
∴．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）将点坐标代入算出即可；
（2）反比例函数（k≠0）中，当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可；
（3）由反比例函数的增减性可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解.
（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴的值为；
（2）∵中，
∴反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，，，
∴；
（3）证明：∵反比例函数，
∴该图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，
∴，，
∴，
②－①，得：，
∴．
24．（2025八下·杭州月考）在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为）
（1）如图1，当点在的延长线上时，求的长．
（2）如图2，如图2，当点P与点C重合时，连结DD1、CD1，CD1、DD1分别交AB于点E、F，DD1交AC于点H，求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线经过点时，求的长．
【答案】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵、关于直线对称，
∴，
∴
在中，；
∴的长为；
（2）证明：连结交于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∵关于对称，
∴AC⊥DD1，DH=D1H，
∴为的中位线，
∴，
∴∠DD1B=∠DHC=90°，
∴；
（3）解：连接，
∵、关于直线对称，
∴，
∵，
∴，即，
当直线经过点时，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出，由轴对称的性质得到，由线段和差求出BC1=1，从而在Rt△BCC1中，利用勾股定理求解即可；
（2）连结BD交AC于点O，由矩形的对角线互相平分得出OB=OD；由轴对称的性质得出AC⊥DD1，DH=D1H，根据三角形的中位线平行于第三边得出OH∥BD1，由二直线平行，同位角相等得出∠DD1B=∠DHC=90°，从而即可得出结论；
（3）连接，由轴对称的性质得∠ACD=∠AC1B，∠ACP=∠AC1P，从而可求出，当直线经过点时，利用勾股定理算出D1B，由线段和差算出BC1，在Rt△BC1P中，由勾股定理建立方程，求解即可.
（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵、关于直线对称，
∴，
∴
在中，；
∴的长为；
（2）证明：连结交于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∵关于对称，
∴垂直平分，
∴为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，
∵、关于直线对称，
∴，
∵，
∴，即，
当直线经过点时，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年八年级下学期5月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·杭州月考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·杭州月考）下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·杭州月考）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（2025八下·杭州月考）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·杭州月考）嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．有一个内角是 B．有一组邻边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
6．（2025八下·杭州月考）已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·杭州月考）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），应该如何调整张力？（　　）
A．增大至 B．减小至 C．增大至 D．减小至
8．（2025八下·杭州月考） 关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（　　）
A．2024 B． C．－2024 D．
9．（2025八下·杭州月考）如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·杭州月考）学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题：
（1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；
（2）y的值有可能等于3；
（3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3；
（4）当y＞0时，x＞0或x＜－．
你认为真命题是 (　　)
A．（1）（3） B．（1）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州月考）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是　 　．
12．（2025八下·杭州月考）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　．
13．（2025八下·杭州月考）如图，是直线上的一点，已知的面积为，则的面积为　 　.
14．（2025八下·杭州月考）如图，，，是反比例函数在第一象限的图象上的点，它们的横坐标分别为2，4，6．过点，，分别作轴，轴的垂线段，构成多个矩形．若图中阴影部分的面积为12，则点的坐标为　 　．
15．（2025八下·杭州月考）如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
16．（2025八下·杭州月考）如图，正方形边长为4，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2025八下·杭州月考）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·杭州月考）解方程：
（1）
（2）
19．（2025八下·杭州月考）某厂生产两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表，并求得了产品三次单价的平均数和方差．产品单价变化统计表如下：
　 第一次 第二次 第三次
产品单价（元/件） 6
产品单价（元/件） 4 3
（1）产品第三次的单价比上一次的单价降低了________．
（2）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动较小．
20．（2025八下·杭州月考）如图，四边形是菱形，，求：
（1）的度数．
（2）若，求线段和的长．
21．（2025八下·杭州月考）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中关于的函数解析式是______；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到）
22．（2025八下·杭州月考）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________．
（2）如图1，在方格纸中，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使是对角线，点在格点上．
（3）如图2，在正方形中，点分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形．
23．（2025八下·杭州月考）已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点，求的值．
（2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小．
（3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明．
24．（2025八下·杭州月考）在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为）
（1）如图1，当点在的延长线上时，求的长．
（2）如图2，如图2，当点P与点C重合时，连结DD1、CD1，CD1、DD1分别交AB于点E、F，DD1交AC于点H，求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线经过点时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知，在反比例函数图象上的点满足其解析式，即横纵坐标的乘积为5；
∵2×4=8≠5，，，，
∴A、C、D三个选项所给的点均不在反比例函数的图象上，只有B选项所给的点在反比例函数的图象上.
