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冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 题型专练（参考答案）
【题型1】对矩形定义和性质的理解
【典例】关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　）
A.四个角都是直角
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分且相等
【答案】C
【解析】∵矩形的四个角都是直角，
∴A正确；
∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
∴B正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴C不正确、D正确；
故选：C．
【强化训练1】关于矩形的对角线，以下说法正确的是（　　）
A.相等且互相垂直 B.相等且互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直平分
【答案】B
【解析】矩形的对角线相等且互相平分，
故选：B．
【强化训练2】矩形不一定具有的性质是（　　）
A.对角线相等 B.四个角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
【答案】C
【解析】∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，
∴选项A、B、D正确，
故选：C．
【强化训练3】下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（　　）
A.对角线相互垂直
B.面积等于对角线乘积的一半
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
【答案】D
【解析】矩形的对角线相等，
故选：D．
【强化训练4】矩形一定具有的性质是（　　）
A.邻边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线平分每一组对角
【答案】B
【解析】矩形对角线相等且互相平分，
故选：B．
【题型2】根据矩形的性质求角度
【典例】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝60°，则∠E＝（　　）
A.45° B.30° C.20° D.15°
【答案】D
【解析】连接AC，AC，BD相交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OB＝OC，
∵∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵CE＝BD
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°，
∴2∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
【强化训练1】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）
A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α
【答案】B
【解析】如图：
∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形，
∴∠B＝∠EHG＝90°，
∵∠1是△EBH的一个外角，
∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°，
∴∠2＝∠EHG﹣∠3
＝90°﹣（α﹣90°）
＝180°﹣α，
故选：B．
【强化训练2】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若∠ADB＝60°，则∠E＝ °．
【答案】30．
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝60°，
∴∠E＝∠DAE，又BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝60°，
即∠E＝30°．
故答案为：30．
【强化训练3】如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）若∠E＝40°，求∠BOC的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∴BC＝CE；
（2）解：∵DE∥AC，∠E＝40°，
∴∠OCB＝∠E＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
【强化训练4】已知：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若四边形DEBF是矩形，∠AED＝130°，求∠AOD的度数．
【答案】（1）证明：在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是矩形，
∴OE＝OD，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AED+∠OED＝180°，
∴∠OED＝180°﹣∠AED＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ODE﹣∠OED＝80°．
【题型3】根据矩形的性质求线段长
【典例】如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（　　）
A.12 B.5 C.1 D.3
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
∵DE平分∠AEC，
∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝13，
在直角△ABE中，BE＝＝＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1．
故选：C．
【强化训练1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A.3 B. C. D.4
【答案】C
【解析】连接OB，AC，
∵点B的坐标是（1，3），
∴，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
故选：C．
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E．若∠CAE＝15°，AC＝18，则BE的长为（　　）
A. B.9 C. D.12
【答案】B
【解析】在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝9，
∴BO＝BE＝9．
故选：B．
【强化训练3】如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝ ．
【答案】．
【解析】如图，连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCE＝90°，AB＝CD＝6，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE＝6，
∵BC＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE＝，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴FG＝，
故答案为：．
【强化训练4】在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别与AB和CD的延长线交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝6，AD＝8，求AC与EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝∠COF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）解：如图，连接CF，
∵AO＝CO，EF⊥AC，
∴CE＝FC，
∴EF＝2OE，
∵△AEO≌△CFO（ASA），
∴EB＝FD，
CD+DF＝，
解得DF＝EB＝，
∴AE＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝100，
∴AC＝10．
∴AO＝CO＝AC＝5，
∵OE＝＝，
∴EF＝．
【强化训练5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝2，AB＝3，求AF的长．
【答案】解：如图，连接AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°．
∵BE＝2，AB＝3，
∴．
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，∠AFE＝∠CEF．
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE．
∵，
∴．
【题型4】根据矩形的性质求面积
【典例】将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：CF＝BC＝1，∠F＝∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠CAF，
∵AF∥CE，
∴∠ACG＝∠CAF，
∴∠ACG＝∠BAC，
∴AG＝CG，
设AG＝x，则CG＝x，BG＝2﹣x，
