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冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 题型专练
【题型1】根据三角形中位线的性质求线段长
【典例】如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【强化训练1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　）
A.1.5 B.3 C. D.
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC和BC于点E，F，EG＝FG．
（1）若D是AB的中点，则EF＝ ；
（2）连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为 ．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB＝6，BC＝8，如果F是边BC的中点，连接EF．
（1）求CD的长；
（2）求EF的长．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AB＝5，求DE的长．
【题型2】根据三角形中位线的性质求角度
【典例】△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　）
A.30° B.50° C.80° D.100°
【强化训练1】如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝（　　）
A.25° B.30° C.35° D.40°
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　）
A.36° B.72° C.74° D.37°
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B+∠BCD＝120°；点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，则∠FEG＝ ．
【强化训练4】定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
（2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
【题型3】根据三角形中位线的性质求周长
【典例】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，D、E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的周长为（　　）
A.12 B.22 C.24 D.26
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．若点D，F分别是AB，AC的中点，连接DF，则△ADF的周长是（　　）
A.10 B.12 C.14 D.24
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD＝6，则四边形EFGH的周长为 ．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12．D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD．如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是多少？
【强化训练5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．
（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．
【题型4】根据三角形中位线的性质证明
【典例】若一个三角形一条边上的中线等于这条边所对应的中位线，则这个三角形一定是（　　）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．
淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F．
A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以
【强化训练2】阅读下面的材料：
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
你认为以上甲、乙两人的思路正确的是 ．
【强化训练3】在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题：
①若AE＝EC，则；
②若，则DE∥BC；
③若DE∥BC，则AE＝EC．
上述命题中，所有真命题的序号是 ．
【强化训练4】已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，求证：DF＝EG．
【强化训练5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AD、AB的中点，AD＝BD．证明：CF是∠ECB的平分线．
【题型5】三角形的中位线定理的实际应用
【典例】为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　）
A.2m B.3m C.4m D.5m
【强化训练1】某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　）
A.8米
B.10米
C.16米
D.32米
【强化训练2】如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为 m．
【强化训练3】如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝3cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
【强化训练4】数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
[定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线：
[定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
[合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
[定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 m．
【强化训练5】下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
任务：
（1）填空：依据1指的是 ；依据2指的是 ；
（2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度；
（3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 题型专练（参考答案）
【题型1】根据三角形中位线的性质求线段长
【典例】如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】B
【解析】取AB的中点F，连接GF、HF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
同理：AE＝3，
∵G、F分别为AD、AB的中点，
∴GF是△ABD的中位线，
∴GF＝BD＝1.5，GF∥BD，
∴∠AFG＝∠ABC＝60°，
同理可得：FH＝1.5，∠BFH＝∠BAC＝60°，
∴GF＝FH，∠GFH＝60°，
∴△GFH为等边三角形，
∴GH＝GF＝1.5，
故选：B．
【强化训练1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为（　　）
A.1.5 B.3 C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AF，取AF的中点G，连接MG、NG，
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵AC2+BC2＝9+16＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵M、G分别为EF、AF的中点，
∴MG是△AEF的中位线，
∴MG＝AE＝1，MG∥AE，
∴∠MGF＝∠CAF，
同理可得：NG＝BF＝1，NG∥BF，
∴∠ANG＝∠B，
∴∠MGN＝∠MGF+∠NGF＝∠CAF+∠FAB+∠B＝90°，
∴MN＝＝＝，
故选：D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC和BC于点E，F，EG＝FG．
（1）若D是AB的中点，则EF＝ ；
（2）连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为 ．
【答案】（1）2.5；
（2）3.2或4．
【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝5，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB＝CD＝2.5，
∵EG＝FG，
∴G是EF的中点，
∵G是CD的中点，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴ CEDF是矩形，
∴EF＝CD＝2.5；
故答案为：2.5；
（2）当D在D'位置时，则∠AD'G'＝90°，
由（1）可知，AB＝5，
设AD'＝x，则D'B＝5﹣x，设CD'＝y，
在Rt△AD'C与Rt△CD'B中，则有x2+y2＝42，y2+（5﹣x）2＝32，
解得：x＝3.2，
∴AD'长为3.2，
当D位于D“位置时，则∠AG″D″＝90°，
∵G″是D″C的中点，且∠AG″D“＝90°，
∴AG“是线段CD“的垂直平分线，
∴△AD″C是等腰三角形，
∴AD″＝AC＝4，
∴AD″的长为4，
综上所述，AD的长为3.2或4；
