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吉林省长春市实验中学2025-2026学年下学期第一次周测高三数学试卷
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）．

A． B．
C． D．
4．据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．12 B．20 C．24 D．32
5．甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）
A．事件与事件互斥
B．
C．记的对立事件为，则
D．事件与事件相互独立
6．已知函数，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．e D．
二、多选题
7．设函数，则（ ）
A．是的一条切线
B．
C．当时，
D．若在区间上有最小值，则实数的范围为
8．已知封闭直三棱柱中，，，，为该三棱柱的外接球球心，则（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．球的体积为
C．可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为
D．点在四边形及其内部运动，且满足，则最小值为
三、填空题
9．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，点O为坐标原点，的面积为________．
10．已知，，，则______．
四、解答题
11．已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点．
(1)求的方程；
(2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值．
12．如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
参考答案
1．D
解析：可化为，解得，故，
又，故.
故选：D
2．A
解析：是等比数列，
，
，，解得或（舍去），
，，
，解得．
故选：A．
3．A
解析：由函数的图像，可得，且，所以，
则，所以，
又由，可得，即，
解得，解得，
因为，所以，所以，
又由，可得，
设，则，可得，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
且，，且，
要使得方程在上有两个不相等的实数根，
即方程在上有两个不相等的实数根，
即函数和的图像在上有两个不同的交点，
如图所示，可得，即实数的取值为.
故选：A.

4．B
解析：当“宫”在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为；
当“宫”不在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为，
所以一共可以排成不同音序的种数为．
故选：B．
5．D
解析：由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）.
则事件的可能结果有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），共6种情况.
事件的可能结果有（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共4种情况.
事件的可能结果有（反，反，反），共1种情况.
对于A，事件与事件都有（反，反，反）这种情况，故事件与事件不互斥，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，，，所以，故事件与事件相互独立，故D正确.
故选：D.
6．A
解析：因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立，
则函数和的零点相同，
所以，则，
设，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，所以最大值为，
故选：A.
7．ABD
解析：对A：，
令，则或，
又，则在处的切线为，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：令，，
则，
故在上单调递增，又，
故，即，故C错误；
对D：由，则当时，，
当时，，
故在上单调递减，在、上单调递增，
又，且，
若在区间上有最小值，则有，
解得，故D正确.
故选：ABD.
8．AB
解析：因为，所以，
因为为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，，所以，，
所以，故，故A正确；
因为的外接圆的圆心为线段的中点，且为直三棱柱，
所以易知线段的中点为球心，
则球的半径为，故球的体积为，故B正确；
的内切圆半径为，
所以可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为，故C错误；
取线段的中点，线段的中点，
因为平面，所以到平面的距离为，
则以为球心，为半径的球被平面所截得的小圆半径为，
因为点在四边形及其内部运动，且满足，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上且在四边形及其内部的点，
连接，当三点共线时最小，
最小值为，故D错误.
故选：AB
9．
解析：由抛物线方程可知：焦点，准线方程为：，
设，则，得，
又，可得，
.
故答案为：.
10．
解析：由，
又，所以，
所以，
所以，
又，所以，所以.
故答案为：
11．(1)；
(2).
解析：（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零，
设直线的方程为，，
由消去，得，显然，
则，，
所以，
则的面积，
令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4，
则当时，取得最小值4，，
所以的面积的最大值为.

12．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点，连接、，因为，所以，
因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，
因为是正三角形，是的中点，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设，
则，，，，，，
所以，，，
又平面的一个法向量，
所以，
因为，解得，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又平面的一个法向量，所以，
设二面角的平面角为，
，
即二面角的正弦值为.

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