在Rt△CGB中，由勾股定理得：CG2＝CB2+BG2，
∴12+（2﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∵两张完全相同的矩形纸片，
∴CH∥AG，AH∥CG，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴重叠部分图形的面积＝AG BC＝×1＝．
故选：D．
【强化训练1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.10 B.12 C.16 D.18
【答案】B
【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∵MP＝AE＝2
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，
∴S阴＝6+6＝12，
故选：B．
【强化训练2】如图，长方形ABCD中，E、F分别在边AD和AB上，连接BE、CE、CF、DF，BE与CF、DF分别交于G、H，CE交DF于点K，若S四边形AFHE＝60，S△BFG＝25，S△EKD＝20，S△BGC＝80，S△CKD＝70，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.96 B.100 C.105 D.106
【答案】C
【解析】如图，连接CH，
∵S△BFG＝25，S△BGC＝80，
∴FG：CG＝25：80＝5：16，
∴S△HGF：S△HGC＝5：16，
设S△HGF＝5a，则S△HGC＝16a，
∵S△EKD＝20，S△CKD＝70，
∴EK：CK＝20：70＝2：7，
∴S△HKE：S△HKC＝2：7，
设S△HKE＝2b，则S△HKC＝7b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴S△ABE+S△DCE＝S△BCE，S△ADF+S△BCF＝S△DCF，
∴，
整理得，
①+②，得32a+14b＝210，
∴16a+7b＝105，
∴S阴影＝S△HGC+S△HKC＝16a+7b＝105，
故选：C．
【强化训练3】在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC，垂足为E．若CE＝9，AE＝16，则S△DOE＝ ．
【答案】21．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD＝AC＝BD＝＝，
∴OE＝OC﹣CE＝﹣9＝，
∵DE⊥AC，
在Rt△DOE中，由勾股定理得DE＝＝12，
∴S△DOE＝OE DE＝××12＝21，
故答案为：21．
【强化训练4】如图，长方形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝15厘米，点E是BC的中点，点F是CD的中点，连接BD、AF、AE，把图形分成六块，求涂色部分的面积．
【答案】解：如图所示，假设BD交AE与G点，AF交DB与HG点，
因为BE与AD平行，并且等于AD的，
所以BG：GD＝BE：AD＝1：2，则BG：BD＝1：3，
同样的方法可以得出：DH：BD＝1：3，
所以BG＝DH＝BD，所以BG＝GH＝HD，
所以三角形ABG与三角形AGH的面积相等，
△ABG的面积+△BGE的面积＝△AGH的面积+△BGE的面积，
△AGH的面积+△BGE的面积＝△ABE的面积＝×8×＝30；
又因△DFH的DF边上的高＝×BC＝5，
所以△DFH面积＝×4×5＝10；
即阴影部分面积＝30+10＝40（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是40平方厘米．
【题型5】利用矩形的性质证明
【典例】如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线AC的长度变小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【解析】向右扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线AC不变，B不合题意；
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意；
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意，
故选：C．
【强化训练1】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.AB＝BC B.CD＝AB C.∠BAD＝∠BCD D.OB＝OD
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴CD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，但AB与BC不一定相等，
∴A符合题意，而B、C、D不符合题意，
故选：A．
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是
【答案】①②③④
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
故答案为：①②③④．
【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AE⊥BE，求证：AB＝2BC．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）．
∴AE＝BE．
（2）∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
又∵AE＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°．
在矩形ABCD中∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠ABE＝45°，
∴△BEC是等腰直角三角形．
∴BC＝EC．
同理，AD＝DE．
在矩形ABCD中AD＝BC，AB＝DC，
∴AB＝2BC．
【题型6】判断所给条件能否判定矩形
【典例】如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　）
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
【答案】A
【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分，
∴甲中四边形是矩形，
如图乙，记AC、BD的交点为O，
由图可知，OA＝OD，OB＝OC，OA、OB的数量关系未知，
∴乙中四边形不一定是矩形，
故选：A．
【强化训练1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD
【答案】C
【解析】A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【强化训练2】下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　）
A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B.有三个角是直角
C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形
D.一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【解析】A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意；
B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意；
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意．
故选：D．
【强化训练3】对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有 ．
【答案】①④．
【解析】∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，则四边形ABCD是矩形，故①正确；
由∠B＝∠C＝∠D不可以得到矩形，故②错误；
∠A＝∠B，∠C＝∠D，邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误；
∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；
故答案为：①④．
【强化训练4】在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）（a≠0，b≠c）．若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由．
【答案】解：要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足的条件是b＝﹣c，
理由是：∵A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c），
∴AB2＝（a﹣a）2+（b﹣c）2＝（b﹣c）2，BC2＝（a+a）2+（c+b）2，AC2＝（a+a）2+（b+b）2，
要使四边形ABCD是矩形，
必须∠B＝90°，
即AC2＝AB2+BC2，
∴（b﹣c）2+（a+a）2+（c+b）2＝（a+a）2+（b+b）2，
整理得：b＝±c，
∵b≠c，
∴b＝﹣c，
即要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足的条件是b＝﹣c．
【题型7】添加一条件使四边形是矩形