故答案为：B．
【分析】反比例函数的图象上任意一点的横纵坐标的积等于比例系数k，据此逐一判断得出答案．
3．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵22出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变
∴一定不会改变的是众数，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是的平行四边形是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由绝对值的非负性可知：，
∴，
∴反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵-2＜-1＜0，
∴，位于第三象限，
∴，
∵3＞0，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由绝对值的非负性得出，进而得出＞0，再根据反比例函数图象的性质，当比例系数时，函数图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与之间的函数关系式为为常数，且，
将代入，得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
当时，得，解得，
∴应该将张力减小至．
故选：D．
【分析】先设出反比例函数表达式，根据已知条件求得k，进而得到反比例函数，再将目标频率代入函数求出对应的张力，最后与初始张力比较得出调整方式．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：方程可化为，而有一实数根为2024，即，对照可知，当x=时，也有，故此方程必有一实数根.
答案：D.
【分析】由题意对照两方程系数的特征，转化为系数相近的一元二次方程，即可求出其中一根.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∵在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵y==3+，
∴当x＞0，y随x的增大而减小，故（1）是真命题；
（2）∵3x+1≠3x，
∴y的值不可能等于3，故（2）是假命题；
（3）∵y==3+，
∴当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3，故（3）是真命题；
（4）当y＞0时，可得或
解得x＞0或x＜－，故（4）是真命题.
故答案为：C.
【分析】将y=变形为 y=3+， 即可判断（1）（3），根据3x+1≠3x，可判断（2），根据有理数除法法则列出不等式组，求解可判断（4）.
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数 ） 再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.
12．【答案】 ＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为： ＞
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得△＜0，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设点C到AB的矩形为h1，点E到AB的距离为h2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴h1=h2，
∵S平行四边形ABCD=AB×h1=52cm2，
S△ABE=AB×h2=×52=26cm2
故答案为：26.
【分析】设点C到AB的矩形为h1，点E到AB的距离为h2，由平行四边形的对边平行得出CD∥AB，由平行线间的距离处处相等得出h1=h2，进而根据平行四边形及三角形面积公式列式计算可得答案.
14．【答案】（6，）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：∵A，B，C是反比例函数在第一象限的图象上的点，它的横坐标分别为2，4，6．∴A（2，），B（4，），C（6，），
∴S阴影= k+2× +2×=12，
解得k=
∴
∴C（6，），
故答案为：（6，）．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得A（2，），B（4，），C（6，），根据反比例函数系数k的几何意义，得出S阴影=k+2× +2×=12，求解得出k的值，从而可得点C的坐标.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接DE、CD，如图所示：
∵D、E分别是AB、AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵CF=BC，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=，
∴EF=CD=，
故答案为：．
【分析】连接DE、CD，由D、E分别是AB、AC边上的中点，确定DE=CF，进而判断四边形DCFE为平行四边形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理计算CD的长度，从而得到EF的长度.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
点在的角平分线上运动，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】 过E作EH⊥AB，交AB的延长线于H，延长DC，BE交于E'， 由平行四边形性质得QC=PE，QC∥PE，由正方形性质得AD=CD=AB，∠DAB=∠CDA=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠ADP=∠DCQ，由“ASA”证△ADP≌△DCQ，由全等三角形对应边相等得CQ=DP；结合平行四边形对边相等得出PD=PE，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠ADP=∠EPH，由“AAS”证△ADP≌△HPE，由全等三角形对应边相等得AP=EH，PH=AD，则可推出AB=PH，进而推出BH=AP=EH，由等边对等角得出∠EBH=45°，故点在的角平分线上运动，根据垂线段最短即可求解.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根；
（2）把x-1看成一个整体，此题常数项为0，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
19．【答案】（1）25
（2）解：，
，
∵产品的方差小，
∴产品的单价波动小．
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：25；
【分析】（1）此题中的“上一次”是指第二次，用B产品第二次的单价第三次单价的差除以第二次单价即可求出B产品第三次的单价比上一次的单价降低的百分比；
（2）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，故求出B产品单价的方差，进而根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，可得答案.
