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2025-2026学年福建省漳州一中九年级（上）段考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y=（x+3）2+2的顶点坐标是（　　）
A. （-3，2 ） B. （-3，-2 ） C. （3，-2） D. （3，2 ）
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则sinB的值为（　　）
A. B. C. D.
3.已知，则代数式的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
4.如图，D是△ABC边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．已知AD：DB=2：3，则S△ADE：S△ABC=（　　）
A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25
5.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上.若∠BAC=64°，则∠ADC=（　　）
A. 13°
B. 26°
C. 36°
D. 64°
7.若点A（a,-2），B（b,3），C（c,4）在反比例函数的图象上，则a,b,c的关系是（　　）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞b＞a D. a＞c＞b
8.如图，AB是⊙O的一条弦，直径是CD，若CD⊥AB，垂足为E，OE=3，DE=2，则AB的长度为（　　）
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
9.如图，正十边形的外接圆半径为R，则这个正十边形的边长为（　　）
A. R sin18°
B. R sin36°
C. 2R sin18°
D. 2R sin36°
10.已知线段AB的端点坐标分别为A（a-1，1），B（2a+3，1），二次函数y=x2-2ax-2a的图象与线段AB有且仅有一个公共点则实数a的取值范围是（　　）
A. a≤-2或a=-1 B. a≥-2 C. a＞0或a=-1 D. a≤0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.方程（x-3）（x+2）=0的根是______．
12.已知线段AB=6cm,点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC那么线段AC的长为 cm.
13.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于（1，0），对称轴是直线x=-1，当y＞0时，自变量x的取值范围是 .
14.山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少.据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x,根据题意，可列方程为 .
15.如图，菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，是以点A为圆心，AB长为半径的弧，是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为 .（结果保留根号）
16.如图，反比例函数y=（x＜0）的图象过点A（-2，2），过点A作AB⊥y轴于点B，直线l：y=x+b垂直线段OA于点P，点B关于直线l的对称点B′恰好在反比例函数的图象上，则b的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
解下列方程：
（1）x2-10x=24；
（2）2x2+3x-1=0．
18.(本小题9分)
如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF.求证：DE=DF.
19.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AC2=AB AD.
（1）求证：△ABC∽△ACD.
（2）若∠BCD=150°，求∠BAC的度数.
20.(本小题9分)
如图，已知⊙O经过A，C，D三点，点D在BA边上，CD⊥AC，∠A=∠BCD.
（1）求作⊙O；（请保留尺规作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BC是⊙O的切线.
21.(本小题9分)
如图，大小相同的A，B两个转盘都被分成红、蓝两色区域，A盘红色扇形区域与B盘蓝色扇形区域的圆心角都是120°.转动两个转盘各一次进行“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，指针指向区域分界线时重新转动.
（1）A盘转出红色的概率为______，B盘转出红色的概率为______；
（2）小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为.判断小颖的想法是否正确.若正确，说明理由；若不正确，给出正确解答.
22.(本小题9分)
如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：3，E、A、C在同一水平线上.
（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23.(本小题9分)
根据背景素材，探索解决问题.
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）.
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）.
素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）.
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）.
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径.
注：测量、计算时，都以“肘”为单位.
24.(本小题9分)
如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，△FBE与△ABE关于直线BE成轴对称，过点F平行于AD的直线分别交AB，EB于点M，N.
（1）求证：△BMN∽△BFE；
（2）若M是AB的中点，求证：△EFN为等边三角形；
（3）若点E为AD的中点，求的值.