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A.MB＝MO B.OM＝AC C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
【答案】B
【解析】添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
【强化训练1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　）
A.OB＝5 B.OD＝5 C.AB＝5 D.BC＝8
【答案】B
【解析】添加OD＝5，
理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5，
∴OB＝AO＝OC＝5，
∵OD＝5，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴AC＝BD＝10，
∴四边形ABCD为矩形，
故选：B．
【强化训练2】如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 ．（只需写出一个符合要求的条件）
【答案】AC⊥BD
【解析】添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】BE＝CF（答案不唯一）．
【解析】添加条件为：BE＝CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形，
故答案为：BE＝CF（答案不唯一）．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）解：如图，添加一个条件为∠EBF＝90°，
理由：由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵∠EBF＝90°，
∴四边形BFDE为矩形．
【题型8】证明四边形是矩形
【典例】如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①④．
【解析】①∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；故①正确；
②当AC⊥BD时，CE＝CF；故②错误；
③∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5；故③错误；
④当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．故④正确；
故答案为：①④．
【强化训练1】把两根长度相等的木条的中点用螺栓固定在一起，依次连接木条的四个端点得到的四边形是 ．
【答案】矩形．
【解析】如图所示：
由题意得：AC＝BD，O为AC和BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
故答案为：矩形．
【强化训练2】证明：对于平行四边形，若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形．
【答案】已知：如图所示，P是平行四边形ABCD内任意一点，且PA2+PC2＝PB2+PD2；
求证：四边形ABCD是矩形；
证明：过P作EF⊥AD，分别交AD、BC于E、F，
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC；AD＝BC
∴EF⊥BC
∴AE+DE＝BF+CF…①
∵PA2＝AE2+PE2；
PC2＝PF2+CF2；
PB2＝PF2+BF2；
PD2＝PE2+DE2；
∴（AE2+PE2）+（PF2+CF2）＝（PF2+BF2）+（PE2+DE2），
∴AE2+CF2＝BF2+DE2；
∴AE2﹣DE2＝BF2﹣CF2；
∴（AE﹣DE）（AE+DE）＝（BF﹣CF）（BF+CF）
∴（AE﹣DE） AD＝（BF﹣CF） BC
∴AE﹣DE＝BF﹣CF…②
①+②得：2AE＝2BF，
∴AE＝BF，
又∵AD∥BC，EF⊥AD，EF⊥BC，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
【题型9】矩形的判定定理的实际应用
【典例】在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（　　）
A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等
【答案】B
【解析】A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
C、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
【强化训练1】用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（　　）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．
④量出两条对角线长，看是否相等．
A.①②③④
B.①②④
C.①②③
D.①②
【答案】D
【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确，符合题意；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确，符合题意；
③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误，不符合题意；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误，不符合题意；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②．
故选：D．
【强化训练2】如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　）
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
【答案】C
【解析】A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；
C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意；
故选：C．
【强化训练3】木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6m，另一组对边的长为均0.8m，一条对角线长为1m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 ．（填合理或不合理）
【答案】合理
【解析】如图，由题意得：AB＝CD＝0.6m，BC＝AD＝0.8m，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC＝1m，0.62+0.82＝12，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
即此木框为矩形，此方法合理，
故答案为：合理．
【强化训练4】如图，用对边长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是 ．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形．
【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴该图形是平行四边形，
再令对角线相等，就满足对角线相等的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
【强化训练5】如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．
【答案】解：∵两组对边分别平行，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形；
这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形．
【强化训练6】检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．
【答案】解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形．
所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形．
根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【题型10】综合应用矩形的判定和性质求解
【典例】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是（　　）
A.1 B.1.2 C.2.4 D.4.8
【答案】B
【解析】连接MC，
∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC，
∴四边形MECF是矩形，
∴MC＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴，
∵点P是EF的中点，则，
∴当CM⊥AB时，CM取得最小值，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3
【答案】C
【解析】如图，连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中点，
∴PM＝EF＝AP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，
则PM也最短，
此时，S△ABC＝BC AP＝AB AC，
∴AP＝＝＝2.4，
即AP最短时，AP＝2.4，
∴PM的最小值＝AP＝1.2，
故选：C．
