资源简介

2026 年普通高中高三年级第一次模拟考试 数 学
时间:120 分钟 满分:150 分
注意事项:
1. 答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号， 并核对条形码上的信息。确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内, 超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效。
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. )
1. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则
A. B. C. D. 2
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 的展开式中常数项为
A. B. 30 C. D. 60
5. 函数 的图象大致为
A.
B.
C.
D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 , 的面积为 ，则 的最小值为
A. 3 B. C. 6 D.
8. 已知函数 ,若存在实数 满足 ,且 , 则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. )
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 服从正态分布 ,则
B. 若随机变量 服从二项分布 ，则 ，
C. 线性回归直线 不一定过样本中心点
D. 设两个随机变量的线性相关系数为 ,若 越接近于 1,则这两个随机变量的线性相关性越强
10. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A.
B. 在 上单调递增
C. 若 ,则 的最小值为
D. 若 ，则 的最小值为
11. 双曲线 可由以坐标原点为中心的曲线 绕其中心旋转一定角度得到. 现将曲线 绕原点旋转一定角度可得到双曲线 ,其左右焦点为 和 ,点 为曲线 上一点,则下列说法正确的是
A. 直线 是曲线 的一条渐近线
B. 双曲线 的离心率为 2
C. 若 与双曲线 有四个交点,则
D. 以 为直径的圆与圆 相切
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题, -每小题 5 分, 共 15 分. )
12. 已知向量 ，且 ，则实数 的值为_____.
13. 已知 ，则 _____.
14. 一塔形几何体由若干个正方体构成, 构成方式如图所示, 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点, 已知最底层正方体的棱长为 2,将几何体放入半径为 5 的半球内,使得最下层正方体底面中心在半球球心处, 则该塔形几何体中正方体的个数最多为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
15. (13 分)
某高中使用 AI 学情诊断系统对学生数学薄弱知识点进行检测. 根据前期学业数据,将学生分为基础扎实与基础一般两类: 基础扎实的学生,每道题答对的概率为 ; 基础一般的学生,每道题答对的概率为 . 现从这两类学生中各随机抽取 1 人，每人连续独立完成 3 道同类型试题, 规定: 至少答对 2 道题, 则判定为 “该知识点达标”.
(1)分别求基础扎实学生与基础一般学生单独检测一次达标的概率；
(2)求这两名学生中恰有 1 人达标的概率；
(3)若从该校基础一般的学生中随机抽取 3 人，记达标人数为 ，求 的数学期望 .
16. (15分)
在三棱锥 中, 和 均为等边三角形, ,点 为线段 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 时，求二面角 的余弦值.
17. (15分)
在数列 中,记 ,若 为等差数列,则称 为二阶等差数列.
(1)若 ，判断 是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列 满足 .
① 求数列 的通项公式；
②若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
18.(17分)
已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ，点 是椭圆长轴上一个动点(不与椭圆中心 和顶点重合)， 过点 作 轴的垂线交椭圆于 两点，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 与椭圆 交于另一点 .
① 求 面积的最大值；
②直线 是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.
19.(17分)
已知函数 .
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明:对任意 ，都有 ；
(3)证明: .
2026 年普通高中高三年级第一次模拟考试 数 学
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 7.C 8.A
二、多项选择题
11. ABD
三、填空题
四、解答题
15.(13分)
(1)设基础扎实学生达标为事件 ，
2 分
设基础一般学生达标为事件 ,
4 分
(2)恰有 1 人达标的概率 -8 分
(3)由(1)可知，基础一般的学生达标的概率为 ,
从中抽取 3 人， ， 10 分 13 分
16. (15 分)
(1)法一:
取 中点为 ,连接 ,
,
又 平面 ,
平面 , 2 分
又 平面 .
和 为等边三角形
,
为线段 的中点
， 3 分
平面 5 分
平面
平面 平面 7 分
法二:
连接
和 为等边三角形,
, 1 分
为 中点
，且 ， 3 分
平面 5 分
平面
平面 平面 7 分
(2)在平面 内,过 作 的垂线 ,以 为 轴, 为 轴, 为 轴, 如图所示,建立空间直角坐标系,则 , 8 分 为二面角 的平面角 9 分
设 ，则 ，
11 分
13 分
则
故 ,
(舍) 或 . 15 分
17. (15 分)
(1)因为 ，
所以 , 2 分令 ,则 ,
所以 为等差数列,即 为等差数列, 4 分
所以 为二阶等差数列. 5 分
(2)①因为 为二阶等差数列，且 ，
所以
所以 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 7 分
所以 ,即 , 8 分
所以 ,
将以上 个式子左、右分别相加,
得 , 9 分
因为 ,所以 ,
又 满足上式,所 . 10 分
②不等式 对 恒成立,即: 11 分
令 12 分
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
所以 的最大值为 , 14 分
因此 ,即 的取值范围是 . 15 分
18.(17分)
(1) 由题知 , -5 分
(2)① 设
6 分
7 分
由韦达定理得
8 分
设原点 到直线 距离为 ,则 -9 分
10 分
令
则 ,当且仅当 等号成立
故 的最大值值为 1 11 分
② 13 分
同理可求: 15 分
整理得
易知,直线 过定点 17 分
19.(17 分)
(1)当 时， ,且 , 1 分 ,则 3 分因此,切线方程为 5 分
(2)由 可知， 6 分只需证明: ,
再整理,即只需证: 7 分
于是可设
求导得:
在 单调递减， ， .9 分
代入得: .
所以 ,
所以 得证 ! 11 分
(3)由(2)知，当 时， ，即
令 ，则
因 ,故 13 分
设
递减
递增
所以 ,
令 得:
整理: 15 分
累加:
右端化简:
即:
显然:
故: 得证! 17 分

展开更多......

收起↑