故答案为：3.2或4．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E．已知AB＝6，BC＝8，如果F是边BC的中点，连接EF．
（1）求CD的长；
（2）求EF的长．
【答案】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∵AD＝AB＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4；
（2）∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴BE＝ED，
∵BF＝FC，
∴EF是△BDC的中位线，
∴EF＝CD＝2．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AB＝5，求DE的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90，
∴∠BDE+∠3＝90，∠DBE+∠1＝90，
∵∠1＝∠3，
∴∠BDE＝∠DBE，
∴BE＝DE，
∵AE＝DE，
∴，
∵AB＝5，
∴．
【题型2】根据三角形中位线的性质求角度
【典例】△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　）
A.30° B.50° C.80° D.100°
【答案】D
【解析】∵点E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠FEB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∵∠FEC＝30°，
∴∠BEC＝130°﹣30°＝100°，
故选：D．
【强化训练1】如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝（　　）
A.25° B.30° C.35° D.40°
【答案】A
【解析】∵点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，
∴FG、GH分别是三角形ABD、三角形BDC的中位线，
∴GF＝且GF∥AB，GH＝且GH∥CD，
∴∠FGD＝∠ABD＝30°，∠BGH＝∠BDC＝80°，
∴∠HGE＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FGH＝130°，
又∵AB＝CD，
∴GF＝GH，
∴∠GHF＝∠GFH＝＝25°，
故选：A．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　）
A.36° B.72° C.74° D.37°
【答案】D
【解析】如图，延长FG交AB于点M，
∵AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，
∴，
∴∠FEG＝∠EFG，∠DAC＝∠FGC＝∠AGM＝17°，∠AGE＝∠ACB＝91°，
∴∠MGE＝∠AGE﹣∠AGM＝∠FEG+∠EFG＝2∠FEG＝91°﹣17°＝74°，
解得∠FEG＝37°．
故选：D．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B+∠BCD＝120°；点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，则∠FEG＝ ．
【答案】30°．
【解析】∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线，
∴EG＝CD，EG∥CD，FG＝AB，FG∥AB，
∵AB＝CD，
∴EG＝FG，
∵EG∥CD，
∴∠EGA＝∠ACD，
∵FG∥AB，
∴∠CFG＝∠B，
∵∠AGF＝∠CFG+∠ACB＝∠B+∠ACB，
∴∠EGF＝∠EGA+∠AGF＝∠B+∠ACB+∠ACD＝120°，
∴∠GEF＝∠EFG＝×（180°﹣120°）＝30°，
故答案为：30°．
【强化训练4】定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
（2）若∠BAC+∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
【答案】（1）证明：∵△EFG为等边三角形，
∴EG＝FG，
∵点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴CD＝2FG，AB＝2EG，
∴CD＝AB，
∴四边形ABCD是“等对边四边形”；
（2）解：过B作BM⊥CA交CA延长线于M，过C作CN⊥BD于N，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAC+∠BAM＝180°，
∴∠BAM＝∠CDN，
∵∠AMB＝∠DNC＝90°，AB＝DC，
∴△BAM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
∵BC＝CB，
∴Rt△BCM≌Rt△CBN（HL），
∴∠DBC＝∠ACB，
∵EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AB，FG∥CD，
∴∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠CEG+∠BFG＝180°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EFG＝∠FEG＝60°，
∵∠BFG+∠EFG+∠EFD+∠CEG+∠FEG+∠FEA＝180°+180°，
∴∠EFD+∠FEA＝60°，
∴∠DBC+∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝×60°＝30°．
【题型3】根据三角形中位线的性质求周长
【典例】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵等边三角形ABC的边长为2，
∴△ABC的周长为2×3＝6．
∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴△DEF的周长为EF+DF+DE＝（AB+BC+AC）＝＝3．
故选：C．
【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，D、E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的周长为（　　）
A.12 B.22 C.24 D.26
【答案】B
【解析】由勾股定理得，，
∵AB＝8，AC＝6，D、E分别是AB，AC的中点，
∴，
∴四边形BCED的周长为BC+CE+DE+BD＝22，
故选：B．
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．若点D，F分别是AB，AC的中点，连接DF，则△ADF的周长是（　　）
A.10 B.12 C.14 D.24
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∵点D，F分别是AB，AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，AD＝AB＝3，AF＝AC＝5，
∴DF＝BC＝4，
∴△ADF的周长＝AD+AF+DF＝3+5+4＝12，
故选：B．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD＝6，则四边形EFGH的周长为 ．
【答案】12．
【解析】∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别是△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的中位线，
∴EF＝AC＝3，FG＝BD＝3，GH＝AC＝3，HE＝BD＝3，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+HE＝12；
故答案为：12．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12．D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD．如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是多少？
【答案】解：∵D、E分别是AB、BC的中点，DE＝2.5，
∴AC＝2DE＝5，DE∥AC，
∴∠BED＝∠BCA，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BED＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DC＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+DC＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18．
【强化训练5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．
（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；
（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．
【答案】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，
∴∠CEF＝∠BAC＝85°，
在Rt△ADC中，E为边AC的中点，
∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝55°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝70°，
∴∠DEF＝85°﹣70°＝15°；
（2）在Rt△ADB中，AD＝6，BD＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF＝AB＝5，
在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4，
