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北京市门头沟区2025~2026学年八年级上学期期末数学试卷
1．（2026八上·门头沟期末）下列图形一定是轴对称图形的是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2026八上·门头沟期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·门头沟期末）如图，，，添加下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·门头沟期末）如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（　　）
A． B． C． D．或
5．（2026八上·门头沟期末）下面各式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026八上·门头沟期末）下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·门头沟期末）已知，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2026八上·门头沟期末）如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②④
9．（2026八上·门头沟期末）如果分式有意义，那么的取值范围是　 　．
10．（2026八上·门头沟期末）分解因式：x3－x=　 　．
11．（2026八上·门头沟期末）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是　 　．
12．（2026八上·门头沟期末）计算：　 　．
13．（2026八上·门头沟期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，则的长为　 　．
14．（2026八上·门头沟期末）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，当有最小值时，点的坐标为　 　．
15．（2026八上·门头沟期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是　 　．
16．（2026八上·门头沟期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值　 　．
17．（2026八上·门头沟期末）计算：．
18．（2026八上·门头沟期末）计算：．
19．（2026八上·门头沟期末）已知：如图，与中，与交于点，，．求证：．
20．（2026八上·门头沟期末）已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证：
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：
（1）请问老师的提示中①是　 　，②是　 　．
（2）请根据以上思路写出完整的证明过程．
21．（2026八上·门头沟期末）下面是小亮设计的尺规作图过程：
已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线的平行直线，使它经过点．
作法：①过点作水平直线交直线于点；
②在射线上取一点A（），以点为圆心，长为半径画弧，与射线交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线的上方交于点；
⑤作直线．
所以直线就是所求作的平行线．
根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，
∵，，
∴，（依据：　 　）
∴　 　=　 　，
∴直线．
22．（2026八上·门头沟期末）已知，求代数式的值．
23．（2026八上·门头沟期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，
（1）在图中作出关于轴对称的；
（2）其中的坐标为　 　；
（3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标．
24．（2026八上·门头沟期末）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多元．
（1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？
（2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？
25．（2026八上·门头沟期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）
（1）上述图1到图2的操作能验证的等式是　 　．
（2）应用所得的公式计算：．
（3）应用所得的公式计算：．
26．（2026八上·门头沟期末）在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）写请用等式表示、的数量关系，并证明．
27．（2026八上·门头沟期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”．
（1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为　 　；
（2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴与点，点在线段上，点在射线 上．
①点，，最佳线段的长为　 　；
②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、锐角三角形不一定是轴对称图形，故A不符合题意；
B、直角三角形不一定是轴对称图形，故B不符合题意；
C、钝角三角形不一定是轴对称图形，故C不符合题意；
D、等腰三角形一定是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果一个图形沿着一 条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：
A、，计算错误，故A不符合题意；
B、，计算正确，故B符合题意；
C、，计算错误，故C不符合题意；
D、，计算错误，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法法法则可判断A；根据同底数幂的除法法则可判断B；根据积的乘方法则可判断C；根据幂的乘方法则可判断D；逐一判断即可解答.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解： ∵HM||FG，
∴EGF=MHN，
∵EH=GN
∴EG=HN，
A、添加EF =NM，不能判定△EFG△NMH，故A符合题意；
B、添加FG=HM，∴ △EFG△NMH (SAS)，故B不符合题意；
C、添加F=M，∴ △EFG△NMH (AAS)，故C不符合题意；
D、添加E=N， ∴ △EFG△NMH (ASA)，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质得到EGF=MHN，再根据线段的数量关系得到EG=HN， 因而根据全等三角形的判定方法：有一边一角可添加：角；或EGF=MHN的邻边；逐一判断即可解答.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】
解：∵等腰三角形有一个角是
∴ 当这个角是顶角时，底角的度数为：成立；
当这个角是底角时，顶角的度数为
∴ 顶角的度数为或
故答案为：D
【分析】
根据等腰三角形有一个角是，该角可能是顶角也可能是底角，分类讨论，再利用三角形的内角和公式计算即可解答.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】
解：A、，原计算错误，故A不符合题意；
B、，原计算错误，故B不符合题意；
C、，原计算正确，故C符合题意；
D、，原计算错误，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的方法：提公因式法；公式法；十字相乘法，逐一判断即可解答.
