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2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试 (一) 数 学
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上、将条形码横贴在每张答题卡的 “条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先画掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合 ,若 ，则
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
2. 在 的展开式中,含 的项的系数是
A. -4 B. 4 C. -16 D. 16
3. 已知 为虚数单位,复数 ,则
A. 1 B. C. 2 D.
4. 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 的图象上,则这个正三角形的边长为
A. B. 3 C. D. 6
5. 已知数据 的平均数为 1,方差为 2,则数据 , 的方差为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 已知右图是一个边长为 3 的九宫格 (由 9 个边长为 1 的小正方形构成)，九宫格中有 16 个节点(如图加黑的 16 个点)，从这 16 个点中任选互不相同的三个点 ,则 的最大值为
A. 12 B. 13
C. 15 D. 18
7. 如图,正方体 的棱长为 4, 为正方形 的中心, 为棱 的中点,过点 的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为
A. 16 B. 18
C. D. 24
8. 已知曲线 ，则曲线 上的点到原点距离的最小值为
A. B. 2 C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是
A. B.
C.
D.
10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯定理,随机事件 存在如下关系: . 张同学每天的运动计划包括两种主要方式: 室内健身和户外运动. 张同学第一天选择室内健身的概率为 ,选择户外运动的概率为 . 如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为 ; 如果第一天选择户外运动,那么第二天选择室内健身的概率为 . 则张同学
A. 第二天去室内健身的概率为
B. 第二天去户外运动的概率为
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
11. 在半径为定值的球 的表面上有四个不共面的点 ,且 为球 的直径,已知 和 的大小,若再添加一个条件,则在确保四面体 存在的情况下,使得四面体 体积有唯一值的条件可以是
A. 的长 B. 的大小
C. 与平面 所成角的大小 D. 二面角 的大小
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点 和点 ，月牙尖的坐标分别为 ， ，则圆 的标准方程为_____.
14. 如图, 为坐标原点, 为椭圆 的两个焦点,过 分别作椭圆 的切线 的垂线,垂足分别为 . 当 时, 的面积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 第 15 题 13 分, 第 16、17 题 15 分, 第 18、19 题 17 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内, 超出指定区域的答案无效.
15. (本小题满分 13 分)
如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形， .
(1)求证: 四点共面；
(2)设 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. (本小题满分 15 分)
设函数 ，已知 是函数 的极值点.
(1)求a的值；
(2)设函数 ，证明: .
17. (本小题满分 15 分)
设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记 .
(1)若 成等差数列，求 的最小值；
(2)若 成等比数列，求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
设双曲线 的离心率为 2,其左、右焦点分别是 ,过 的直线 与双曲线 的右支交于点 . 当 与 轴垂直时, .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)求 的最小值；
(3)记 的内切圆 与双曲线 的一个公共点为 ，双曲线 的左顶点为 ,证明: .
19. (本小题满分 17 分)
甲社区有 个女生和 个男生,且每个女生都认识所有男生; 乙社区有 个女生 和 个男生 ,其中女生 认识男生 ,但不认识其他男生. 现从甲社区和乙社区分别选出 队选手参加社区比赛,每队选手均为 2 人.
(1)若 ， ，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 队的不同的选法种数为 和 .
(i) 求 ,并证明: 当 时, 三者之间的递推公式, 并说明理由;
(ii) 若乙社区将选出的 个男生和 个女生按男、女搭配随机组队,求组队结果满足参赛要求的概率.
★启用前注意保密
2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试 (一) 数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D B C D A
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABC
三、填空题
12.
四、解答题
15.(1)方法一:因为 , 1 分
且 , 2 分
所以 , 3 分
所以 , 4 分
又因为点 不在同一条直线上,
所以 , 5 分
所以 四点共面. 6 分
方法二: 如图 1,因为 ,
所以 ,且 ,且 , 1 分
延长 交于点 ,延长 交于点 , 2 分
因为 , 3 分
所以点 为同一点,记为点 , 4 分
即 与 交于点 ,
故直线 与 共面, 5 分
所以 四点共面. 6 分
图 1
图 2
(2)因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， ,
所以 平面 , 7 分
又因为 ,
所以，如图 2，以点 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴， 建立空间直角坐标系，
则 ,
8 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 解得
取 ,则 , 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 解得
取 ,则 , 11 分
所以 , 12 分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 13 分
16. ( 1 )因为 ,
所以 ,
3 分
因为 是函数 的极值点,
所以 ,解得 . 5 分
当 时, ,
方法一:当 时，
因为 ,
所以 ,即 ,函数 单调递增; 6 分
当 时,
因为 ,
所以 ,即 ,函数 单调递减; 7 分
综上所述， 是函数 的极小值点，符合题意. 故 . 8 分
方法二: 令 ,
当 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增, 6 分易知,当 时, ,
又因为 ,且 在 上单调递增,
所以 时, 时, , 7 分
故当 时, ,即 ,函数 单调递减,当 时, 0,即 ,函数 单调递增,故 是函数 的极小值点,符合题意. 故 . 8 分
(2)由(1)得 ，所以 ， ，
由 (1) 可知, 是函数 的极小值点,
所以对任意的 , 10 分
即证 ,化简得 ,
令 , 12 分
当 时, 单调递减,当 时, , 单调递增, 13 分
所以 . 14 分
综上所述, 在 上恒成立. 15 分
17. ( 1 ) 4 分
因为 成等差数列,
所以 ,
又因为 ,
所以 , 5 分
又因为 ,
所以 , 6 分
因为 ,
所以 ,
所以 , 8 分当 取最大值时, 取得最小值,
因为 ,
所以 ,
故当 时, 取得最小值 1 . 9 分
(2)因为 成等比数列，
所以 , 10 分
由 (1) 知 ,
因为 ,
所以 , 11 分
将 代入 并化简得 ,
同除以 ,得 ,即 ,
所以 12 分
解得 , 13 分
又因为 ,
所以 ,即 ,解得 , 14 分
故 的取值范围为 . 15 分
18. 不妨设点 在第一象限,点 在第四象限.