25.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-2），连接AC、BC.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，过点P作BC的平行线交y轴于点E，求2PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点N是抛物线上一点，连接NB，当线段NB的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使∠MNA=∠CAN.若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x=3或x=-2
12.【答案】（）
13.【答案】-3＜x＜0
14.【答案】（1-x）2=70%
15.【答案】9
16.【答案】1+
17.【答案】解：（1）∵x2-10x=24，
∴x2-10x-24=0，
则（x-12）（x+2）=0，
∴x-12=0或x+2=0，
解得x1=12，x2=-2；
（2）∵a=2，b=3，c=-1，
∴Δ=32-4×2×（-1）=17＞0，
则x==，
∴x1=，x2=．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB=AD=DC，
∵BE=BF，
∴AB-BE=CB-BF，
即AE=CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF．
19.【答案】证明见解答；
∠ BAC的度数是30°
20.【答案】（1）解：∵⊙O经过A，C，D三点，CD⊥AC，
∴AD为⊙O的直径．
如图，作线段AD的垂直平分线，交AD于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆，
则⊙O即为所求．
（2）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠OCD=∠A+∠OCD=90°．
∵∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCD=90°，
即∠OCB=90°．
∵OC为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
21.【答案】；．
小颖的想法不正确，可配成紫色的概率为．
22.【答案】解：（1）过点D作DG⊥AE，垂足为G，
由题意得：DG=2米，
∵斜坡AF的坡比为1：3，
∴=，
∴AG=3DG=6（米），
在Rt△ADG中，AD===2（米），
∴小明从点A走到点D的距离为2米；
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，
由题意得：DG=CH=2米，DH=CG，
设AC=x米，
∵AG=6米，
∴DH=GC=AG+AC=（6+x）米，
在Rt△ABC中，∠BAC=45°，
∴BC=AC tan45°=x（米），
在Rt△DBH中，∠BDH=31°，
∴BH=DH tan31°≈0.6（x+6）米，
∵BH+CH=BC，
∴0.6（x+6）+2=x,
解得：x=14，
∴BC=14米，
∴大树BC的高度约为14米．
23.【答案】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有2块花岗岩的长，则2×2=4（时），
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，则4×1=4（肘），
答：B，C两点之间的铅垂距离（高度差）为4肘，铅垂距离（高度差）为4肘；
任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作BD⊥AE于D，记圆心为O，连接CO、BO，
观察图形，CE=6.5×2=13（肘），DB=11（肘），DE=4（肘），
∴设OE=a,则DO=DE+OE=4+a,
∵OB2=DB2+OD2，OC2=OE2+EC2，OB=OC，
∴（4+a）2+112=a2+132，
解得：a=4，
∴OC===，
∴石拱桥拱圈的半径为肘．
答：石拱桥拱圈的半径肘．
24.【答案】 见解析； ．
25.【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x+4）（x-1）=a（x2+3x-4），
则-4a=-2，
解得：a=，
则抛物线的表达式为：y=x2+x-2；
（2）过点P作PT⊥y轴于点T，如图1，
由点B、C的坐标得，sin∠OCB=，
∵PE∥BC，则∠PEC=∠OCB=α，
则PT=EPsinα=PE，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-x-2，
设点D（x,-x-2），则点P（x,x2+x-2），
则2PD+PE=2PD+PT=2（-x-2-x2-x+2）-x=-x2-5x,
∵-1＜0，
则2PD+PE有最大值为，此时点P（-，-）；
（3）存在，理由：
如图2，当线段NB的中点F恰好在y轴上时，由中点坐标公式得：xN=-1，
即点N（-1，-3），
设直线CA交MN于点R，
设点R（x,-x-2），
当∠MNA=∠CAN时，
则AR=NR，
即（x+1）2+（-x+1）2=（x+4）2+（x-1+3）2，
解得：x=-2，
即点R（-2，-1），
由点R、N的坐标得，直线RN的表达式为：y=-2x-5，
联立直线RN和抛物线的表达式得：x2+x-2=-2x-5
解得：x=-1（舍弃）或-6，
当MN和AC平行时，直线MN的解析式为：，
与抛物线解析式联立可求M的坐标为：（-3，-2）．
即点M的坐标为：（-6，7）或（-3，-2）．
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