资源简介

2025-2026 学年高一数学下学期第一次质量检测
(考试时间: 120 分钟, 分值: 150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1. 化简后等于( )
A. B. C. D.
2. 已知 为 所在平面内一点, ,则()
A. B.
C. D.
3. 已知 ，且 在 上的投影向量的模为 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. 120° D. 或
4. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知三角形 满足 ，则三角形 的形状一定是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
6. 设 为平面上四点, ,且 ,则下列结论正确的是( )
A. 点 在线段 上 B. 点 在线段 上
C. 点 在线段 上 D. 四点共线
7. 已知 ，且关于 的方程 有实根，则 与 的夹角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为( )
A. 6 B. C. D. 5
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ，则
C. 对任意向量 都有
D. ，则 与 中至少有一个为0
10. 下列说法其中正确的说法为( )
A. 若 ,则
B. 若 分别表示 ， 的面积，则
C. 两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向
D. 若 ，则存在唯一实数 使得
11. 下列说法正确的是( )
A. 已知 ，则 的最小值为 6
B. 在 中，若 ，则 为钝角三角形
C. 在 中，若点 满足 ，则 为 的垂心
D. 若 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影向量为
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 满足 ， ，且 ，则 _____.
13. 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为_____.
14. 已知 是边长为 1 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。
15.(13分)
(1)化简
(2)设向量 ，求 .
16. (15 分)
已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 的夹角为 ，求 ；
(3)若 ，求 与 的夹角为 .
17. (15 分)
如图，在平行四边形 中， .
(1)用向量 ， 表示 ， ；
(2)若 ，证明: 三点共线.
18.(17分)
已知两个单位向量 与 的夹角为 ，设 .
(1)求 最小值；
(2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围.
19. (17 分)
如图所示, 是 的一条中线,点 满足 ，过点 的直线分别与射线 ,射线 交于 两点.
(1)用 和 表示 ；
(2)设 ，实数 ，求 的值；
(3)如果 是边长为 的等边三角形，求 的取值范围.
2025-2026 学年高一数学下学期第一次质量检测 答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D D B B B D BCD BC ACD
8.延长 到 ,使 ,延长 到 ,使 ,连接 , 因为 ,所以 ,
所以 为 的重心,
所以设 ,则 ,
所以 ,
所以 ,故选:
11.对 ,因为 , 当 反向共线时等号成立,故 A 正确;
对 ,由 可知 的外角为钝角,所以 为锐角,
故不能判断 为钝角三角形,故 错误;
对 ,因为 与 的夹角为 ,
所以 在 方向上的投影向量为 ,故 D 正确. 故选: ACD
12.【答案】
13.【答案】2
14. 一、可用几何法和极化恒等式法;
二、坐标法 以线段 的中点 为坐标原点, 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则 ,
设点 ,则 ,
所以, ,
则 ,
当且仅当 时， 取最小值 .
15.( 1 )原式
;
(2)由所求式
,
因 ,
则所求式
.
16.(1)若 ，则 与 的夹角为0或 .
所以 或 .
(2)因为
,
所以 .
(3)若 ，则 ，即 ，
所以 ，
即 ,所以 ,
又 ，所以 .
17.(1)由平行四边形 ，可得 ；
,
,即 .
(2)由(1)得， ，
又 ,
所以 ,
所以 三点共线.
18.(1)由题意 ,
因为 ,所以
所以 ,
所以 最小值是 ;
所以 最小值是 ;
(2)因为 ，
所以 ，
设 共线,即设 ,
因为向量 与 不共线,
所以 ,解得 ,
若 与 的夹角为钝角,
则 ,且 ,
解得 的取值范围是
19.(1)因 ，所以 ，又因 为 的中点，所以 ， 所以 .
(2)因 ，所以 ，
又因 ,所以 ,
又因 三点共线,所以 ,即 .
(3)设 ，由(1)(2)可知 ， 即 .
因 ,
,
所以
,
又因 是边长为 的等边三角形，所以 ，
所以化简得 ,
令 ,因 ,即 ,
当且仅当 时,等号成立,所以 .
因此 ,
又因为 ，所以 ，
所以 .

展开更多......

收起↑