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解：
A、不是同乘，同除关系，故A错误，不符合题意；
B、分子乘以a，分母乘以b得到，非同乘，故B错误，不符合题意；
C、，分子分母同时除以2得到，变形正确，故C符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式，分式的值不变，逐一判断即可解答.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：∵
∴2x+3y=1
∴==
故答案为：B
【分析】先将等式变形得到2x+3y=1，再根据同底数幂乘法法则的应用得到=，再整体代值计算即可解答.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
解：如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，
则PM =PN，△ PMN是等腰三角形，
过点M作MHOB于H，当MH>MN，即MH>2时，满足△ PMN是等腰三角形的点P恰好只有一个，
当MH=2时，
∵AOB=30
∴OM =2MH=4；
当OM >4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个；
当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个
此时PNM =60，PM=PN=MN=2，
∴∠OPN=180-60-30=90，
∴ON =2PN=4，
∴此时OM =4-2=2.
综上所述，OM =2或OM>4.
∴所有正确结论的序号是①④.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质得到PM =PN从而可判定△ PMN是等腰三角形， 过点M作MHOB于H，然后根据30直角三角形的性质得到OM=4，从而可推导出当OM >4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个； 再根据等边三角形的性质得出OM=2时满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个 ，可得正确的答案，解答即可.
9．【答案】x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】
解：∵分式有意义
∴，即x≠-2
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0 ，列式计算即可解答.
10．【答案】x(x－1)(x+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
x3-x，
=x（x2-1），
=x（x+1）（x-1）．
【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数 ） 再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.
12．【答案】8a7b8c2
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：
故答案为：8a7b8c2
【分析】先计算积的乘方，再算单项式的乘法，解答即可.
13．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
解：∵的垂直平分线交于
∴，BE=EC
∵，，
∴BE=2DE=10
∴CE=10
故答案为：10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，BE=EC，再根据30直角三角形的性质得到BE的值，由此可得CE=10，解答即可.
14．【答案】(0，3)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
解： 如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C，B'A，
由轴对称的性质可知：B'C=BC，
∴AC+ BC = AC+B'CAB'，当点C在直线AB'上时等号成立，
设直线AB'的解析式为y= kx+b，
将A(1，4)和B'(-3，0)代入，得：
解得
∴直线AB'的解析式为y=x+3， 把x=0代入解析式得：y=0+3=3，
∴点C的坐标为(0，3)，
故答案为：(0，3).
【分析】作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C，B'A， 根据轴对称的性质得到B'C=BC， 再由两点之间线段最短可得当点C在直线AB'上时 的最小值为AB'，设直线AB'的解析式为y= kx+b， 根据待定系数法求出直线的解析式y=x+3，再求出与y轴的交点坐标C，解答即可.
15．【答案】4
【知识点】平方差公式的几何背景；三角形的面积；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之差是8，
∴AB2-BE2=8
S阴影=S ACE+S AED=
===
故答案为：4
【分析】先根据正方形的面积之差表示出AB2-BE2=8，再利用面积公式表示出阴影部分的面积，利用线段的和差和平方差公式计算即可解答.
16．【答案】x=12，y=10（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：=y(x2+x-6)=y(x+3)(x-2)
∴因式码为y，x+3，x-2
取x=12，y=10，则因式码为10，10，15 按从小到大的顺序排列就形成密码 为101015
生成的六位数密码中含有最小的两位数为10，
因而x=12，y=10，符合条件
故答案为：x=12，y=10，答案不唯一
【分析】先提公因式将多项式因式分解，然后再十字相乘法分解，最后得到因式码y，x+3，x-2再取符合条件的值，解答即可.
17．【答案】解：
=3+1-9+1
=-4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】先算绝对值，再算零指数幂，算负指数幂，根据立方的意义计算立方，最后计算和差，解答即可.
