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2025-2026学年重庆市育才中学教共体九年级（下）第一次自主作业数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.7的相反数是（　　）
A. B. C. 7 D. -7
2.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力
C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命
3.如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点E、F.若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）
A. 35°
B. 55°
C. 135°
D. 145°
4.下列运算中，正确的是（　　）
A. x3 x3=x6 B. （2ab）3=6a3b3 C. （x2）3=x5 D. 3x2+2x3=5x5
5.估计（2）的值应在（　　）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
6.如图，在△ABC和△DEF中，BE=CF，∠B=∠DEF，下列条件中不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）
A. ∠A=∠D
B. ∠ACB=∠DFE
C. AB=DE
D. AC=DF
7.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件64元降到每件36元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A. 15% B. 25% C. 35% D. 45%
8.如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）
A. 19 B. 22 C. 25 D. 28
9.如图，正方形ABCD，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF交CD于点G，若，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D. 1
10.已知整式M=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n,an为正整数，a0，a1，a2，…，an-1为非负整数.下列说法：
①若a0+a1+a2+…+an=2，则当n=3时，满足条件的整式M共有4个；
②若a0+a1+a2+…+an+a0a1a2…an=3，则当n≤2时，满足条件的整式M共有7个；
③若a0＜a1＜a2＜…＜an≤20，且an-an-1≥3，则当n≥4且a4=6a1时，满足条件的整式M共有28个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.第十五届全运会于2025年11月9日在广州开幕，设34个竞技比赛和23个群众赛事活动，共有14000多名运动员参加.数据14000用科学记数法表示为 .
12.在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别.从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是 .
13.已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的根为 .
14.若关于x的不等式3m﹣2x＜6的解集是x＞3，则m的值为____．
15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC=45°，，则⊙O的半径为 ，BD2的长为 .
16.一个四位数M，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将M的千位数字和百位数字组成的两位数与M的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”.例如：四位数4816，∵48+16=64=82，∴4816是“方数”，则最小的“方数”是 ；若M=是一个“方数”，且是整数，则满足条件的M的最大值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的所有整数解.
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE.
（1）用尺规完成以下操作：作∠EBC的角平分线交AD的延长线于点F，连接CF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABE=∠DCF，求证：四边形EBCF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①______，AD=BC，AB∥CD.
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴②______.
∵AE+ED=DF+ED，
∴AD=EF.
∵AD=BC，
∴BC=EF.
∵EF∥BC且EF=BC，
∴四边形EBCF是平行四边形.
∵BF平分∠EBC，
∴③______.
∵EF∥CB，
∴∠EFB=∠CBF.
∴∠EBF=∠EFB.
∴④______.
∴四边形EBCF是菱形.
19.(本小题10分)
为积极响应“体育强国”建设号召，推动青少年健康知识普及，某学校举办了“健康伴我行”体质健康知识竞赛活动.现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为50分且为整数）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分四组：A：47＜x≤50，B：44＜x≤47，C：41＜x≤44，D：x≤41），下面给出了部分信息：
八年级20名学生竞赛成绩是：
50，50，50，49，49，49，48，47，47，47，46，46，46，46，45，44，44，43，42，40，39；
九年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：47，47，47，47，46，46，45，45，45，45.
八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 46 46 a
九年级 46 b 47
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校八年级有学生1680人，九年级有学生1120人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是多少？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题10分)
列方程（组）解决下面问题
修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎.
（1）某修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？
（2）阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元，用1800元购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多60%，求每个B牌修正带的价格？
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线CA方向运动，P，Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为t秒，记△APC的面积为y1，△ABC与△BQC的面积之比为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
今年元旦节小明和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小明家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西75°方向；博物馆C位于小福家B的北偏东60°方向.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）；
（2）小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4.小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路BE与CD的夹角∠BED=60°（∠BDC＜90°），且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小明在E处等待小福.求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数）.
24.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，OA=OC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD，点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E，过点F作FH⊥y轴于点H，点N是x轴上一动点.连接FN，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′的顶点P（4，1），CA延长线交抛物线y′于点Q，点K为抛物线y′上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为∠ACP的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC.
（1）如图1，若∠BAC=90°，D为BC上一点，过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，BE=9，EF=6，求CF的长度.
（2）如图2，M为AB中点，点P、Q分别为线段AB、AC上的动点（不与B、C重合），且BP=AQ，CP=DQ，∠CQD=∠APC，请猜想BD与CM的数量关系并说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，若CP⊥AB，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】1.4×104
12.【答案】
13.【答案】x1=1，x2=-3
14.【答案】4
15.【答案】

16.【答案】1237
9351

17.【答案】3，4．
18.【答案】 AD∥BC;AE=DF;∠EBF=∠CBF;EB=EF
19.【答案】46;46.5;10 九年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好，因为两个年级的知识竞赛的成绩的平均数相同，但九年级的众数和中位数均高于八年级，所以九年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好 924人
20.【答案】，原式=．
21.【答案】安排20名工人生产外壳，10名工人生产齿轮，才能使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套；
每个B牌修正带的价格是2元．
22.【答案】y1=；y2=（0＜t＜7）；
当0＜t＜3时，y随t的增大而增大；当3＜t＜7时，y随t的增大而减小；
0＜t＜1.5或6.5＜t＜7；
23.【答案】7.1km 8.4 km
24.【答案】y=-x2+2x+3 ， 11或
25.【答案】3 BD=2CM，理由如下：
如图，连接AD，延长CM至点G，使得GM=CM，连接AG，
∵∠CQD=∠APC，
∴180°-∠CQD=180°-∠APC，即∠AQD=∠BPC，
在△BPC和△AQD中，
，
∴△BPC≌△AQD（SAS），
∴BC=AD，∠CBP=∠DAQ，
∵M为AB中点，
∴BM=AM，
在△BCM和△AGM中，
，
∴∠BCM≌△AGM（SAS），
∴BC=AG，∠CBM=∠GAM，
∴AD=AG，∠DAQ=∠GAM，
∴∠DAQ+∠QAB=∠GAM+∠QAB，即∠DAB=∠GAC，
在△DAB和△GAC中，
，
∴∠DAB≌△GAC（SAS），
∴BD=CG=CM+GM=2CM
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