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　）
A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长
【答案】B
【解析】过点P作PG⊥AH于G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH＝PG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠BAH+∠HAD＝∠HAD+∠ADO＝90°，
∴∠BAH＝∠ADO，
同理∠BAH＝∠APG，
∴∠APG＝∠EAP，
∵AP＝PA，∠AEP＝∠AGP＝90°，
∴△APE≌△PAG（AAS），
∴AE＝PG，
∴AE＝HF，
又∵S△APO+S△PDO＝S△AOD，
∴，
∴PE+PF＝AH，
∴△APE与△DPF的周长和＝AP+PE+AE+PD+PF+DF
＝AD+AH+PG+DF
＝AD+AH+HF+DF
＝AD+AH+HD
∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长．
故选：B．
【强化训练3】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 ．
【答案】12
【解析】∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
同理EF∥HG，EF＝HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EF×EH＝AC×BD＝×8××6＝12．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
【题型11】综合应用矩形的判定和性质证明
【典例】在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，求证：．
证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD．
…
∴AC＝BD＝2OB
∴．
下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∵∠ABC＝90°；②∴四边形ABCD是平行四边形；③∴四边形ABCD是矩形；④∵OA＝OC，OB＝OD．则正确的顺序（　　）
A.④②①③ B.④①②③ C.①④②③ D.①②③④
【答案】A
【解析】如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，
，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB
∴，
故选：A．
【强化训练1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFG＝S平行四边形ABCD．其中正确的是（　　）
A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④
【答案】D
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，故①正确；
②∵AG∥DB且AG＝DB，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴四边形ADBG是矩形，故②正确；
③连接DG，
∵四边形ADBG是矩形，
∴DG过点E，AB＝CD．
若FG＝AB，则FG＝CD，显然FG与CD不一定相等，故③不正确；
④∵四边形ADBG是矩形，
∴AD＝BG．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴BG＝BC，
∴S△BFG＝S△BFC．
∵F为边CD的中点，
∴S△BFC＝S△BFD，
∴S△BFG＝S△BFC＝S△BFD，
∴，故④正确．
故选：D．
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】①AC＝＝＝5，故①正确；
②若DQ＝CM，则有△CQD≌△BMC，推出BC＝DC，与已知矛盾，故②错误；
③AE∥CF，DP⊥AF，BM⊥CE，四个角都是直角，是矩形，故③正确；
④∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠DCE+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠DCQ，
在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠DAP＝∠BCM，
∵∠APD＝∠CMB，
∴△APD≌△CMB（AAS），
∴AP＝CM，
如图，设PQ、MN分别交AC于点J、K，
∵AF∥CE，
∴∠PAJ＝∠MCK，
又∵∠APD＝∠CMB，
∴△APJ≌△CMK（ASA），
∴PJ＝MK，
∵四边形PQMN是矩形，
∴PQ＝MN，PN＝QM，
∴AC平分四边形PQMN的周长，
故④正确；
正确的序号为①③④．
故答案为：①③④．
【强化训练3】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为 ．
【答案】DF＝DE且DF⊥DE．
【解析】如图，连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，∠C＝∠BAD＝45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AFP＝∠AEP＝∠EAF＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，∠C＝∠EPC＝45°，
∴PE＝AF，PE＝EC，
∴AF＝EC，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDP，
∴∠FDE＝∠ADC＝90°
故答案为DF＝DE且DF⊥DE．
【强化训练4】如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB．
【答案】证明：（1）∵AE⊥BN，DF⊥BN，
∴AE∥DF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BN，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB．
【强化训练5】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）①判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．
②线段EF与AB有怎样的关系？直接写出你的结论．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：①四边形ABDE是平行四边形，证明如下，
∵四边形ADCE为矩形，
∴AE＝CD，AE∥BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
②EF∥AB，，理由如下，
∵四边形ADCE为矩形，
∴，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴EF∥AB，．冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 题型专练
【题型1】对矩形定义和性质的理解
【典例】关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　）
A.四个角都是直角
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分且相等
【强化训练1】关于矩形的对角线，以下说法正确的是（　　）
A.相等且互相垂直 B.相等且互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直平分
【强化训练2】矩形不一定具有的性质是（　　）
A.对角线相等 B.四个角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
【强化训练3】下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（　　）
A.对角线相互垂直
B.面积等于对角线乘积的一半
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
【强化训练4】矩形一定具有的性质是（　　）
A.邻边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线平分每一组对角
【题型2】根据矩形的性质求角度
【典例】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝60°，则∠E＝（　　）
A.45° B.30° C.20° D.15°
【强化训练1】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）
A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α
【强化训练2】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若∠ADB＝60°，则∠E＝ °．
【强化训练3】如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）若∠E＝40°，求∠BOC的度数．
【强化训练4】已知：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若四边形DEBF是矩形，∠AED＝130°，求∠AOD的度数．
【题型3】根据矩形的性质求线段长