18．【答案】解：
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可解答.
19．【答案】证明： 在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴∠DBC=∠ACB.
∴EB=EC.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据已知条件利用SAS证明△ABC≌△DCB，再根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可解答.
20．【答案】（1）∠1+∠2=∠3+∠2；BA=BC
（2）证明： ∵△ABC与△BED是等边三角形，
∴∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，
∴∠1+∠2=∠3+∠2
即：∠ABE=∠CBD
在△CBD与△ABE中，
∴△CBD≌△ABE(SAS).
∴CD=AE.
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解：（1）∵
∴∠1+∠2=∠3+∠2
∴
故答案为：∠1+∠2=∠3+∠2
∵ 是等边三角形
∴BA=BC
故答案为：BA=BC
【分析】
（1）根据角度的和差运算可得∠1+∠2=∠3+∠2；根据等边三角形的性质得到BA=BC，解答即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，再计算角度的和差运算得到∠ABE=∠CBD，即可利用SAS证明△CBD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可解答.
21．【答案】（1）解：补全图形如图所示：
（2）SSS；BOA；DPC
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】
证明：（2）如图， 连接，，
∵，，
∴，（依据：SSS）
∴BOA=DPC，
∴直线．
故答案为：SSS；BOA；DPC
【分析】
（1） 根据所给方法逐步作图即可解答；
（2）根据作图方法可知 OA=OB=PC=PD，AB=DC，根据SSS可证，再根据全等三角形的性质对应角相等得出BOA=DPC，根据平行线的判定可证PD//MN，解答即可.
22．【答案】解：
∴原式
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；分式的乘法；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先通分计算括号的减法，再因式分解进行乘法的计算，再根据已知条件得到，再整体代值计算即可解答.
23．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）(-2，3)
（3）解：如图：
由勾股定理可知： A1C1=，A1B1=
则以B1C1为一边，使另外两边长为分别确定点P1，P2，P3，可知这两个三角形全等， 则P1(-2，-1)，P2(0，-1)，P3(0，3).
∴符合条件的点坐标为：(-2，-1)，(0，3)，(0，-1)
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；勾股定理；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】
解：（2）观察图形， A1的坐标为(-2，3)；
故答案为： (-2，3)；
【分析】
(1)分别作三个顶点关于y轴的对称点，顺次连接画出图形即可解答；
(2)根据(1)中的图形写出坐标即可解答；
(3)利用勾股定理确定△A1B1C1三边长，再根据全等三角形的性质确定P的坐标即可解答。
24．【答案】（1）解：设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，
由题意得，，
解得，
检验，是原方程的解，符合题意
答：完全用电行驶每千米的费用是元；
（2）解：（千米），即甲地到乙地的距离为100千米，
设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，
由题意得，，
∴，
∴汽车至少需要完全用电行驶40千米
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据题意，列出分式方程求解即可；
（2）先求出甲地与乙地的距离为100千米，设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，根据题意列出不等式求解即可．
（1）解：设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，且符合题意，
∴是原方程的解，
答：完全用电行驶每千米的费用是元；
（2）解：（千米），
∴甲地到乙地的距离为100千米，
设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，
由题意得，，
∴，
∴汽车至少需要完全用电行驶40千米．
25．【答案】（1）
（2）解：
=1
（3）解：
=-1
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；等积变换；数形结合
【解析】【解答】
解：（1） 图1 的面积为，图2 的面积为
根据面积相等可得：
故答案为：
【分析】
（1）先写出图1 的面积，再写出图2 的面积，再根据面积相等可得等式，解答即可；
（2）先将写成，再利用平方差公式计算，最后计算加减，解答即可；
（3）根据平方差公式乘以（10-1），利用平方差公式依次计算解答即可.
26．【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2） 解：结论： BE=EF
证明： 延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM.
在△EFD与△MCD中，
∴△EFD≌△MCD(SAS).
∴CM=EF，
∵AD⊥EM，ED= DM，
∴AE= AM .
∴∠EAM=2∠EAD=2α.