由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∴DE＝AC＝，
∵BD＝8，CD＝4，
∴BC＝12，
∵F为边BC的中点，
∴CF＝6，
∴DF＝6﹣4＝2，
∴△DEF的周长＝5+2+＝7+．
【题型4】根据三角形中位线的性质证明
【典例】若一个三角形一条边上的中线等于这条边所对应的中位线，则这个三角形一定是（　　）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【答案】D
【解析】如图，CD、EF分别是△ABC的中线、中位线，且CD＝EF，连接DE、DF，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥BC，即DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD＝EF，
∴四边形CEDF是矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．
淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F．
A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以
【答案】A
【解析】嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC，
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴AD＝CF，AB∥CF，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝BC，DE∥BC，故嘉嘉的辅助线作法可以，
淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F，
则四边形ABGF为平行四边形，
∴AB＝FG，
证明△AEF≌△CEG（AAS），
∴FE＝EG，AF＝GC，
∴BD＝EG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE为平行四边形，
∴DE＝BC，DE∥BC，故淇淇的辅助线作法可以，
故选：A．
【强化训练2】阅读下面的材料：
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
你认为以上甲、乙两人的思路正确的是 ．
【答案】甲、乙．
【解析】甲：如图1，在△△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，
∴BD＝CF，AB∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝BC，DE∥BC，故甲的思路正确，
乙：如图2，连接DC，AF，
证明四边形ADCF，
则DBCF分别是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝BC，DE∥BC，故乙的思路正确，
∴思路正确的是甲、乙，
故答案为：甲、乙．
【强化训练3】在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题：
①若AE＝EC，则；
②若，则DE∥BC；
③若DE∥BC，则AE＝EC．
上述命题中，所有真命题的序号是 ．
【答案】①③．
【解析】∵D为边AB的中点，
∴AD＝DB，
①若AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，是真命题；
②若DE＝BC，不能得出DE∥BC，是假命题；
③若DE∥BC，则AE＝EC，是真命题；
故答案为：①③．
【强化训练4】已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．连接DF、FG、EG、DE，求证：DF＝EG．
【答案】证明：∵BE，CD都是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵F，G分别是OB，OC的中点，
∴FG∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG且DE＝FG，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴DF＝EG．
【强化训练5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AD、AB的中点，AD＝BD．证明：CF是∠ECB的平分线．
【答案】证明：∵点E、F分别是AD、AB的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴∠FCD＝∠CFE，
在△ABC中，∠ACB＝90°中，
∵E是AD的中点，
∴CE＝AD，
∵AD＝BD，
∴EF＝CE，
∴∠ECF＝∠CFE，
∴∠FCD＝∠ECF，
即：CF是∠ECB的平分线．
【题型5】三角形的中位线定理的实际应用
【典例】为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　）
A.2m B.3m C.4m D.5m
【答案】D
【解析】如图，
∵PA＝PB＝8m，QC＝QA＝10m，
∴P，Q是AB，AC的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴BC＝2PQ，
∵BC＝10m，
∴PQ＝5m，
故选：D．
【强化训练1】某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　）
A.8米
B.10米
C.16米
D.32米
【答案】A
【解析】由题意知，EF是△ABC的中位线，
∴米，
故选：A．
【强化训练2】如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为 m．
【答案】54．
【解析】∵AD＝DC，BE＝EC，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∵DE＝27m，
∴AB＝54m．
故答案为：54．
【强化训练3】如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝3cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
【答案】6．
【解析】∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝3cm，
∴AB＝2CD＝6（cm），
故答案为：6．
【强化训练4】数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
[定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线：
[定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
[合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
[定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 m．
【答案】[定理证明]解：∵E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF，
∴BD∥CF，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE；
[合作交流]乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF，推出四边形ADCF是平行四边形，得到BD＝CF，BD∥CF，因此四边形DBCF是平行四边形，即可证明．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，根据全等三角形的判定和性质得出BG＝AH，AH＝CF，推出四边形BGCF是矩形，即可证明．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F，根据全等三角形的判定和性质得出AF＝CG，AF＝BG，即可证明．
故答案为：D．
[定理应用]
连接AN并延长交BC延长线于G，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠NCG，∠DAN＝∠G，
∵N是DC中点，
∴ND＝NC，
∴△ADN≌△GCN（AAS），
∴AN＝NG，AD＝CG，
∵M是AB中点，
∴MN是△ABG的中位线，
∴MN＝BG，
∵BG＝BC+CG＝BC+AD，
∴MN＝（AD+BC）．
∵AD＝a m，MN＝b m，
∴BC＝（2b﹣a）m，
故答案为：（2b﹣a）．
【强化训练5】下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
任务：
（1）填空：依据1指的是 ；依据2指的是 ；
（2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度；
（3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】解：（1）依据1指的是等腰三角形的三线合一的性质，依据2指的是三角形中位线定理；
故答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理；
（2）∵AB⊥直线a，AB⊥直线b，
∴AE∥CD，
∴，
∵AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，CB＝AB+AC，
∴，
解得AB＝20（m），
答：池塘AB的宽度为20m；
（3）∵BA⊥AC，∠BCA＝30°，
∴BC＝2AB，
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得BC2＝AB2+AC2，
∵AC＝34米，
∴（2AB）2＝AB2+342，
解得AB≈20米，（负的已舍），
答：池塘AB的宽度约为20m．

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