（1）解：，
故答案为25；
（2），
，
∵产品的方差小，
∴产品的单价波动小．
20．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，∠ACD=30°
∴，
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，AC=2OC，BC=CD
∵，
∴BC=CD=2OD=6，
∴，
∴；
∵
∴S菱形ABCD，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形对角相等，且每条对角线平分一组对角可得答案；
（2）由菱形性质得，，AC=2OC，BC=CD，由含30°角直角三角形的性质得BC=CD=2OD=6，由勾股定理算出CO的长，从而可得AC的长，然后根据菱形面积公式，由等面积法可求出DH.
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴；
∵，
∴菱形的面积，
∵，且，
∴菱形的面积，
∴，
∴．
21．【答案】（1）
（2）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，
解得：，
∴施工结束后关于的函数解析式为，
当时，，
解得：，
答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；
（3）解：当时，，当时，，
设这个降低的百分率为，
根据题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴这个降低的百分率为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（1）解：当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，
解得：，
∴施工过程中关于的函数解析式是，
故答案为：.
【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0.08代入解析式求出x的值即可；
（3）设这个降低的百分率为，根据题意列方程，再求出a的值即可.
（1）当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以施工过程中关于的函数解析式是，
（2）当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以施工结束后关于的函数解析式为，
当时，，解得，
答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；
（3）当时，，
当时，，
设这个降低的百分率为，根据题意得，
，
解得或（不合题意，舍去）
∴这个降低的百分率为．
22．【答案】（1）正方形（答案不唯一）
（2）解：如图1中，四边形即为所求．
（3）证明：∵四边形是正方形，
∴，，AD∥BC
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即EF⊥FG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是垂等四边形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形；
故答案为：正方形（答案不唯一）；
【分析】（1）邻边垂直的特殊平行四边形有正方形和矩形，对角线相等的特殊四边形有正方形和矩形，据此可得答案；
（2）根据方格纸的特点、垂等四边形定义及全等三角形的对应边相等，坐蓐即可；
（3）由正方形性质得AB=BC=AD，∠B=A=∠C=90°，AD∥BC，由等量减去等量差相等得出BF=BG，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，由平角得出∠EFG=90°，即EF⊥FG；由“SAS”判断出△ADF≌△CDG，由全等三角形的对应边相等得DF=DG，由二直线平行，内错角相等推出∠EDG=∠DGC，结合已知得出∠GDE=∠GED，由等角对等边得出DG=EG，故DF=EG，从而根据垂等四边形定义可得结论.
（1）解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形；
（2）解：如图1中，四边形即为所求．
（3）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是垂等四边形．
23．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴的值为；
（2）解：∵中，
∴反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，，，
∴；
（3）证明：∵反比例函数，
∴该图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，
∴，，
∴，
②－①，得：，
∴．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）将点坐标代入算出即可；
（2）反比例函数（k≠0）中，当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可；
（3）由反比例函数的增减性可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解.
（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴的值为；
（2）∵中，
∴反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，，，
∴；
（3）证明：∵反比例函数，
∴该图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，
∴，，
∴，
②－①，得：，
∴．
24．【答案】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵、关于直线对称，
∴，
∴
在中，；
∴的长为；
（2）证明：连结交于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∵关于对称，
∴AC⊥DD1，DH=D1H，
∴为的中位线，
∴，
∴∠DD1B=∠DHC=90°，
∴；
（3）解：连接，
∵、关于直线对称，
∴，
∵，
∴，即，
当直线经过点时，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出，由轴对称的性质得到，由线段和差求出BC1=1，从而在Rt△BCC1中，利用勾股定理求解即可；
（2）连结BD交AC于点O，由矩形的对角线互相平分得出OB=OD；由轴对称的性质得出AC⊥DD1，DH=D1H，根据三角形的中位线平行于第三边得出OH∥BD1，由二直线平行，同位角相等得出∠DD1B=∠DHC=90°，从而即可得出结论；
（3）连接，由轴对称的性质得∠ACD=∠AC1B，∠ACP=∠AC1P，从而可求出，当直线经过点时，利用勾股定理算出D1B，由线段和差算出BC1，在Rt△BC1P中，由勾股定理建立方程，求解即可.
（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵、关于直线对称，
∴，
∴
在中，；
∴的长为；
（2）证明：连结交于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∵关于对称，
∴垂直平分，
∴为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，
∵、关于直线对称，
∴，
∵，
∴，即，
当直线经过点时，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴．
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