∵∠BAC=2α，
∴∠BAE=∠CAM.
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACM(SAS).
∵EB=CM，
∴BE = EF.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-线段的和差；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据题意画出图形，解答即可；
（2）延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM，根据SAS证明△EFD≌△MCD，根据全等三角形的性质得到CM=EF，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE= AM ，从而可得∠EAM=2∠EAD=2α，再利用SAS证明△ABE≌△ACM，根据全等三角形的性质解答即可.
27．【答案】（1）3
（2） ；0≤m≤5
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】
解： (1)画出图形，根据“最佳线段”的定义作图，如图，
∵点M在过(0，3)且平行于x轴的直线上，
∴最佳线段PM的长为3，
故答案为：3；
(2)①如图，作BCEF于点C，
则BC的长即为最佳线段PM的长，
∴BE=4-1=3，
∵CEB=30°，BCEF，
∴BC=BE=即最佳线段PM的长为，
故答案为：
②如图，当AB在射线EF的右侧时，
∵0PM1，
∴当AE= PM =1时，m取最大值，
∵E(4，0)，
∴m=4+1=5，
如图，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BCEF于点C，
∵0PM1，
∴当BC=PM =1时，m取最小值，
∵CEB = 30°，BCEF，BC=1，
∴BE= 2BC =2，
又∵E(4，0)，
∴B(2，0)，
∵AB为2个单位长度，
∴ A(0，0)，即m=0；
综上可知，m的取值范围为0m5.
故答案为：0≤m≤5
【分析】
(1)画出图形，根据“最佳线段”的定义解答即可；
(2)①作BCEF于点C，根据直角三角形的性质得到BC的长即为最佳线段PM的长，解答即可；
②当AB在射线EF的左侧时，过点B作 BCEF于点C，当 AE=PM=1时，m取最大值，根据E的坐标得出m的最大值；当AB在射线EF的右侧时，当BC=PM=1时，m取最小值，根据直角三角形的性质得到BE的长，再根据点的坐标和线段AB的长度得出m的最小值；解答即可.
1 / 1北京市门头沟区2025~2026学年八年级上学期期末数学试卷
1．（2026八上·门头沟期末）下列图形一定是轴对称图形的是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、锐角三角形不一定是轴对称图形，故A不符合题意；
B、直角三角形不一定是轴对称图形，故B不符合题意；
C、钝角三角形不一定是轴对称图形，故C不符合题意；
D、等腰三角形一定是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果一个图形沿着一 条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴.
2．（2026八上·门头沟期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：
A、，计算错误，故A不符合题意；
B、，计算正确，故B符合题意；
C、，计算错误，故C不符合题意；
D、，计算错误，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法法法则可判断A；根据同底数幂的除法法则可判断B；根据积的乘方法则可判断C；根据幂的乘方法则可判断D；逐一判断即可解答.
3．（2026八上·门头沟期末）如图，，，添加下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解： ∵HM||FG，
∴EGF=MHN，
∵EH=GN
∴EG=HN，
A、添加EF =NM，不能判定△EFG△NMH，故A符合题意；
B、添加FG=HM，∴ △EFG△NMH (SAS)，故B不符合题意；
C、添加F=M，∴ △EFG△NMH (AAS)，故C不符合题意；
D、添加E=N， ∴ △EFG△NMH (ASA)，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质得到EGF=MHN，再根据线段的数量关系得到EG=HN， 因而根据全等三角形的判定方法：有一边一角可添加：角；或EGF=MHN的邻边；逐一判断即可解答.
4．（2026八上·门头沟期末）如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】
解：∵等腰三角形有一个角是
∴ 当这个角是顶角时，底角的度数为：成立；
当这个角是底角时，顶角的度数为
∴ 顶角的度数为或
故答案为：D
【分析】
根据等腰三角形有一个角是，该角可能是顶角也可能是底角，分类讨论，再利用三角形的内角和公式计算即可解答.