【典例】如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（　　）
A.12 B.5 C.1 D.3
【强化训练1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A.3 B. C. D.4
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E．若∠CAE＝15°，AC＝18，则BE的长为（　　）
A. B.9 C. D.12
【强化训练3】如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝ ．
【强化训练4】在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别与AB和CD的延长线交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝6，AD＝8，求AC与EF的长．
【强化训练5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝2，AB＝3，求AF的长．
【题型4】根据矩形的性质求面积
【典例】将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.10 B.12 C.16 D.18
【强化训练2】如图，长方形ABCD中，E、F分别在边AD和AB上，连接BE、CE、CF、DF，BE与CF、DF分别交于G、H，CE交DF于点K，若S四边形AFHE＝60，S△BFG＝25，S△EKD＝20，S△BGC＝80，S△CKD＝70，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.96 B.100 C.105 D.106
【强化训练3】在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC，垂足为E．若CE＝9，AE＝16，则S△DOE＝ ．
【强化训练4】如图，长方形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝15厘米，点E是BC的中点，点F是CD的中点，连接BD、AF、AE，把图形分成六块，求涂色部分的面积．
【题型5】利用矩形的性质证明
【典例】如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线AC的长度变小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
【强化训练1】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.AB＝BC B.CD＝AB C.∠BAD＝∠BCD D.OB＝OD
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是
【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AE⊥BE，求证：AB＝2BC．
【题型6】判断所给条件能否判定矩形
【典例】如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　）
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
【强化训练1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD
【强化训练2】下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　）
A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B.有三个角是直角
C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形
D.一组对边平行，另一组对边相等
【强化训练3】对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有 ．
【强化训练4】在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）（a≠0，b≠c）．若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由．
【题型7】添加一条件使四边形是矩形
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A.MB＝MO B.OM＝AC C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
【强化训练1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　）
A.OB＝5 B.OD＝5 C.AB＝5 D.BC＝8
【强化训练2】如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 ．（只需写出一个符合要求的条件）
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由．
【题型8】证明四边形是矩形
【典例】如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有 （填序号）．
【强化训练1】把两根长度相等的木条的中点用螺栓固定在一起，依次连接木条的四个端点得到的四边形是 ．
【强化训练2】证明：对于平行四边形，若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【题型9】矩形的判定定理的实际应用
【典例】在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（　　）
A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等
【强化训练1】用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（　　）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．
④量出两条对角线长，看是否相等．
A.①②③④
B.①②④
C.①②③
D.①②
【强化训练2】如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　）
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
【强化训练3】木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6m，另一组对边的长为均0.8m，一条对角线长为1m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 ．（填合理或不合理）
【强化训练4】如图，用对边长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是 ．
【强化训练5】如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．
【强化训练6】检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．
【题型10】综合应用矩形的判定和性质求解
【典例】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是（　　）
A.1 B.1.2 C.2.4 D.4.8
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　）
A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长
【强化训练3】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 ．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
【题型11】综合应用矩形的判定和性质证明
【典例】在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，求证：．
证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD．
…
∴AC＝BD＝2OB
∴．
下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∵∠ABC＝90°；②∴四边形ABCD是平行四边形；③∴四边形ABCD是矩形；④∵OA＝OC，OB＝OD．则正确的顺序（　　）
A.④②①③ B.④①②③ C.①④②③ D.①②③④
【强化训练1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFG＝S平行四边形ABCD．其中正确的是（　　）
A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【强化训练3】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为 ．
【强化训练4】如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB．
【强化训练5】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）①判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．
②线段EF与AB有怎样的关系？直接写出你的结论．

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