(1)离心率 ,① 1 分
当 时, ,所以 ,即 ,② 2 分
又因为 , 3 分
解得 4 分
所以双曲线 的标准方程为 . 5 分
(2)由(1)得 ，
当直线 斜率为 0 时,直线 与双曲线的两个交点分别在左支和右支,不符合条件; 6 分
当直线 斜率不为 0 时,设直线 为 ,
联立
化简得 ,
7 分
由题意得 解得 , 8 分
10 分
因为 ,
所以 ,故 ,
所以 ,
所以 的最小值为 9 . 11 分
图 3
(3)如图 3，设 与边 切于点 ，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得,
,
所以点 与点 重合,即 与边 切于点 .
13 分
设 与边 切于点 ,
所以 ,
在直角三角形 中, , 设点 ,点 ,
则 ,
解得 ,全科试卷答案到公众号【广东小师姐升学日记】回复【广东】查:
所以点 在直线 上, 14 分
过点 作直线 的垂线,交直线 于点 ,
其中 , 15 分
设点 关于 的对称点为点 ,
所以 .
因为点 与点 ,点 与点 分别关于直线 对称,
所以 且 ,所以点 均在 上,且 , 16 分所以 . 17 分
19.(1)设事件 表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件 表示“乙社区的参赛选手都是女生”,事件 表示“甲社区的参赛选手都是男生”,事件 表示 “乙社区的参赛选手都是男生”,
则 . 1 分
所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况:都是男生或者都是女生，即 . 2 分
因为 ,
所以 ,即事件 与 互斥,
易知事件 与 相互独立,事件 与 相互独立, 3 分所以所求事件的概率 5 分
(2)(i)方法一:因为甲社区中男生和女生都认识，因此 6 分
当 时, ,
7 分
观察结构,运算得 ,
8 分
因为 , 9 分
两边同时乘以 ,得 . 10 分
方法二: 因为甲社区中男生和女生都认识,因此 6 分
表示甲社区从 个女孩和 个男孩选出 队,考虑甲社区中的女生 和男生 ,可以分成以下四种情况:
①女生 和男生 都没被选上，此时剩下 个男生和 个女生，从中选出 队,其有 种选法; 7 分
②女生 选上了，男生 没被选上，第一步，从除女生 和男生 外的 个男生和 个女生中选出 队，共有 种选法; 第二步，男生还剩下 人，排除男生 ，选一个男生和女生 组队，共有 种选法，因此② 共有 种选法;
③女生 没选上，男生 选上了，情况与②类似，共有 种选法; 8 分
④女生 和男生 都被选上,若女生 和男生 组队,此时剩下 个男生和 个女生,从中选出 队,共有 种选法,若女生 不和男生 组队,可以把她的搭档和男生 互换,此时可以等价看作女生 和男生 组队, 他们对应的搭档组队,共有 种,因此④共有 种选法; 9 分
综上所述, . 10 分
(ii) 下面考虑 的递推关系式,
当 时,考虑乙社区中的女生 ,有以下两种情况:
①当女生 被选中时，其余 队共有 种不同选法， 可在余下 个男生中任选一人，有 种选法，因此由乘法计数原理可知,共有 种选法;
②当女生 没被选中时，此时从 选出 个女生，从 ， 选出 个男生组队,共有 种选法;
所以,当 时, , 12 分当 时,由前述分析得 , 13 分由 (i) 可知 满足相同的递推公式
因为 , ,
所以 和 有相同的递推关系和初始值, 14 分
所以对任意 和 ,均有 . 15 分
所以 ,
设乙社区中各选 个男生和 个女生,男、女组成 队,共有 种情况,
则 . 16 分
因此满足组队要求的概率 17 分

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