5．（2026八上·门头沟期末）下面各式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】
解：A、，原计算错误，故A不符合题意；
B、，原计算错误，故B不符合题意；
C、，原计算正确，故C符合题意；
D、，原计算错误，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的方法：提公因式法；公式法；十字相乘法，逐一判断即可解答.
6．（2026八上·门头沟期末）下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解：
A、不是同乘，同除关系，故A错误，不符合题意；
B、分子乘以a，分母乘以b得到，非同乘，故B错误，不符合题意；
C、，分子分母同时除以2得到，变形正确，故C符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式，分式的值不变，逐一判断即可解答.
7．（2026八上·门头沟期末）已知，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：∵
∴2x+3y=1
∴==
故答案为：B
【分析】先将等式变形得到2x+3y=1，再根据同底数幂乘法法则的应用得到=，再整体代值计算即可解答.
8．（2026八上·门头沟期末）如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
解：如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，
则PM =PN，△ PMN是等腰三角形，
过点M作MHOB于H，当MH>MN，即MH>2时，满足△ PMN是等腰三角形的点P恰好只有一个，
当MH=2时，
∵AOB=30
∴OM =2MH=4；
当OM >4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个；
当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个
此时PNM =60，PM=PN=MN=2，
∴∠OPN=180-60-30=90，
∴ON =2PN=4，
∴此时OM =4-2=2.
综上所述，OM =2或OM>4.
∴所有正确结论的序号是①④.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质得到PM =PN从而可判定△ PMN是等腰三角形， 过点M作MHOB于H，然后根据30直角三角形的性质得到OM=4，从而可推导出当OM >4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个； 再根据等边三角形的性质得出OM=2时满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个 ，可得正确的答案，解答即可.
9．（2026八上·门头沟期末）如果分式有意义，那么的取值范围是　 　．
【答案】x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】
解：∵分式有意义
∴，即x≠-2
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0 ，列式计算即可解答.
10．（2026八上·门头沟期末）分解因式：x3－x=　 　．
【答案】x(x－1)(x+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
x3-x，
=x（x2-1），
=x（x+1）（x-1）．
【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
11．（2026八上·门头沟期末）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【分析】根据多边形内角和公式（为边数，且为整数 ） 再结合该多项式内角和为720°列出方程，求解即可.
12．（2026八上·门头沟期末）计算：　 　．
【答案】8a7b8c2
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：
故答案为：8a7b8c2
【分析】先计算积的乘方，再算单项式的乘法，解答即可.
13．（2026八上·门头沟期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
解：∵的垂直平分线交于
∴，BE=EC
∵，，
∴BE=2DE=10
∴CE=10
故答案为：10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，BE=EC，再根据30直角三角形的性质得到BE的值，由此可得CE=10，解答即可.
14．（2026八上·门头沟期末）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，当有最小值时，点的坐标为　 　．
【答案】(0，3)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
解： 如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C，B'A，
由轴对称的性质可知：B'C=BC，
∴AC+ BC = AC+B'CAB'，当点C在直线AB'上时等号成立，
设直线AB'的解析式为y= kx+b，
将A(1，4)和B'(-3，0)代入，得：
解得
∴直线AB'的解析式为y=x+3， 把x=0代入解析式得：y=0+3=3，
∴点C的坐标为(0，3)，
故答案为：(0，3).
【分析】作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C，B'A， 根据轴对称的性质得到B'C=BC， 再由两点之间线段最短可得当点C在直线AB'上时 的最小值为AB'，设直线AB'的解析式为y= kx+b， 根据待定系数法求出直线的解析式y=x+3，再求出与y轴的交点坐标C，解答即可.
15．（2026八上·门头沟期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】平方差公式的几何背景；三角形的面积；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之差是8，
∴AB2-BE2=8
S阴影=S ACE+S AED=
===
故答案为：4
【分析】先根据正方形的面积之差表示出AB2-BE2=8，再利用面积公式表示出阴影部分的面积，利用线段的和差和平方差公式计算即可解答.
16．（2026八上·门头沟期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值　 　．
【答案】x=12，y=10（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：=y(x2+x-6)=y(x+3)(x-2)
∴因式码为y，x+3，x-2
取x=12，y=10，则因式码为10，10，15 按从小到大的顺序排列就形成密码 为101015
生成的六位数密码中含有最小的两位数为10，
因而x=12，y=10，符合条件
故答案为：x=12，y=10，答案不唯一
【分析】先提公因式将多项式因式分解，然后再十字相乘法分解，最后得到因式码y，x+3，x-2再取符合条件的值，解答即可.
17．（2026八上·门头沟期末）计算：．
【答案】解：
=3+1-9+1
=-4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；化简含绝对值有理数；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】先算绝对值，再算零指数幂，算负指数幂，根据立方的意义计算立方，最后计算和差，解答即可.
18．（2026八上·门头沟期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可解答.
19．（2026八上·门头沟期末）已知：如图，与中，与交于点，，．求证：．
【答案】证明： 在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴∠DBC=∠ACB.
∴EB=EC.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据已知条件利用SAS证明△ABC≌△DCB，再根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可解答.
20．（2026八上·门头沟期末）已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证：
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：
（1）请问老师的提示中①是　 　，②是　 　．
（2）请根据以上思路写出完整的证明过程．
【答案】（1）∠1+∠2=∠3+∠2；BA=BC
（2）证明： ∵△ABC与△BED是等边三角形，
∴∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，
∴∠1+∠2=∠3+∠2
即：∠ABE=∠CBD
在△CBD与△ABE中，
∴△CBD≌△ABE(SAS).
∴CD=AE.
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解：（1）∵
∴∠1+∠2=∠3+∠2
∴
故答案为：∠1+∠2=∠3+∠2
∵ 是等边三角形
∴BA=BC
故答案为：BA=BC
【分析】
（1）根据角度的和差运算可得∠1+∠2=∠3+∠2；根据等边三角形的性质得到BA=BC，解答即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，再计算角度的和差运算得到∠ABE=∠CBD，即可利用SAS证明△CBD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可解答.
21．（2026八上·门头沟期末）下面是小亮设计的尺规作图过程：
已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线的平行直线，使它经过点．
作法：①过点作水平直线交直线于点；
②在射线上取一点A（），以点为圆心，长为半径画弧，与射线交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线的上方交于点；
⑤作直线．
所以直线就是所求作的平行线．
根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，
∵，，
∴，（依据：　 　）
∴　 　=　 　，
∴直线．
【答案】（1）解：补全图形如图所示：
（2）SSS；BOA；DPC
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】
证明：（2）如图， 连接，，
∵，，
∴，（依据：SSS）
∴BOA=DPC，
∴直线．
故答案为：SSS；BOA；DPC
【分析】
（1） 根据所给方法逐步作图即可解答；
（2）根据作图方法可知 OA=OB=PC=PD，AB=DC，根据SSS可证，再根据全等三角形的性质对应角相等得出BOA=DPC，根据平行线的判定可证PD//MN，解答即可.
22．（2026八上·门头沟期末）已知，求代数式的值．
【答案】解：
∴原式
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；分式的乘法；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先通分计算括号的减法，再因式分解进行乘法的计算，再根据已知条件得到，再整体代值计算即可解答.
23．（2026八上·门头沟期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，
（1）在图中作出关于轴对称的；
（2）其中的坐标为　 　；
（3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）(-2，3)
（3）解：如图：
由勾股定理可知： A1C1=，A1B1=
则以B1C1为一边，使另外两边长为分别确定点P1，P2，P3，可知这两个三角形全等， 则P1(-2，-1)，P2(0，-1)，P3(0，3).
∴符合条件的点坐标为：(-2，-1)，(0，3)，(0，-1)
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；勾股定理；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】
解：（2）观察图形， A1的坐标为(-2，3)；
故答案为： (-2，3)；
【分析】
(1)分别作三个顶点关于y轴的对称点，顺次连接画出图形即可解答；
(2)根据(1)中的图形写出坐标即可解答；
(3)利用勾股定理确定△A1B1C1三边长，再根据全等三角形的性质确定P的坐标即可解答。
24．（2026八上·门头沟期末）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多元．
（1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？
（2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？
【答案】（1）解：设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，
由题意得，，
解得，
检验，是原方程的解，符合题意
答：完全用电行驶每千米的费用是元；
（2）解：（千米），即甲地到乙地的距离为100千米，
设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，
由题意得，，
∴，
∴汽车至少需要完全用电行驶40千米
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据题意，列出分式方程求解即可；
（2）先求出甲地与乙地的距离为100千米，设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，根据题意列出不等式求解即可．
（1）解：设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，且符合题意，
∴是原方程的解，
答：完全用电行驶每千米的费用是元；
（2）解：（千米），
∴甲地到乙地的距离为100千米，
设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，
由题意得，，
∴，
∴汽车至少需要完全用电行驶40千米．
25．（2026八上·门头沟期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）
（1）上述图1到图2的操作能验证的等式是　 　．
（2）应用所得的公式计算：．
（3）应用所得的公式计算：．
【答案】（1）
（2）解：
=1
（3）解：
=-1
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；等积变换；数形结合
【解析】【解答】
解：（1） 图1 的面积为，图2 的面积为
根据面积相等可得：
故答案为：
【分析】
（1）先写出图1 的面积，再写出图2 的面积，再根据面积相等可得等式，解答即可；
（2）先将写成，再利用平方差公式计算，最后计算加减，解答即可；
（3）根据平方差公式乘以（10-1），利用平方差公式依次计算解答即可.
26．（2026八上·门头沟期末）在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）写请用等式表示、的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2） 解：结论： BE=EF
证明： 延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM.
在△EFD与△MCD中，
∴△EFD≌△MCD(SAS).
∴CM=EF，
∵AD⊥EM，ED= DM，
∴AE= AM .
∴∠EAM=2∠EAD=2α.
∵∠BAC=2α，
∴∠BAE=∠CAM.
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACM(SAS).
∵EB=CM，
∴BE = EF.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-线段的和差；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据题意画出图形，解答即可；
（2）延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM，根据SAS证明△EFD≌△MCD，根据全等三角形的性质得到CM=EF，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE= AM ，从而可得∠EAM=2∠EAD=2α，再利用SAS证明△ABE≌△ACM，根据全等三角形的性质解答即可.
27．（2026八上·门头沟期末）我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”．
（1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为　 　；
（2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴与点，点在线段上，点在射线 上．
①点，，最佳线段的长为　 　；
②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围　 　．
【答案】（1）3
（2） ；0≤m≤5
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】
解： (1)画出图形，根据“最佳线段”的定义作图，如图，
∵点M在过(0，3)且平行于x轴的直线上，
∴最佳线段PM的长为3，
故答案为：3；
(2)①如图，作BCEF于点C，
则BC的长即为最佳线段PM的长，
∴BE=4-1=3，
∵CEB=30°，BCEF，
∴BC=BE=即最佳线段PM的长为，
故答案为：
②如图，当AB在射线EF的右侧时，
∵0PM1，
∴当AE= PM =1时，m取最大值，
∵E(4，0)，
∴m=4+1=5，
如图，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BCEF于点C，
∵0PM1，
∴当BC=PM =1时，m取最小值，
∵CEB = 30°，BCEF，BC=1，
∴BE= 2BC =2，
又∵E(4，0)，
∴B(2，0)，
∵AB为2个单位长度，
∴ A(0，0)，即m=0；
综上可知，m的取值范围为0m5.
故答案为：0≤m≤5
【分析】
(1)画出图形，根据“最佳线段”的定义解答即可；
(2)①作BCEF于点C，根据直角三角形的性质得到BC的长即为最佳线段PM的长，解答即可；
②当AB在射线EF的左侧时，过点B作 BCEF于点C，当 AE=PM=1时，m取最大值，根据E的坐标得出m的最大值；当AB在射线EF的右侧时，当BC=PM=1时，m取最小值，根据直角三角形的性质得到BE的长，再根据点的坐标和线段AB的长度得出m的最小值；解答即可.
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